<< Chapter < Page Chapter >> Page >

2. хомогена диференцијална равенка

Ако за функцијата f ( x , y ) size 12{f \( x,y \) } {} важи

f ( tx , ty ) = t n f ( x , y ) size 12{f \( ital "tx", ital "ty" \) =t rSup { size 8{n} } f \( x,y \) } {} ,

таа се нарекува хомогена од n -ти ред.

Диференцијалната равенка од обликот

M ( x , y ) dx + N ( x , y ) dy = 0 size 12{M \( x,y \) ital "dx"+N \( x,y \) ital "dy"=0} {}

се нарекува хомогена диференцијална равенка ако функциите M ( x , y ) size 12{M \( x,y \) } {} и N ( x , y ) size 12{N \( x,y \) } {} се хомогени функции од ист ред. Хомогеноста на функциите кои се јавуваат во диференцијалната равенка овозможува таа да се запише во облик

dy dx = f y x . size 12{ { { ital "dy"} over { ital "dx"} } =f left ( { {y} over {x} } right ) "." } {}

Со воведување на смената

y x = z size 12{ { {y} over {x} } =z} {}

односно

y = zx size 12{y= ital "zx"} {}

и со нејзино диференцирање се добива

y ' = z ' x + z size 12{ { {y}} sup { ' }= { {z}} sup { ' }x+z} {}

или

dy dx = x dz dx + z size 12{ { { ital "dy"} over { ital "dx"} } =x { { ital "dz"} over { ital "dx"} } +z} {}

и по заменување во хомогената диференцијална равнка, се добива диференцијална равенка од облик

z ' x = f ( z ) z , size 12{ { {z}} sup { ' }x=f \( z \) - z,} {}

што укажува дека променливите во вака добиената диференцијална равенка може да се раздвојат.

Притоа:

  • Ако f ( z ) z 0 size 12{f \( z \) - z<>0} {} нејзиното решение е

dz f ( z ) z = dx x + ln C , size 12{ Int { { { ital "dz"} over {f \( z \) - z} } } = Int { { { ital "dx"} over {x} } } +"ln"C,} {}

  • ако f ( z ) = z size 12{f \( z \) =z} {} нејзиното решение е

dy y = dx x + ln C size 12{ Int { { { ital "dy"} over {y} } } = Int { { { ital "dx"} over {x} } } +"ln"C} {}

односно

y = Cx . size 12{y= ital "Cx" "." } {}

Пример 3.

Да се најде општото решение на диференцијалната равенка y 2 + x 2 y ' = xy y ' . size 12{y rSup { size 8{2} } +x rSup { size 8{2} } { {y}} sup { ' }= ital "xy {" ital {y}} sup { ' } "." } {}

РЕШЕНИЕ.

Оваа диференцијална равенка е хомогена од втор ред бидејки ако ја решиме по изводот се добива

y ' = y 2 xy x 2 , size 12{ { {y}} sup { ' }= { {y rSup { size 8{2} } } over { ital "xy" - x rSup { size 8{2} } } } ,} {}

а по делење на изразот од десната страна (и броителот и именителот) со x 2 size 12{x rSup { size 8{2} } } {} се добива

y ' = y x 2 y x 1 . size 12{ { {y}} sup { ' }= { { left ( { {y} over {x} } right ) rSup { size 8{2} } } over { { {y} over {x} } - 1} } "." } {}

Со воведување на смената y = zx size 12{y= ital "zx"} {} и нејзиниот извод y ' = z ' x + z size 12{ { {y}} sup { ' }= { {z}} sup { ' }x+z} {} , таа се трансформира во диференцијална равенка од обликот

z ' x + z = z 2 z 1 , size 12{ { {z}} sup { ' }x+z= { {z rSup { size 8{2} } } over {z - 1} } ,} {}

во која променливите се раздвојуваат

z 1 z dz = 1 x dx . size 12{ { {z - 1} over {z} } ital "dz"= { {1} over {x} } ital "dx" "." } {}

Решението на оваа равенка се добива по интегрирање

z 1 z dz = 1 x dx + ln C size 12{ Int { { {z - 1} over {z} } ital "dz"} = Int { { {1} over {x} } ital "dx"} +"ln"C} {} ,

и тоа е

z ln z = ln x + ln C size 12{z - "ln" \lline z \lline ="ln" \lline x \lline +"ln"C} {} ,

односно

z = ln ( Cxz ) size 12{z="ln" \( ital "Cxz" \) } {} .

Со враќање на старата променлива x преку смената y x = z size 12{ { {y} over {x} } =z} {} , општото решение е

Cy = e y x . size 12{ ital "Cy"=e rSup { size 8{ { {y} over {x} } } } "." } {}

Пример 4.

Да се најде партикуларното решение на диференцијалната равенка

( x y ' y ) arctg y x = x , size 12{ \( x { {y}} sup { ' } - y \) "arctg" { {y} over {x} } =x,} {} кое има вредност y = 0 size 12{y=0} {} за x = 1 . size 12{x=1 "." } {}

РЕШЕНИЕ:

Најпрво се бара општото решение на диференцијалната равенка. Таа е хомогена диференцијална равенка од прв ред бидејќи може да се запише во обликот

dy dx = 1 arctg y x + y x . size 12{ { { ital "dy"} over { ital "dx"} } = { {1} over {"arctg" { {y} over {x} } } } + { {y} over {x} } "." } {}

Со користење на смената y x = z size 12{ { {y} over {x} } =z} {} , односно y = zx size 12{y= ital "zx"} {} и изводот y ' = z ' x + z size 12{ { {y}} sup { ' }= { {z}} sup { ' }x+z} {} ,

во диференцијалната рвенка променливите се раздвојуваат бидејќи

z ' x = 1 arctg z . size 12{ { {z}} sup { ' }x= { {1} over {"arctg"`z} } "." } {}

Оваа равенка има општо решение

arctg z dz = dx x + ln C , size 12{ Int {"arctg"`z` ital "dz"} = Int { { { ital "dx"} over {x} } } +"ln"C,} {}

кое по решавање на интегралите е во облик

z arctg z 1 2 ln ( 1 + z 2 ) = ln Cx size 12{z`"arctg"`z - { {1} over {2} } "ln" \( 1+z rSup { size 8{2} } \) ="ln" ital "Cx"} {}

или

y x arctg y x 1 2 ln ( 1 + y x 2 2 ) = ln Cx . size 12{ { {y} over {x} } `"arctg"` { {y} over {x} } - { {1} over {2} } "ln" \( 1+ { {y} over {x rSup { size 8{2} } } } rSup { size 8{2} } \) ="ln" ital "Cx" "." } {}

Партикуларното решение ќе се добие со определување на константата C од почетните услови y = 0 size 12{y=0} {} кога x = 1 size 12{x=1} {} . Со замена на почетните услови во општото решение

1 2 ln 1 = ln C C = 1 size 12{ - { {1} over {2} } "ln"1="ln"C~ drarrow ~C=1} {} .

Значи партикуларното решение е

y x arctg y x 1 2 ln ( 1 + y x 2 2 ) = ln x size 12{ { {y} over {x} } `"arctg"` { {y} over {x} } - { {1} over {2} } "ln" \( 1+ { {y} over {x rSup { size 8{2} } } } rSup { size 8{2} } \) ="ln"x} {}

кое по антилогаритмирање е од обликот

x 2 + y 2 = e y x arctg y x size 12{ sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } =e rSup { size 8{ { {y} over {x} } ital "arctg" { {y} over {x} } } } } {} . ◄

2.1. равенка која се сведува на хомогена диференцијална равенка

Ако диференцијалната равенка е од облик

y ' = f ax + by + c a 1 x + b 1 y + c 1 , size 12{ { {y}} sup { ' }=f left ( { { ital "ax"+ ital "by"+c} over {a rSub { size 8{1} } x+b rSub { size 8{1} } y+c rSub { size 8{1} } } } right ),} {}

со смената

x = u + α , dx = du y = v + β , dy = dv alignl { stack { size 12{x=u+α,~ ital "dx"= ital "du"} {} #size 12{y=v+β,~ ital "dy"= ital "dv"} {} } } {}

каде u , v size 12{u,`v} {} се нови променливи а α , β size 12{α,`β} {} се константи, таа се сведува на

dv du = f au + bv + + + c a 1 u + b 1 v + a 1 α + b 1 β + c 1 size 12{ { { ital "dv"} over { ital "du"} } =f left ( { { ital "au"+ ital "bv"+aα+bβ+c} over {a rSub { size 8{1} } u+b rSub { size 8{1} } v+a rSub { size 8{1} } α+b rSub { size 8{1} } β+c rSub { size 8{1} } } } right )} {} .

Идејата за оваа смена е равенката да се сведе на хомогена и затоа константите α , β size 12{α,`β} {} се определуваат преку системот равенки

+ + c = 0 a 1 α + b 1 β + c 1 = 0 . { size 12{alignl { stack { left lbrace aα+bβ+c=0 {} #right none left lbrace a rSub { size 8{1} } α+b rSub { size 8{1} } β+c rSub { size 8{1} } =0 "." {} # right no } } lbrace } {}

При тоа:

  • Ако детерминантата на овој систем Δ = ab 1 ba 1 0 size 12{Δ= ital "ab" rSub { size 8{1} } - ital "ba" rSub { size 8{1} }<>0} {} еднозначно се определуваат константите α , β size 12{α,`β} {} и равенката се сведува на хомогена диференцијална равенка

dv du = f au + bv a 1 u + b 1 v size 12{ { { ital "dv"} over { ital "du"} } =f left ( { { ital "au"+ ital "bv"} over {a rSub { size 8{1} } u+b rSub { size 8{1} } v} } right )} {}

која може да се реши со постапката за решавање на хомогена диференцијална равенка.

  • Ако детерминантата на системот Δ = ab 1 ba 1 = 0 size 12{Δ= ital "ab" rSub { size 8{1} } - ital "ba" rSub { size 8{1} } =0} {} со смената

Questions & Answers

what does nano mean?
Anassong Reply
nano basically means 10^(-9). nanometer is a unit to measure length.
Bharti
do you think it's worthwhile in the long term to study the effects and possibilities of nanotechnology on viral treatment?
Damian Reply
absolutely yes
Daniel
how to know photocatalytic properties of tio2 nanoparticles...what to do now
Akash Reply
it is a goid question and i want to know the answer as well
Maciej
characteristics of micro business
Abigail
for teaching engĺish at school how nano technology help us
Anassong
Do somebody tell me a best nano engineering book for beginners?
s. Reply
what is fullerene does it is used to make bukky balls
Devang Reply
are you nano engineer ?
s.
fullerene is a bucky ball aka Carbon 60 molecule. It was name by the architect Fuller. He design the geodesic dome. it resembles a soccer ball.
Tarell
what is the actual application of fullerenes nowadays?
Damian
That is a great question Damian. best way to answer that question is to Google it. there are hundreds of applications for buck minister fullerenes, from medical to aerospace. you can also find plenty of research papers that will give you great detail on the potential applications of fullerenes.
Tarell
what is the Synthesis, properties,and applications of carbon nano chemistry
Abhijith Reply
Mostly, they use nano carbon for electronics and for materials to be strengthened.
Virgil
is Bucky paper clear?
CYNTHIA
so some one know about replacing silicon atom with phosphorous in semiconductors device?
s. Reply
Yeah, it is a pain to say the least. You basically have to heat the substarte up to around 1000 degrees celcius then pass phosphene gas over top of it, which is explosive and toxic by the way, under very low pressure.
Harper
Do you know which machine is used to that process?
s.
how to fabricate graphene ink ?
SUYASH Reply
for screen printed electrodes ?
SUYASH
What is lattice structure?
s. Reply
of graphene you mean?
Ebrahim
or in general
Ebrahim
in general
s.
Graphene has a hexagonal structure
tahir
On having this app for quite a bit time, Haven't realised there's a chat room in it.
Cied
what is biological synthesis of nanoparticles
Sanket Reply
what's the easiest and fastest way to the synthesize AgNP?
Damian Reply
China
Cied
types of nano material
abeetha Reply
I start with an easy one. carbon nanotubes woven into a long filament like a string
Porter
many many of nanotubes
Porter
what is the k.e before it land
Yasmin
what is the function of carbon nanotubes?
Cesar
I'm interested in nanotube
Uday
what is nanomaterials​ and their applications of sensors.
Ramkumar Reply
what is nano technology
Sravani Reply
what is system testing?
AMJAD
preparation of nanomaterial
Victor Reply
how to synthesize TiO2 nanoparticles by chemical methods
Zubear
what's the program
Jordan
?
Jordan
what chemical
Jordan
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
QuizOver.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Диференцијални равенки. OpenStax CNX. Jun 04, 2012 Download for free at http://cnx.org/content/col11414/1.2
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Диференцијални равенки' conversation and receive update notifications?

Ask