2.8 Гранична вредност на функција

Случај 2: функција со бесконечни граници

а ) Ако двете еднострани граници во точката $a$ тежат кон плус бесконечност (Сл. 2), функцијата нема граница во точката $a$ ;

б ) Ако двете еднострани граници во точката $a$ тежат кон минус бесконечност (Сл. 3), функцијата нема граница во точката $a$ ;

в ) Ако двете еднострани граници во точката $a$ тежат кон бесконечност, но левата бесконечност е позитивна а десната е негативна (Сл. 4), функцијата нема граница во точката $a$ ;

г ) Ако двете еднострани граници во точката $a$ тежат кон бесконечност, но левата е негативна бесконечност а десната е позитивна (Сл. 5), функцијата нема граница во точката $a$ ;

Случај 3: функција со конечна и бесконечна граница

Ако во точката $a$ едната еднострана граница е конечна, а другата бесконечна (на пример како на Сл 6. левата граница е конечна а десната бесконечна), функцијата ќе нема граница во точката $a$ .

Особини на граничните вредности

За граничните вредности на функците важат аналогни правила како за граничните вредности на низите. Така, ако $\underset{x\to a}{\text{lim}}f(x)=A$ и $\underset{x\to a}{\text{lim}}g(x)=B$ , тогаш:

$\underset{x\to a}{\text{lim}}\text{kf}(x)=k\underset{x\to a}{\text{lim}}f(x)=\text{kA},(k-\text{const});$

$\underset{x\to a}{\text{lim}}(f(x)\pm g(x))=\underset{x\to a}{\text{lim}}f(x)\pm \underset{x\to a}{\text{lim}}g(x)=A\pm B;$

$\underset{x\to a}{\text{lim}}(f(x)g(x))=\underset{x\to a}{\text{lim}}f(x)\cdot \underset{x\to a}{\text{lim}}g(x)=A\cdot B;$

Некои поважни граници

Без да се докажат ќе наведеме некои поважни граници на функции:

$\underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{\text{sin}x}{x}=1$

$\underset{x\to \infty }{\text{lim}}{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$

$\underset{x\to 0}{\text{lim}}{\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}=e$

$\underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{e^x-1}{x}=1$

$\underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{a^x-1}{x}=\text{ln}a\text{.}$

За пресметување на граница на функција која е количник од полиноми и кога аргументот тежи кон $\infty$ се дели со највисоката степен на полиномот и се користи границата $\underset{x\to \infty }{\text{lim}}\frac{1}{x}=0$ .

Споредување на функциите

Вредностите на различни функциите во околина на дадена точка може да се споредуваат и кога тоа не е очигледно, а често споредувањето се врши преку нивниот количник.

Функцијата се нарекува бесконечно мала величина или инфинитезимала кога $x\to a$ ако нејзина гранична вредност е нула.

Нека се дадени две бесконечно мали величини $f(x)$ и $g(x)$ за кои $\underset{x\to a}{\text{lim}}f(x)=0$ и $\underset{x\to a}{\text{lim}}g(x)=0$ . Овие бесконечно мали величини може да се споредат во околина на точката $x=a$ преку граничната вредност на нивниот количник и притоа ако:

Ако $\underset{x\to a}{\text{lim}}\frac{f(x)}{g(x)}=0$ , за $f(x)$ се вели дека е бесконечно мала величина од повисок ред во однос на бесконечно малата величина $g(x)$ кога $x\to a$ ;

Ако $\underset{x\to a}{\text{lim}}\frac{f(x)}{g(x)}=\infty$ , за $f(x)$ се вели дека е бесконечно мала величина од понизок ред во однос на бесконечно малата величина $g(x)$ кога $x\to a$ ;

Ако , за $f(x)$ и $g(x)$ се вели дека се бесконечно мали величини од ист ред. Ако $\text{const}=1$ , бесконечно малите величини се еквивалентни.

Аналогно, можно е да се споредат и бесконечно големите величини.

Функцијата се нарекува бесконечно голема величина кога $x\to a$ ако има бесконечна граница.

Бесконечно големите величини $f(x)$ и $g(x)$ за кои $\underset{x\to a}{\text{lim}}f(x)=\infty$ и $\underset{x\to a}{\text{lim}}f(x)=\infty$ може да се споредат по големина ако се пресмета границата од нивниот количник. Притоа:

Ако $\underset{x\to a}{\text{lim}}\frac{f(x)}{g(x)}=\infty$ , за $f(x)$ се вели дека е бесконечно голема величина од повисок ред во однос на бесконечно големата величина $g(x)$ кога $x\to a$ ;

Ако $\underset{x\to a}{\text{lim}}\frac{f(x)}{g(x)}=0$ , за $f(x)$ се вели дека е бесконечно голема величина од понизок ред во однос на бесконечно големата величина $g(x)$ кога $x\to a$ ;

Ако , за $f(x)$ и $g(x)$ се вели дека се бесконечно големи од ист ред. Ако $\text{const}=1$ , бесконечно големите величини се еквивалентни кога $x\to a$ .