<< Chapter < Page Chapter >> Page >
Во процесот на решавање на диференцијални равенки од прв ред, ќе се наведат постапките за решавање на: дифернцијална равенка во која променливите се раздвојуваат, хомогената диференцијална равенка, равенка која се сведува на хомогената диференцијална равенка, линерната диференцијална равенка и Бернулиевата диференцијална равенка.

Диференцијални равенки од прв ред

Диференцијалните равенки од прв ред ќе се класифицираат на типови според нивниот облик и ќе се прикажат техниките за нивно решавање. Најопшто, диференцијална равенка од прв ред е равенка од обликот

f ( x , y , y ' ) = 0 size 12{f \( x,y, { {y}} sup { ' } \) =0} {}

чие општо решение е

y = ϕ ( x ) + C . size 12{y=ϕ \( x \) +C "." } {}

Геометриски, општото решение претставува класа криви кои се добиваат од графикот на функцијата y = ϕ ( x ) size 12{y=ϕ \( x \) } {} со транслација по y size 12{y} {} -оската за реална вредност C size 12{C} {} . Секое партикуларно решение ќе биде функција (геометриски претставена со една крива) која задоволува некој почетен услов, а кај равенките од прв ред тоа значи кривата да поминува низ дадена точка ( x 0 , y 0 ) size 12{ \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } \) } {} . Проблемот за наоѓање на партикуларно решение кое го задоволува условот

y 0 = ϕ ( x 0 ) size 12{y rSub { size 8{0} } =ϕ \( x rSub { size 8{0} } \) } {}

е базичен во теоријата на диференцијалните равенки и се нарекува Кошиев (Cauchy) проблем.

Во продлолжение ќе наведеме повеќе типови линеарни диференцијални равенки од прв ред и методи за нивно решавање.

1. диференцијална равенка во која променливите се раздвојуваат

Наједноставниот тип на диференцијална равенка од прв ред е случајот кога променливите може да се раздвојат. Тоа е равенка од обликот

A ( x ) dx + B ( y ) dy = 0 size 12{A \( x \) ital "dx"+B \( y \) ital "dy"=0} {}

во која функциијата A size 12{A} {} зависи само од променливата x size 12{x} {} , а функцијата B size 12{B} {} зависи само од променливата y size 12{y} {} . Во ваквиот облик на диференцијална равенка променливите и соодветните диференцијали може да се раздвојат и општото решение се запишува преку интеграли

A ( x ) dx + B ( y ) dy = C size 12{ Int {A \( x \) ital "dx"} + Int {B \( y \) ital "dy"} =C} {}

каде C size 12{C} {} е произволна интегрална константа.

Пример 1.

Да се најде општото решение на диференцијалната равенка

xy ( 1 + y 2 ) dx ( 1 + x 2 ) dy = 0 . size 12{ ital "xy" \( 1+y rSup { size 8{2} } \) ital "dx" - \( 1+x rSup { size 8{2} } \) ital "dy"=0 "." } {}

РЕШЕНИЕ.

Во равенката променливите се раздвојуваат

x 1 + x 2 dx 1 y ( 1 + y 2 ) dy = 0 size 12{ { {x} over {1+x rSup { size 8{2} } } } ital "dx" - { {1} over {y \( 1+y rSup { size 8{2} } \) } } ital "dy"=0} {}

и општото решение е

x 1 + x 2 dx 1 y ( 1 + y 2 ) dy = C 1 . size 12{ Int { { {x} over {1+x rSup { size 8{2} } } } ital "dx"} - Int { { {1} over {y \( 1+y rSup { size 8{2} } \) } } ital "dy"} =C rSub { size 8{1} } "." } {}

Со решавање на интегралите се добива

1 2 ln ( 1 + x 2 ) 1 2 ln y 2 1 + y 2 = C 1 , size 12{ { {1} over {2} } "ln" \( 1+x rSup { size 8{2} } \) - { {1} over {2} } "ln" { {y rSup { size 8{2} } } over {1+y rSup { size 8{2} } } } =C rSub { size 8{1} } ,} {}

односно

ln ( 1 + x 2 ) ln y 2 1 + y 2 = ln C . size 12{"ln" \( 1+x rSup { size 8{2} } \) - "ln" { {y rSup { size 8{2} } } over {1+y rSup { size 8{2} } } } ="ln"C "." } {}

Интегралната константа C 1 size 12{C rSub { size 8{1} } } {} е произволна и може да се запише во било каков облик, а и помножена со константа пак ќе биде некоја константа. Во овој пример, бидејќи изразите во решението на равенката се логаритми, таа ќе се запише преку логаритам C 1 = 1 2 ln C size 12{C rSub { size 8{1} } = { {1} over {2} } "ln"C} {} и општото решението ќе има облик

ln ( 1 + x 2 ) ( 1 + y 2 ) y 2 = ln C , size 12{"ln" { { \( 1+x rSup { size 8{2} } \) \( 1+y rSup { size 8{2} } \) } over {y rSup { size 8{2} } } } ="ln"C,} {}

и по антилогаритмирање

( 1 + x 2 ) ( 1 + y 2 ) = Cy 2 . size 12{ \( 1+x rSup { size 8{2} } \) \( 1+y rSup { size 8{2} } \) = ital "Cy" rSup { size 8{2} } "." } {}

Пример 2.

Да се најде партикуларното решение на диференцијалната равенка

y x y ' = b + bx 2 y ' size 12{y - x { {y}} sup { ' }=b+ ital "bx" rSup { size 8{2} } { {y}} sup { ' }} {} , за кое y = 1 size 12{y=1} {} кога x = 1 . size 12{x=1 "." } {}

РЕШЕНИЕ.

Диференцијалната равенка y x y ' = b + bx 2 y ' size 12{y - x { {y}} sup { ' }=b+ ital "bx" rSup { size 8{2} } { {y}} sup { ' }} {} се запишува во обликот

y b = ( x + bx 2 ) dy dx size 12{y - b= \( x+ ital "bx" rSup { size 8{2} } \) { { ital "dy"} over { ital "dx"} } } {}

во кој променливите може да се раздвојат

dx x + bx 2 = dy y b size 12{ { { ital "dx"} over {x+ ital "bx" rSup { size 8{2} } } } = { { ital "dy"} over {y - b} } } {}

и по решавање на интегралите се добива

ln x ln x + 1 b = ln y b + ln C size 12{"ln" \lline x \lline - "ln" lline x+ { {1} over {b} } rline ="ln" \lline y - b \lline +"ln"C} {}

а по антилогаритмирање, општото решение е

y = bx C ( xb + 1 ) + b . size 12{y= { { ital "bx"} over {C \( ital "xb"+1 \) } } +b "." } {}

Бидејќи во оваа задача се бара да се определи партикуларно решение кое има вредност y = 1 size 12{y=1} {} кога x = 1, size 12{x=1,} {} овие почетни услови се заменуваат во општото решение 1 = b C ( b + 1 ) + b size 12{1= { {b} over {C \( b+1 \) } } +b} {} од каде се пресметува вредноста на константата C = b 1 b 2 . size 12{C= { {b} over {1 - b rSup { size 8{2} } } } "." } {} Заменувајќи ја оваа вредност во општото решение, се добива бараното партикуларно решение кое гласи

y = x + b xb + 1 size 12{y= { {x+b} over { ital "xb"+1} } } {} . ◄

Questions & Answers

what does nano mean?
Anassong Reply
nano basically means 10^(-9). nanometer is a unit to measure length.
Bharti
do you think it's worthwhile in the long term to study the effects and possibilities of nanotechnology on viral treatment?
Damian Reply
absolutely yes
Daniel
how to know photocatalytic properties of tio2 nanoparticles...what to do now
Akash Reply
it is a goid question and i want to know the answer as well
Maciej
characteristics of micro business
Abigail
for teaching engĺish at school how nano technology help us
Anassong
Do somebody tell me a best nano engineering book for beginners?
s. Reply
what is fullerene does it is used to make bukky balls
Devang Reply
are you nano engineer ?
s.
fullerene is a bucky ball aka Carbon 60 molecule. It was name by the architect Fuller. He design the geodesic dome. it resembles a soccer ball.
Tarell
what is the actual application of fullerenes nowadays?
Damian
That is a great question Damian. best way to answer that question is to Google it. there are hundreds of applications for buck minister fullerenes, from medical to aerospace. you can also find plenty of research papers that will give you great detail on the potential applications of fullerenes.
Tarell
what is the Synthesis, properties,and applications of carbon nano chemistry
Abhijith Reply
Mostly, they use nano carbon for electronics and for materials to be strengthened.
Virgil
is Bucky paper clear?
CYNTHIA
so some one know about replacing silicon atom with phosphorous in semiconductors device?
s. Reply
Yeah, it is a pain to say the least. You basically have to heat the substarte up to around 1000 degrees celcius then pass phosphene gas over top of it, which is explosive and toxic by the way, under very low pressure.
Harper
Do you know which machine is used to that process?
s.
how to fabricate graphene ink ?
SUYASH Reply
for screen printed electrodes ?
SUYASH
What is lattice structure?
s. Reply
of graphene you mean?
Ebrahim
or in general
Ebrahim
in general
s.
Graphene has a hexagonal structure
tahir
On having this app for quite a bit time, Haven't realised there's a chat room in it.
Cied
what is biological synthesis of nanoparticles
Sanket Reply
what's the easiest and fastest way to the synthesize AgNP?
Damian Reply
China
Cied
types of nano material
abeetha Reply
I start with an easy one. carbon nanotubes woven into a long filament like a string
Porter
many many of nanotubes
Porter
what is the k.e before it land
Yasmin
what is the function of carbon nanotubes?
Cesar
I'm interested in nanotube
Uday
what is nanomaterials​ and their applications of sensors.
Ramkumar Reply
what is nano technology
Sravani Reply
what is system testing?
AMJAD
preparation of nanomaterial
Victor Reply
how to synthesize TiO2 nanoparticles by chemical methods
Zubear
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
Berger describes sociologists as concerned with
Mueller Reply
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
QuizOver.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Диференцијални равенки. OpenStax CNX. Jun 04, 2012 Download for free at http://cnx.org/content/col11414/1.2
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Диференцијални равенки' conversation and receive update notifications?

Ask