<< Chapter < Page Chapter >> Page >
A + B + C = 0 A + 3B 2C = 13 6A = 6 alignl { stack { size 12{A+B+C=0} {} #size 12{A+3B - 2C="13"} {} # size 12{ - 6A= - 6} {}} } {}

со чие решавање се определуваат вредностите на коефициентите: A = 1, B = 2, C = 3 . size 12{A=1,`B=2,`C= - 3 "." } {}

Втор начин :

Се поаѓа од равенството

13 x 6 = A ( x 2 ) ( x + 3 ) + Bx ( x + 3 ) + Cx ( x 2 ) size 12{"13"x - 6=A \( x - 2 \) \( x+3 \) + ital "Bx" \( x+3 \) + ital "Cx" \( x - 2 \) } {}

кое е задоволено за секоја вредност на x , size 12{x,} {} па специјално тоа е задоволено и за нулите на полиномот од именителот: x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = 3 . size 12{x rSub { size 8{1} } =0,`x rSub { size 8{2} } =2,`x rSub { size 8{3} } = - 3 "." } {}

Заменувајќи за x = 0, size 12{x=0,} {} се добива 6 = 6A A = 1, size 12{ - 6= - 6A drarrow A=1,} {}

за x = 2, size 12{x=2,} {} се добива 26 6 = 2B ( 2 + 3 ) B = 2, size 12{"26" - 6=2B \( 2+3 \) drarrow B=2,} {}

а за x = 3, size 12{x= - 3,} {} се добива 39 6 = 3C ( 3 2 ) C = 3 . size 12{ - "39" - 6= - 3C \( - 3 - 2 \) drarrow C= - 3 "." } {}

По определување на непознатите коефициенти, подинтегралната функција се запишува преку сума од елементарни дробнорационални собироци

13 x 6 x 3 + x 2 6x = 1 x + 2 x 2 + 3 x + 3 size 12{ { {"13"x - 6} over {x rSup { size 8{3} } +x rSup { size 8{2} } - 6x} } = { {1} over {x} } + { {2} over {x - 2} } + { { - 3} over {x+3} } } {} ,

а после интегрирање на двете страни од ова равенство се добива решениоето на интегралот

13 x 6 x 3 + x 2 6x dx = 1 x dx + 2 x 2 dx + 3 x + 3 dx = ln x + 2 ln x 2 3 ln x + 3 + C , size 12{ Int { { {"13"x - 6} over {x rSup { size 8{3} } +x rSup { size 8{2} } - 6x} } } ital "dx"= Int { { {1} over {x} } } ital "dx"+ Int { { {2} over {x - 2} } } ital "dx"+ Int { { { - 3} over {x+3} } } ital "dx"="ln" \lline x \lline +2"ln" \lline x - 2 \lline - 3"ln" \lline x+3 \lline +C,} {}

и со средување на логаритамските функции решението е

13 x 6 x 3 + x 2 6x dx = ln x ( x 2 ) 2 x + 3 3 + C . size 12{ Int { { {"13"x - 6} over {x rSup { size 8{3} } +x rSup { size 8{2} } - 6x} } } ital "dx"="ln" { { \lline x \lline \( x - 2 \) rSup { size 8{2} } } over { \lline x+3 \lline rSup { size 8{3} } } } +C "." } {}

Тип ii. именител со еднакви линеарни фактори

Ако при факторизација на именителот кој е од полином од n size 12{n - {}} {} ти ред се добие линеарен фактор но на степен k , size 12{k,} {} ( 2 k n ) size 12{ \( 2<= k<= n \) } {} , на секој фактор од облик ( x a ) k size 12{ \( x - a \) rSup { size 8{k} } } {} во разложувањето на функцијата му соодветствуваат k size 12{k} {} елементарни дробнорационални функции од обликот

A k ( x a ) k , A k 1 ( x a ) k 1 , , A 1 x a , size 12{ { {A rSub { size 8{k} } } over { \( x - a \) rSup { size 8{k} } } } , { {A rSub { size 8{k - 1} } } over { \( x - a \) rSup { size 8{k - 1} } } } , dotsaxis , { {A rSub { size 8{1} } } over {x - a} } ,} {}

чии коефициенти A k size 12{A rSub { size 8{k} } } {} треба да се определат. Интегралите од овие собироци се

дробнорационални функции бидејќи

A ( x a ) k dx = A ( k 1 ) ( x a ) k 1 , size 12{ Int { { {A} over { \( x - a \) rSup { size 8{k} } } } } ital "dx"= - { {A} over { \( k - 1 \) \( x - a \) rSup { size 8{k - 1} } } } ,} {}

затоа решението на вториот тип дробнорационални функции е сума од логаритамски и вакви добнорацинални функции.

Пример 3.

Да се пресмета

3x + 5 x 3 x 2 x + 1 dx . size 12{ Int { { {3x+5} over {x rSup { size 8{3} } - x rSup { size 8{2} } - x+1} } ital "dx"} "." } {}

Согласно на постапката за интегрирање дробнорационални функции, именителот се факторизира:

x 3 x 2 x + 1 = ( x + 1 ) ( x 1 ) 2 size 12{x rSup { size 8{3} } - x rSup { size 8{2} } - x+1= \( x+1 \) \( x - 1 \) rSup { size 8{2} } } {} .

Бидејќи линераниот фактор x 1 size 12{x - 1} {} е со степен 2, разложувањето на подинтегралната функција е

3x + 5 x 3 x 2 x + 1 = 3x + 5 ( x + 1 ) ( x 1 ) 2 = A x + 1 + B ( x 1 ) 2 + C x 1 size 12{ { {3x+5} over {x rSup { size 8{3} } - x rSup { size 8{2} } - x+1} } = { {3x+5} over { \( x+1 \) \( x - 1 \) rSup { size 8{2} } } } = { {A} over {x+1} } + { {B} over { \( x - 1 \) rSup { size 8{2} } } } + { {C} over {x - 1} } } {} .

По множење со именителот

3x + 5 = A ( x 1 ) 2 + B ( x + 1 ) + C ( x 1 ) ( x + 1 ) size 12{3x+5=A \( x - 1 \) rSup { size 8{2} } +B \( x+1 \) +C \( x - 1 \) \( x+1 \) } {}

и после средување на полиномот од десната старна на равенството

3x + 5 = ( A + C ) x 2 + ( B 2A ) x + A + B C , size 12{3x+5= \( A+C \) x rSup { size 8{2} } + \( B - 2A \) x+A+B - C,} {}

коефициентите се определуваат преку ситемот равенки

A + C = 0 B 2A = 3 A + B C = 5 alignl { stack { size 12{A+C=0} {} #size 12{B - 2A=3} {} # size 12{A+B - C=5} {}} } {}

со решенија A = 1 2 , B = 4, C = 1 2 . size 12{A= { {1} over {2} } ,`B=4,`C= - { {1} over {2} } "." } {}

Од разложувањето на подинтегралната функција

3x + 5 ( x + 1 ) ( x 1 ) 2 = 1 / 2 x + 1 + 4 ( x 1 ) 2 1 / 2 x 1 size 12{ { {3x+5} over { \( x+1 \) \( x - 1 \) rSup { size 8{2} } } } = { {1/2} over {x+1} } + { {4} over { \( x - 1 \) rSup { size 8{2} } } } - { {1/2} over {x - 1} } } {}

и нејзиното интегрирање

3x + 5 ( x + 1 ) ( x 1 ) 2 dx = 1 2 1 x + 1 dx + 4 1 ( x 1 ) 2 dx 1 2 1 x 1 dx = 1 2 ln x + 1 4 x 1 1 2 ln x 1 + C alignl { stack { size 12{ Int { { {3x+5} over { \( x+1 \) \( x - 1 \) rSup { size 8{2} } } } } ital "dx"= { {1} over {2} } Int { { {1} over {x+1} } ital "dx"} +4 Int { { {1} over { \( x - 1 \) rSup { size 8{2} } } } ital "dx"} - { {1} over {2} } Int { { {1} over {x - 1} } } ital "dx"={}} {} #= { {1} over {2} } "ln" \lline x+1 \lline - { {4} over {x - 1} } - { {1} over {2} } "ln" \lline x - 1 \lline +C {} } } {}

се добива решението

3x + 5 ( x + 1 ) ( x 1 ) 2 dx = 1 2 ln x + 1 x 1 4 x 1 + C . size 12{ Int { { {3x+5} over { \( x+1 \) \( x - 1 \) rSup { size 8{2} } } } } ital "dx"= { {1} over {2} } "ln" { { \lline x+1 \lline } over { \lline x - 1 \lline } } - { {4} over {x - 1} } +C "." } {}

Тип iii. именител со различни квадратни фактори

Третиот тип дробнорационални функции е случајот кога во факторизација на именителот се јавуваат и различни квадратни изрази од обликот ax 2 + bx + c size 12{ ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c} {} кои неможат да се редуцираат на линерни. На секој ваков квадратен фактор при разложување на подинтегралната функција му соодветствува елементарна дробнорационална функција од обликот

Ax + B ax 2 + bx + c , size 12{ { { ital "Ax"+B} over { ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c} } ,} {}

во која константите A , B size 12{A,B} {} треба да се определат. Интегралот од оваа функција е

Ax + B ax 2 + bx + c dx = A x ax 2 + bx + c dx + B 1 ax 2 + bx + c dx = size 12{ Int { { { ital "Ax"+B} over { ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c} } } ital "dx"=A Int { { {x} over { ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c} } ital "dx"+B Int { { {1} over { ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c} } ital "dx"={}} } } {}
= A 2a 2 ax ax 2 + bx + c dx + B 1 ax 2 + bx + c dx = A 2a 2 ax + b b ax 2 + bx + c dx + B 1 ax 2 + bx + c dx = size 12{ {}= { {A} over {2a} } Int { { {2 ital "ax"} over { ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c} } ital "dx"+B Int { { {1} over { ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c} } ital "dx"={}} } { {A} over {2a} } Int { { {2 ital "ax"+b - b} over { ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c} } ital "dx"+B Int { { {1} over { ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c} } ital "dx"={}} } } {}
= A 2a 2 ax + b ax 2 + bx + c dx + ( B Ab 2a ) 1 ax 2 + bx + c dx = A 2a I 1 + ( B Ab 2a ) I 2 . size 12{ {}= { {A} over {2a} } Int { { {2 ital "ax"+b} over { ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c} } ital "dx"+ \( B - { { ital "Ab"} over {2a} } \) Int { { {1} over { ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c} } ital "dx"={}} } { {A} over {2a} } I rSub { size 8{1} } + \( B - { { ital "Ab"} over {2a} } \) I rSub { size 8{2} } "." } {}

Како што се гледа, интегралот се сведува на два веќе познати за решавање интеграли I 1 и I 2 . Првиот интеграл е

I 1 = 2 ax + b ax 2 + bx + c dx = ln ax 2 + bx + c + C size 12{I rSub { size 8{1} } = Int { { {2 ital "ax"+b} over { ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c} } ital "dx"="ln" \lline ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c \lline } +C} {} ,

а вториот интеграл е

1 ax 2 + bx + c dx = 1 a x 2 + b a x + c a dx = 1 a 1 x + b 2a 2 b 2 4a 2 + c a dx size 12{ Int { { {1} over { ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c} } ital "dx"={}} Int { { {1} over {a left (x rSup { size 8{2} } + { {b} over {a} } x+ { {c} over {a} } right )} } ital "dx"} = { {1} over {a} } Int { { {1} over { left (x+ { {b} over {2a} } right ) rSup { size 8{2} } - { {b rSup { size 8{2} } } over {4a rSup { size 8{2} } } } + { {c} over {a} } } } } ital "dx"} {} ,

кој во зависност од вредноста на коефициентите е некој од табличните интеграли.

Пример 4.

Да се пресмета

x 2 1 x 4 dx . size 12{ Int { { {x rSup { size 8{2} } } over {1 - x rSup { size 8{4} } } } ital "dx"} "." } {}

Најпрво се факторизира именителот:

1 x 4 = ( 1 x 2 ) ( 1 + x 2 ) = ( 1 x ) ( 1 + x ) ( 1 + x 2 ) . size 12{1 - x rSup { size 8{4} } = \( 1 - x rSup { size 8{2} } \) \( 1+x rSup { size 8{2} } \) = \( 1 - x \) \( 1+x \) \( 1+x rSup { size 8{2} } \) "." } {}

Именителот соджи два различни линеарни фактори и еден квадратен, па затоа припаѓа на третиот тип дробнорационални функции и се разложува на

x 2 1 x 4 = A 1 x + B 1 + x + Cx + D 1 + x 2 size 12{ { {x rSup { size 8{2} } } over {1 - x rSup { size 8{4} } } } = { {A} over {1 - x} } + { {B} over {1+x} } + { { ital "Cx"+D} over {1+x rSup { size 8{2} } } } } {} ,

и се добива равенството

x 2 = A ( 1 + x ) ( 1 + x 2 ) + B ( 1 x ) ( 1 + x 2 ) + ( Cx + D ) ( 1 x 2 ) size 12{x rSup { size 8{2} } =A \( 1+x \) \( 1+x rSup { size 8{2} } \) +B \( 1 - x \) \( 1+x rSup { size 8{2} } \) + \( ital "Cx"+D \) \( 1 - x rSup { size 8{2} } \) } {}

преку кое се поределуваат коефициентите A , B , C , D size 12{A,B,C,D} {} . Нека за таа цел го примениме вториот метод со задавње на вредности за x size 12{x} {} .

Ако замениме за x = 1 1 = A 2 2 A = 1 4 , size 12{x=1 drarrow 1=A cdot 2 cdot 2 drarrow A= { {1} over {4} } ,} {}

за x = 1 1 = B 2 2 B = 1 4 , size 12{x= - 1 drarrow 1=B cdot 2 cdot 2 drarrow B= { {1} over {4} } ,} {}

за x = 0 0 = A + B + D size 12{x=0 drarrow 0=A+B+D} {} и за x = 2 4 = A 3 5 + B ( 1 ) 5 + ( 2C + D ) ( 3 ) size 12{x=2 drarrow 4=A cdot 3 cdot 5+B cdot \( - 1 \) cdot 5+ \( 2C+D \) \( - 3 \) } {} ,

од каде се добива ситемот равенки

A + B + D = 0 15 A 5B 6C 3D = 4 alignl { stack { size 12{A+B+D=0} {} #size 12{"15"A - 5B - 6C - 3D=4} {} } } {}

и од веке пресметаните A = B = 1 4 size 12{A=B= { {1} over {4} } } {} , од првата равенка коефициентот D = A B = 1 2 , size 12{D= - A - B= - { {1} over {2} } ,} {} додека од втората равенка 15 4 4 4 6C + 3 2 = 4 C = 0 . size 12{ { {"15"} over {4} } - { {4} over {4} } - 6C+ { {3} over {2} } =4 drarrow C=0 "." } {} {}

Со оваа постапка дробнорационалната функција ја разложивме на елементарни дробнорационални собироци

x 2 1 x 4 = 1 / 4 1 x + 1 / 4 1 + x + 1 / 2 1 + x 2 size 12{ { {x rSup { size 8{2} } } over {1 - x rSup { size 8{4} } } } = { {1/4} over {1 - x} } + { {1/4} over {1+x} } + { { - 1/2} over {1+x rSup { size 8{2} } } } } {} ,

а нејзиниот интеграл е

x 2 1 x 4 dx = 1 / 4 1 x dx + 1 / 4 1 + x dx + 1 / 2 1 + x 2 dx = 1 4 ln 1 x + 1 4 ln 1 + x 1 2 arctan x + C = 1 4 ln 1 + x 1 x 1 2 arctan x + C . alignl { stack { size 12{ Int { { {x rSup { size 8{2} } } over {1 - x rSup { size 8{4} } } } ital "dx"} = Int { { {1/4} over {1 - x} } } ital "dx"+ Int { { {1/4} over {1+x} } ital "dx"} + Int { { { - 1/2} over {1+x rSup { size 8{2} } } } } ital "dx"={}} {} #= - { {1} over {4} } "ln" \lline 1 - x \lline + { {1} over {4} } "ln" \lline 1+x \lline - { {1} over {2} } "arctan"x+C= { {1} over {4} } "ln" { { \lline 1+x \lline } over { \lline 1 - x \lline } } - { {1} over {2} } "arctan"x+C "." {} } } {}

Тип iv. именител со еднакви квадратни фактори

Нека именителот на подинтегралната дробнорационална функција е полином од n size 12{n - {}} {} ти ред кој содржи и квадратни фактори кои не се линеаризаираат и нека тие се од обликот ( ax 2 + bx + c ) k , 2 k < n . size 12{ \( ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c \) rSup { size 8{k} } ,2<= k<n "." } {} На секој ваков фактор од именителот во разложувањето на дробнорационалната функција му соодветствуваат k size 12{k} {} елементарни функции (дропки) од облик

A k x + B k ( ax 2 + bx + c ) k , A k 1 x + B k 1 ( ax 2 + bx + c ) k 1 , , A 2 x + B 2 ( ax 2 + bx + c ) 2 , A 1 x + B 1 ax 2 + bx + c , size 12{ { {A rSub { size 8{k} } x+B rSub { size 8{k} } } over { \( ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c \) rSup { size 8{k} } } } ,` { {A rSub { size 8{k - 1} } x+B rSub { size 8{k - 1} } } over { \( ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c \) rSup { size 8{k - 1} } } } , dotsaxis , { {A rSub { size 8{2} } x+B rSub { size 8{2} } } over { \( ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c \) rSup { size 8{2} } } } , { {A rSub { size 8{1} } x+B rSub { size 8{1} } } over { ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c} } ,} {}

чии коефицинети A i , B i ( i = 1, , k ) size 12{A rSub { size 8{i} } ,B rSub { size 8{i} } \( i=1, dotsaxis ,k \) } {} треба да се определат.

Пример 5.

Да се пресмета

I = x 3 + x 1 ( x 2 + 1 ) 2 dx . size 12{I= Int { { {x rSup { size 8{3} } +x - 1} over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{2} } } } ital "dx"} "." } {}

Именителот ( x 2 + 1 ) 2 size 12{ \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{2} } } {} не може да се разложи на линеарни фактори, туку тој е квадратен фактор x 2 + 1 size 12{x rSup { size 8{2} } +1} {} и тоа на степен 2. Затоа дробнорационалната функција се разложува

x 3 + x 1 ( x 2 + 1 ) 2 = Ax + B ( x 2 + 1 ) 2 + Cx + D x 2 + 1 size 12{ { {x rSup { size 8{3} } +x - 1} over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{2} } } } = { { ital "Ax"+B} over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{2} } } } + { { ital "Cx"+D} over {x rSup { size 8{2} } +1} } } {}

од каде

x 3 + x 1 = Ax + B + ( Cx + D ) ( x 2 + 1 ) size 12{x rSup { size 8{3} } +x - 1= ital "Ax"+B+ \( ital "Cx"+D \) \( x rSup { size 8{2} } +1 \) } {}

и по средување на полиномот од десната страна на равенството

x 3 + x 1 = Cx 3 + Dx 2 + ( A + C ) x + B + D size 12{x rSup { size 8{3} } +x - 1= ital "Cx" rSup { size 8{3} } + ital "Dx" rSup { size 8{2} } + \( A+C \) x+B+D} {} {}

и примена на методот на неопределени коефициенти се добива ситемот равенки

C = 1 D = 0 A + C = 1 B + D = 1 alignl { stack { size 12{C=1} {} #size 12{D=0} {} #size 12{A+C=1} {} # size 12{B+D= - 1} {}} } {}

со решенија A = 0, B = 1, C = 1, D = 0 . size 12{A=0,`B= - 1,`C=1,`D=0 "." } {}

По опредеување на разложувањето

x 3 + x 1 ( x 2 + 1 ) 2 = 1 ( x 2 + 1 ) 2 + x x 2 + 1 size 12{ { {x rSup { size 8{3} } +x - 1} over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{2} } } } = { { - 1} over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{2} } } } + { {x} over {x rSup { size 8{2} } +1} } } {} ,

равенството се интегрира

I = x 3 + x 1 ( x 2 + 1 ) 2 dx = 1 ( x 2 + 1 ) 2 dx + x x 2 + 1 dx = 1 + x 2 x 2 ( x 2 + 1 ) 2 dx + 1 2 2x x 2 + 1 dx = 1 + x 2 ( x 2 + 1 ) 2 dx + x 2 ( x 2 + 1 ) 2 dx + 1 2 ln ( x 2 + 1 ) = 1 x 2 + 1 dx + x x ( x 2 + 1 ) 2 dx + 1 2 ln ( x 2 + 1 ) . alignl { stack { size 12{I= Int { { {x rSup { size 8{3} } +x - 1} over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{2} } } } ital "dx"} = Int { { { - 1} over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{2} } } } ital "dx"} + Int { { {x} over {x rSup { size 8{2} } +1} } } ital "dx"={}} {} #= - Int { { {1+x rSup { size 8{2} } - x rSup { size 8{2} } } over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{2} } } } ital "dx"} + { {1} over {2} } Int { { {2x} over {x rSup { size 8{2} } +1} } } ital "dx"={} {} # = - Int { { {1+x rSup { size 8{2} } } over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{2} } } } ital "dx"+{}} Int { { {x rSup { size 8{2} } } over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{2} } } } ital "dx"} + { {1} over {2} } "ln" \( x rSup { size 8{2} } +1 \) ={} {} #= - Int { { {1} over {x rSup { size 8{2} } +1} } ital "dx"+{}} Int { { {x cdot x} over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{2} } } } ital "dx"} + { {1} over {2} } "ln" \( x rSup { size 8{2} } +1 \) "." {} } } {}

За вториот интеграл се применува парцијална интеграција:

u = x du = dx dv = x ( x 2 + 1 ) 2 dx v = x ( x 2 + 1 ) 2 dx = 1 2 2x ( x 2 + 1 ) 2 dx = 1 2 dt t 2 = 1 2 ( x 2 + 1 ) , alignl { stack { size 12{u=x drarrow ital "du"= ital "dx"} {} #size 12{ ital "dv"= { {x} over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{2} } } } ital "dx" drarrow v= Int { { {x} over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{2} } } } ital "dx"={}} { {1} over {2} } Int { { {2x} over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{2} } } } ital "dx"={}} { {1} over {2} } Int { { { ital "dt"} over {t rSup { size 8{2} } } } } = - { {1} over {2 \( x rSup { size 8{2} } +1 \) } } ,} {} } } {}

и затоа

I = arctan x x 1 2 ( x 2 + 1 ) + 1 2 1 x 2 + 1 dx + 1 2 ln ( x 2 + 1 ) = size 12{I= - "arctan"x - x { {1} over {2 \( x rSup { size 8{2} } +1 \) } } + { {1} over {2} } Int { { {1} over {x rSup { size 8{2} } +1} } ital "dx"} + { {1} over {2} } "ln" \( x rSup { size 8{2} } +1 \) ={}} {}
= arctan x x 2 ( x 2 + 1 ) + 1 2 arctan x + 1 2 ln ( x 2 + 1 ) + C , size 12{ {}= - "arctan"x - { {x} over {2 \( x rSup { size 8{2} } +1 \) } } + { {1} over {2} } "arctan"x+ { {1} over {2} } "ln" \( x rSup { size 8{2} } +1 \) +C,} {}

и по средување, интегралот е

I = 1 2 arctan x x 2 ( x 2 + 1 ) + 1 2 ln ( x 2 + 1 ) + C . size 12{I= - { {1} over {2} } "arctan"x - { {x} over {2 \( x rSup { size 8{2} } +1 \) } } + { {1} over {2} } "ln" \( x rSup { size 8{2} } +1 \) +C "." } {}

Questions & Answers

Do somebody tell me a best nano engineering book for beginners?
s. Reply
what is fullerene does it is used to make bukky balls
Devang Reply
are you nano engineer ?
s.
what is the Synthesis, properties,and applications of carbon nano chemistry
Abhijith Reply
so some one know about replacing silicon atom with phosphorous in semiconductors device?
s. Reply
Yeah, it is a pain to say the least. You basically have to heat the substarte up to around 1000 degrees celcius then pass phosphene gas over top of it, which is explosive and toxic by the way, under very low pressure.
Harper
how to fabricate graphene ink ?
SUYASH Reply
for screen printed electrodes ?
SUYASH
What is lattice structure?
s. Reply
of graphene you mean?
Ebrahim
or in general
Ebrahim
in general
s.
Graphene has a hexagonal structure
tahir
On having this app for quite a bit time, Haven't realised there's a chat room in it.
Cied
what is biological synthesis of nanoparticles
Sanket Reply
what's the easiest and fastest way to the synthesize AgNP?
Damian Reply
China
Cied
types of nano material
abeetha Reply
I start with an easy one. carbon nanotubes woven into a long filament like a string
Porter
many many of nanotubes
Porter
what is the k.e before it land
Yasmin
what is the function of carbon nanotubes?
Cesar
I'm interested in nanotube
Uday
what is nanomaterials​ and their applications of sensors.
Ramkumar Reply
what is nano technology
Sravani Reply
what is system testing?
AMJAD
preparation of nanomaterial
Victor Reply
Yes, Nanotechnology has a very fast field of applications and their is always something new to do with it...
Himanshu Reply
good afternoon madam
AMJAD
what is system testing
AMJAD
what is the application of nanotechnology?
Stotaw
In this morden time nanotechnology used in many field . 1-Electronics-manufacturad IC ,RAM,MRAM,solar panel etc 2-Helth and Medical-Nanomedicine,Drug Dilivery for cancer treatment etc 3- Atomobile -MEMS, Coating on car etc. and may other field for details you can check at Google
Azam
anybody can imagine what will be happen after 100 years from now in nano tech world
Prasenjit
after 100 year this will be not nanotechnology maybe this technology name will be change . maybe aftet 100 year . we work on electron lable practically about its properties and behaviour by the different instruments
Azam
name doesn't matter , whatever it will be change... I'm taking about effect on circumstances of the microscopic world
Prasenjit
how hard could it be to apply nanotechnology against viral infections such HIV or Ebola?
Damian
silver nanoparticles could handle the job?
Damian
not now but maybe in future only AgNP maybe any other nanomaterials
Azam
Hello
Uday
I'm interested in Nanotube
Uday
this technology will not going on for the long time , so I'm thinking about femtotechnology 10^-15
Prasenjit
can nanotechnology change the direction of the face of the world
Prasenjit Reply
At high concentrations (>0.01 M), the relation between absorptivity coefficient and absorbance is no longer linear. This is due to the electrostatic interactions between the quantum dots in close proximity. If the concentration of the solution is high, another effect that is seen is the scattering of light from the large number of quantum dots. This assumption only works at low concentrations of the analyte. Presence of stray light.
Ali Reply
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
QuizOver.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Математика 1. OpenStax CNX. Nov 17, 2014 Download for free at http://legacy.cnx.org/content/col11377/1.12
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Математика 1' conversation and receive update notifications?

Ask