<< Chapter < Page Chapter >> Page >

z = ax + by size 12{z= ital "ax"+ ital "by"} {}

диференцијалната равенка се сведува на равенка во која променливите се раздвојуваат и како таква се решава.

Пример 5.

Да најде општото решение на диференцијалната равенка

y ' = 2 ( y + 2 ) 2 ( x + y 1 ) 2 . size 12{ { {y}} sup { ' }= { {2 \( y+2 \) rSup { size 8{2} } } over { \( x+y - 1 \) rSup { size 8{2} } } } "." } {}

РЕШЕНИЕ.

Со смената

x = u + α , dx = du y = v + β , dy = dv alignl { stack { size 12{x=u+α,~ ital "dx"= ital "du"} {} #size 12{y=v+β,~ ital "dy"= ital "dv"~} {} } } {} dy dx = y ' = v ' = dv du size 12{ drarrow ~ { { ital "dy"} over { ital "dx"} } = { {y}} sup { ' }= { {v}} sup { ' }= { { ital "dv"} over { ital "du"} } } {}

диференцијалната равенка се сведува на

v ' = 2 ( v + β + 2 ) 2 ( u + α + v + β 1 ) 2 . size 12{ { {v}} sup { ' }= { {2 \( v+β+2 \) rSup { size 8{2} } } over { \( u+α+v+β - 1 \) rSup { size 8{2} } } } "." } {}

За да биде оваа диференцијална равенка хомогена, потребно е да се реши системот равенки

β + 2 = 0 α + β 1 = 0 Δ 0 β = 2, α = 3 { size 12{alignl { stack { left lbrace β+2=0 {} #right none left lbrace α+β - 1=0 {} # right no } } lbrace ~ drarrow Δ<>0` drarrow ~β= - 2,`α=3} {} ,

а диференцијалната равенка со овие вредности е

v ' = 2v 2 ( u + v ) 2 , size 12{ { {v}} sup { ' }= { {2v rSup { size 8{2} } } over { \( u+v \) rSup { size 8{2} } } } ,} {}

односно таа е хомогена равенка

v ' = 2 v u 2 1 + v u 2 size 12{ { {v}} sup { ' }= { {2 left ( { {v} over {u} } right ) rSup { size 8{2} } } over { left (1+ { {u} over {v} } right ) rSup { size 8{2} } } } } {}

која со смената v = zu size 12{v= ital "zu"} {} и v ' = z ' u + z size 12{ { {v}} sup { ' }= { {z}} sup { ' }u+z} {} се сведува на равенка во која променливите се раздвојуваат

( 1 + z ) 2 z + z 3 dz = du u size 12{ - { { \( 1+z \) rSup { size 8{2} } } over {z+z rSup { size 8{3} } } } ital "dz"= { { ital "du"} over {u} } } {} .

Решението на оваа равенка е

ln z 2 arctg z = ln Cu size 12{ - "ln" \lline z \lline - 2"arctg"`z="ln" \lline ital "Cu" \lline } {}

кое по вараќање на променливте од последната замена z = v u size 12{z= { {v} over {u} } } {} има облик

arctg v u = 1 2 ln Cv size 12{"arctg"` { {v} over {u} } = - { {1} over {2} } "ln" \lline ital "Cv" \lline } {} или vC = e 2 arctg v u size 12{ ital "vC"=e rSup { size 8{ - 2"arctg"` { {v} over {u} } } } } {}

а по враќање на првобитните променливи од смената x = u + 3, y = v 2 size 12{x=u+3,~y=v - 2} {} , се добива општото решение на равенката кое гласи

( y + 2 ) C = e 2 arctg y + 2 x 3 size 12{ \( y+2 \) C=e rSup { size 8{ - 2"arctg"` { {y+2} over {x - 3} } } } } {} . ◄

Пример 6.

Да најде општото решение на диференцијалната равенка

y ' = 2x + y 1 4x + 2y + 5 . size 12{ { {y}} sup { ' }= { {2x+y - 1} over {4x+2y+5} } "." } {}

РЕШЕНИЕ.

Оваа диференцијална равенка се сведува на хомогена равенка, но по воведување на смената детерминантата на системот е = 0. Равенката може да се запише во обликот

y ' = 2x + y 1 4x + 2y + 5 = ( 2x + y ) 1 2 ( 2x + y ) + 5 size 12{ { {y}} sup { ' }= { {2x+y - 1} over {4x+2y+5} } = { { \( 2x+y \) - 1} over {2 \( 2x+y \) +5} } } {}

и со смената

z = 2x + y y = z 2x y ' = z ' 2 size 12{z=2x+y~ drarrow ~y=z - 2x~ drarrow ~ { {y}} sup { ' }= { {z}} sup { ' } - 2} {}

таа се сведува на равенка во која променливите се раздвојуваат

z ' = 5z + 9 2z + 5 . size 12{ { {z}} sup { ' }= { {5z+9} over {2z+5} } "." } {}

Општото решение на оваа равенка е

2z + 5 5z + 9 dz = dx + C size 12{ Int { { {2z+5} over {5z+9} } ital "dz"} = Int { ital "dx"+C} } {}

и по интегрирање тоа гласи

2 5 z + 7 25 ln z + 9 5 = x + C size 12{ { {2} over {5} } z+ { {7} over {"25"} } "ln" \lline z+ { {9} over {5} } \lline =x+C} {}

и по враќање на старата променлива од смената z = 2x + y size 12{z=2x+y} {} , општото решение е

2 5 ( 2x + y ) + 7 25 ln 10 x + 5y + 9 5 = x + C . size 12{ { {2} over {5} } \( 2x+y \) + { {7} over {"25"} } "ln" lline { {"10"x+5y+9} over {5} } rline =x+C "." } {}

3. линерана диференцијална равенка

Општиот облик на линерна диференцијална равенка од прв ред е

dy dx + P ( x ) y = Q ( x ) size 12{ { { ital "dy"} over { ital "dx"} } +P \( x \) y=Q \( x \) } {} ,

каде P ( x ) , Q ( x ) size 12{P \( x \) ,``Q \( x \) } {} се дадени непрекинати функции од променливата x size 12{x} {} .

Равенката од обликот

dy dx + P ( x ) y = 0 size 12{ { { ital "dy"} over { ital "dx"} } +P \( x \) y=0} {}

се нарекува хомогена линеарна диференцијална равенка од прв ред. Во оваа равенка променливите се раздвојуваат и нејзиното општо решение е

dy y = P ( x ) dx + ln C size 12{ Int { { { ital "dy"} over {y} } } = - Int {P \( x \) ital "dx"} +"ln"C} {}

или

y = Ce P ( x ) dx size 12{y= ital "Ce" rSup { size 8{ - Int {P \( x \) ital "dx"} } } } {} .

Ова решение на хомогената линеарна равенка може да се искористи за определување на општото решение на нехомогената линеарна равенка со користење на методот на варијација на константи, со кој константата C се третира како непрекината и диференцијабилна функција C ( x ) size 12{C \( x \) } {} . Затоа решението на хомогената линеарна равенка сега ќе биде

y = C ( x ) e P ( x ) dx size 12{y=C \( x \) e rSup { size 8{ - Int {P \( x \) ital "dx"} } } } {} ,

а неговиот извод е

y ' = e P ( x ) dx C ' ( x ) P ( x ) C ( x ) . size 12{ { {y}} sup { ' }=e rSup { size 8{ - Int {P \( x \) ital "dx"} } } left [ { {C}} sup { ' } \( x \) - P \( x \) C \( x \) right ] "." } {}

Заменувајќи го ова решение и неговиот извод во нехомогената линерна равенка се добива

e P ( x ) dx C ' ( x ) P ( x ) C ( x ) + P ( x ) C ( x ) e P ( x ) dx = Q ( x ) size 12{e rSup { size 8{ - Int {P \( x \) ital "dx"} } } left [ { {C}} sup { ' } \( x \) - P \( x \) C \( x \) right ]+P \( x \) C \( x \) e rSup { size 8{ - Int {P \( x \) ital "dx"} } } =Q \( x \) } {}

или по средување

C ' ( x ) = Q ( x ) e P ( x ) dx size 12{~ { {C}} sup { ' } \( x \) =Q \( x \) e rSup { size 8{ Int {P \( x \) ital "dx"} } } } {}

од каде следува дека

C ( x ) = Q ( x ) e P ( x ) dx dx + C , C = const . size 12{C \( x \) = Int {Q \( x \) e rSup { size 8{ Int {P \( x \) ital "dx"} } } } ital "dx"+C,~C= ital "const" "." } {}

Со замена на оваа вредност за C ( x ) size 12{C \( x \) } {} во решението се добива

y = e P ( x ) dx C + Q ( x ) e P ( x ) dx dx size 12{y=e rSup { size 8{ - Int {P \( x \) ital "dx"} } } left [C+ Int {Q \( x \) } e rSup { size 8{ Int {P \( x \) ital "dx"} } } ital "dx" right ]} {}

што претставува општо решение на линеарната диференцијална равенка од прв ред.

Пример 7.

Да се најде партикуларното решение на диференцијалната равенка

( 1 + x 2 ) y ' 2 xy = ( 1 + x 2 ) 2 size 12{ \( 1+x rSup { size 8{2} } \) { {y}} sup { ' } - 2 ital "xy"= \( 1+x rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{2} } } {} кое за x = 1, y = 2 size 12{x=1,`y=2} {} .

РЕШЕНИЕ.

Диференцијалната равенка се запишува како

y ' 2x 1 + x 2 y = 1 + x 2 size 12{ { {y}} sup { ' } - { {2x} over {1+x rSup { size 8{2} } } } y=1+x rSup { size 8{2} } } {} ,

и таа е линеарна при што P ( x ) = 2x 1 + x 2 , Q ( x ) = 1 + x 2 . size 12{P \( x \) = - { {2x} over {1+x rSup { size 8{2} } } } ,~Q \( x \) =1+x rSup { size 8{2} } "." } {}

Применувајќи ја формулата за општо решение на линеарната диференцијална равенка од прв ред се добива

y = e 2x 1 + x 2 dx C + ( 1 + x 2 ) e 2x 1 + x 2 dx dx size 12{y=e rSup { size 8{ Int { { {2x} over {1+x rSup { size 6{2} } } } } ital "dx"} } left [C+ \( 1+x rSup {2} size 12{ \) e rSup { - Int { { {2x} over {1+x rSup { size 6{2} } } } } ital "dx"} } size 12{ ital "dx"} right ]} {} ,

или по решавање на интегралите, општото решение е

y = ( 1 + x 2 ) ( C + x ) size 12{y= \( 1+x rSup { size 8{2} } \) \( C+x \) } {} .

Со замена на почетните услови x = 1, y = 2 size 12{x=1,`y=2} {} во општото решение

2 = ( 1 + 1 ) ( C + 1 ) C = 0 size 12{2= \( 1+1 \) \( C+1 \) ~ drarrow ~C=0} {}

се пресмета вредноста на интегралната константа и затоа бараното партикуларно решение е

y = ( 1 + x 2 ) x size 12{y= \( 1+x rSup { size 8{2} } \) x} {} . ◄

Пример 8.

Да најде општото решение на диференцијалната равенка

y ' = y 2y ln y + y x size 12{ { {y}} sup { ' }= { {y} over {2y"ln"y+y - x} } } {} .

РЕШЕНИЕ.

Ова е пример на диференцијална равенка која не е линеарна по y size 12{y} {} , а е линерна по променливата x size 12{x} {} . Користејќи ја релацијата

y ' = dy dx = 1 dx dy = 1 x ' size 12{ { {y}} sup { ' }= { { ital "dy"} over { ital "dx"} } = { {1} over { { { ital "dx"} over { ital "dy"} } } } = { {1} over { { {x}} sup { ' }} } } {} ,

диференцијалната равенка се запишува во облик

1 x ' = y 2y ln y + y x size 12{ { {1} over { { {x}} sup { ' }} } = { {y} over {2y"ln"y+y - x} } } {}

или

x ' = 2y ln y + y x y size 12{ { {x}} sup { ' }= { {2y"ln"y+y - x} over {y} } } {} ,

од каде се гледа дека таа е линеарна по променливата x size 12{x} {} и се запишува во вообичаениот облик како

x ' + x y = 2y ln y + 1 size 12{ { {x}} sup { ' }+ { {x} over {y} } =2y"ln"y+1} {} .

Според тоа изразот за општо решение на оваа диференцијална равенка која е линеарна по променливата x size 12{x} {} ќе гласи

x = e dy y ( 2y ln y + 1 ) e dy y dy + C size 12{x=e rSup { size 8{ - Int { { { ital "dy"} over {y} } } } } left [ Int { \( 2y"ln"y+1 \) e rSup { size 8{ Int { { { ital "dy"} over {y} } } } } ital "dy"+C} right ]} {} ,

а по решавање на интегралите се добива

x = 1 y y 2 ( ln y 1 2 ) + y 2 2 + C size 12{x= { {1} over {y} } left [y rSup { size 8{2} } \( "ln"y - { {1} over {2} } \) + { {y rSup { size 8{2} } } over {2} } +C right ]} {}

и по средување на овој израз, општото решение е

x = C y + y ln y size 12{x= { {C} over {y} } +y"ln"y} {} . ◄

4. бернулиева диференцијална равенка

Диференцијалната равенка од облик

y ' + P ( x ) y = Q ( x ) y n size 12{ { {y}} sup { ' }+P \( x \) y=Q \( x \) y rSup { size 8{n} } } {}

се нарекува Бернулиева (Bernoulli) диференцијална равенка. Со погодна смена на функцијата, оваа равенка може да се сведе на линеарна диференцијална равенка. За таа цел Бернулиевата диференцијална равенка се дели со y n size 12{y rSup { size 8{n} } } {}

y ' + P ( x ) y = Q ( x ) y n /: y n size 12{ { {y}} sup { ' }+P \( x \) y=Q \( x \) y rSup { size 8{n} } "/:"y rSup { size 8{n} } } {}

при што се добива

y n y ' + P ( x ) y 1 n = Q ( x ) size 12{y rSup { size 8{ - n} } { {y}} sup { ' }+P \( x \) y rSup { size 8{1 - n} } =Q \( x \) } {} .

Со смената

t = y 1 n , t ' = ( 1 n ) y n y ' size 12{t=y rSup { size 8{1 - n} } ,~ { {t}} sup { ' }= \( 1 - n \) y rSup { size 8{ - n} } { {y}} sup { ' }} {}

Бернулиевата се сведува на линеарна равенка по новата променлива t size 12{t} {}

1 1 n t ' + P ( x ) t = Q ( x ) size 12{ { {1} over {1 - n} } { {t}} sup { ' }+P \( x \) t=Q \( x \) } {}

и за нејзино решавање се применува постапката за решавање на линерна дифернцијална равенка и на крај потребно е да се вратиме на старата променлива.

Пример 9.

Да најде општото решение на диференцијалната равенка

y ' y tg x + y 2 cos x = 0 size 12{ { {y}} sup { ' } - y`"tg"`x+y rSup { size 8{2} } "cos"x=0} {} .

РЕШЕНИЕ.

Дадената равенка е Бернулиева диференцијална равенка

y ' y tg x = y 2 cos x size 12{ { {y}} sup { ' } - y`"tg"`x= - y rSup { size 8{2} } "cos"x} {}

која по делење со y 2 size 12{y rSup { size 8{2} } } {} ја дава равенката

y ' y 2 tg x y = cos x size 12{ { { { {y}} sup { ' }} over {y rSup { size 8{2} } } } - { {"tg"`x} over {y} } = - "cos"x} {}

и која преку смената

t = 1 y , t ' = y ' y 2 size 12{t= { {1} over {y} } ,~ { {t}} sup { ' }= - { { { {y}} sup { ' }} over {y rSup { size 8{2} } } } } {}

се сведува на линеарна диференцијална равенка

t ' t tg x = cos x size 12{ - { {t}} sup { ' } - t`"tg"`x= - "cos"x} {} ,

односно

t ' + t tg x = cos x size 12{ { {t}} sup { ' }+t`"tg"`x="cos"x} {}

чие што решение е

t = e tgxdx cos x e tgxdx dx + C size 12{t=e rSup { size 8{ - Int { ital "tgxdx"} } } left [ Int {"cos"x`e rSup { size 8{ Int { ital "tgxdx"} } } } ital "dx"+C right ]} {} .

Решавајќи ги интегралите од десната страна, се добива дека

t = ( x + C ) cos x size 12{t= \( x+C \) "cos"x} {}

и по враќање на старата променлива од смената t = 1 y size 12{t= { {1} over {y} } } {} , општото решение на бараната Бернулиева равенка е

y = 1 ( x + C ) cos x size 12{y= { {1} over { \( x+C \) "cos"x} } } {} . ◄

Пример 10.

Да се најде општото решение на Бернулиевата диференцијална равенка

xy ( xdy + ydx ) = 4x 3 dx size 12{ ital "xy" \( ital "xdy"+ ital "ydx" \) =4x rSup { size 8{3} } ital "dx"} {} .

РЕШЕНИЕ.

Ако во диференцијалната равенка

xy ( xdy + ydx ) = 4x 3 dx size 12{ ital "xy" \( ital "xdy"+ ital "ydx" \) =4x rSup { size 8{3} } ital "dx"} {}

се ослободиме од заградата (множиме) и потоа поделиме со dx size 12{ ital "dx"} {} , се добива

x 2 y dy dx + xy 2 = 4x 3 size 12{x rSup { size 8{2} } y { { ital "dy"} over { ital "dx"} } + ital "xy" rSup { size 8{2} } =4x rSup { size 8{3} } } {} .

Делејќи ја последната равенка со коефициентот x 2 y size 12{x rSup { size 8{2} } y} {} кој е пред изводот

x 2 y dy dx + xy 2 = 4x 3 /: x 2 y size 12{x rSup { size 8{2} } y { { ital "dy"} over { ital "dx"} } + ital "xy" rSup { size 8{2} } =4x rSup { size 8{3} } "/:"x rSup { size 8{2} } y} {}

се добива стандардниот облик на Бернулиева диференцијална равенка

y ' + y x = 4x y size 12{ { {y}} sup { ' }+ { {y} over {x} } = { {4x} over {y} } } {} .

Во оваа равенка степенот n = 1 size 12{n= - 1} {} и затоа равенката ја делиме со y 1 size 12{y rSup { size 8{ - 1} } } {} (множиме со y size 12{y} {} ) при што се добива

y y ' + y 2 x = 4x size 12{y { {y}} sup { ' }+ { {y rSup { size 8{2} } } over {x} } =4x} {}

и со смената t = y 2 t ' = 2y y ' size 12{t=y rSup { size 8{2} } ~ drarrow ~ { {t}} sup { ' }=2y { {y}} sup { ' }} {} , таа се сведува на линеарна диференцијална равенка

t ' + 2 x t = 8x size 12{ { {t}} sup { ' }+ { {2} over {x} } t=8x} {}

која има решение

t = e 2 x dx 8 xe 2 x dx dx + C size 12{t=e rSup { size 8{ - Int { { {2} over {x} } } ital "dx"} } left [ Int {8 ital "xe" rSup { size 8{ Int { { {2} over {x} } } ital "dx"} } ital "dx"} +C right ]} {} ,

односно

t = 1 x 2 ( 2x 4 + C ) size 12{t= { {1} over {x rSup { size 8{2} } } } \( 2x rSup { size 8{4} } +C \) } {} .

Со враќање на старата променлива од смената t = y 2 size 12{t=y rSup { size 8{2} } } {} , се добива општото решение

y 2 x 2 = 2x 4 + C . size 12{y rSup { size 8{2} } x rSup { size 8{2} } =2x rSup { size 8{4} } +C "." } {}

Questions & Answers

what does nano mean?
Anassong Reply
nano basically means 10^(-9). nanometer is a unit to measure length.
Bharti
do you think it's worthwhile in the long term to study the effects and possibilities of nanotechnology on viral treatment?
Damian Reply
absolutely yes
Daniel
how to know photocatalytic properties of tio2 nanoparticles...what to do now
Akash Reply
it is a goid question and i want to know the answer as well
Maciej
characteristics of micro business
Abigail
for teaching engĺish at school how nano technology help us
Anassong
Do somebody tell me a best nano engineering book for beginners?
s. Reply
what is fullerene does it is used to make bukky balls
Devang Reply
are you nano engineer ?
s.
fullerene is a bucky ball aka Carbon 60 molecule. It was name by the architect Fuller. He design the geodesic dome. it resembles a soccer ball.
Tarell
what is the actual application of fullerenes nowadays?
Damian
That is a great question Damian. best way to answer that question is to Google it. there are hundreds of applications for buck minister fullerenes, from medical to aerospace. you can also find plenty of research papers that will give you great detail on the potential applications of fullerenes.
Tarell
what is the Synthesis, properties,and applications of carbon nano chemistry
Abhijith Reply
Mostly, they use nano carbon for electronics and for materials to be strengthened.
Virgil
is Bucky paper clear?
CYNTHIA
so some one know about replacing silicon atom with phosphorous in semiconductors device?
s. Reply
Yeah, it is a pain to say the least. You basically have to heat the substarte up to around 1000 degrees celcius then pass phosphene gas over top of it, which is explosive and toxic by the way, under very low pressure.
Harper
Do you know which machine is used to that process?
s.
how to fabricate graphene ink ?
SUYASH Reply
for screen printed electrodes ?
SUYASH
What is lattice structure?
s. Reply
of graphene you mean?
Ebrahim
or in general
Ebrahim
in general
s.
Graphene has a hexagonal structure
tahir
On having this app for quite a bit time, Haven't realised there's a chat room in it.
Cied
what is biological synthesis of nanoparticles
Sanket Reply
what's the easiest and fastest way to the synthesize AgNP?
Damian Reply
China
Cied
types of nano material
abeetha Reply
I start with an easy one. carbon nanotubes woven into a long filament like a string
Porter
many many of nanotubes
Porter
what is the k.e before it land
Yasmin
what is the function of carbon nanotubes?
Cesar
I'm interested in nanotube
Uday
what is nanomaterials​ and their applications of sensors.
Ramkumar Reply
what is nano technology
Sravani Reply
what is system testing?
AMJAD
preparation of nanomaterial
Victor Reply
how to synthesize TiO2 nanoparticles by chemical methods
Zubear
what's the program
Jordan
?
Jordan
what chemical
Jordan
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
QuizOver.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Диференцијални равенки. OpenStax CNX. Jun 04, 2012 Download for free at http://cnx.org/content/col11414/1.2
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Диференцијални равенки' conversation and receive update notifications?

Ask