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s j = 0 T s ( t ) . U j ( t ) dt j = 1,2,3, . . . , N alignl { stack { size 12{s rSub { size 8{j} } = Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {s \( t \) "." U rSub { size 8{j} } \( t \) ital "dt"} } {} #j=1,2,3, "." "." "." ,N {} } } {}

Si lo vemos desde la perspectiva vectorial, el procedimiento será entonces el de obtener una representación de la señal en función de dos vectores en el plano. El estimado del vector original sería entonces la proyección de éste sobre el plano:

Ejemplo aplicado a vectores. ŝ(t) es el estimado de cada forma de onda original s(t) y e(t) sería la introducción de ruido de AWGN en el sistema.

Habiendo explicado la síntesis teórica de la ortogonalización, ¿Cómo podemos hallar las bases necesarias para representar las señales de nuestro sistema? Para ello deben seguirse estos pasos:

Supongamos que se da un conjunto de señales de energía s i (t) que se quieren representar por medio de bases U j en un intervalo de tiempo [0,T]:

Si ( t ) = i = 1 n s ij . U j ( t ) size 12{ ital "Si" \( t \) = Sum cSub { size 8{i=1} } cSup { size 8{n} } {s rSub { size 8{ ital "ij"} } "." U rSub { size 8{j} } \( t \) } } {}

Las bases deben cumplir con el principio de ortonormalidad mencionado al principio:

0 T U j ( t ) . U k ( t ) dt = { 1 j = k 0 j k size 12{ Int rSub { size 8{0} } rSup { size 8{T} } {U rSub { size 8{j} } \( t \) "." U rSub { size 8{k} } \( t \) ital "dt"} = left lbrace matrix { 1 rightarrow j=k {} ##0 rightarrow j<>k } right none } {}

Entonces:

Paso 1: se fija sij = 0 exceptuando el primer valor: s11:

Elevamos toda la ecuación al cuadrado y la integramos en el intervalo [0,T]:

0 T s 1 ( t ) 2 dt = 0 T s 11 2 . U 1 2 ( t ) dt = 0 T s 11 2 . U 1 ( t ) . U 1 ( t ) dt size 12{ Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } { left [s rSub { size 8{1} } \( t \) right ] rSup { size 8{2} } ital "dt"} = Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {s rSub { size 8{"11"} rSup { size 8{2} } } } "." U rSub { size 8{1} rSup { size 8{2} } } \( t \) ital "dt"= Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {s rSub { size 8{"11"} rSup { size 8{2} } } } "." U rSub { size 8{1} } \( t \) "." U rSub { size 8{1} } \( t \) ital "dt"} {}

Por el principio de ortonormalidad:

Quedando s 1 (t) sólo en función de s 11 , por lo que ya se puede despejar:

0 t [ s 1 ( t ) ] 2 dt = s 11 size 12{ sqrt { Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{t} } { \[ s rSub { size 8{1} } \( t \) \] rSup { size 8{2} } ital "dt"} } =s rSub { size 8{"11"} } } {}

Finalmente:

U 1 ( t ) = s 1 ( t ) s 11 size 12{U rSub { size 8{1} } \( t \) = { {s rSub { size 8{1} } \( t \) } over {s rSub { size 8{"11"} } } } } {}

Con esto obtenemos la primera base para representar nuestra señal. Para calcular U 2 (t), debemos restarle a s 2 (t) su proyección sobre U 1 (t); esto cumpliría con la condición de que la base sea ortogonal.

Paso 2: se fija sij=0 exceptuando los valores de s21 y s22:

Ecuación (a)

Multiplicamos la ecuación por U 1 (t) y la integramos en el intervalo [0,T]:

0 T s 2 ( t ) . U 1 ( t ) dt = 0 T s 21 . U 1 ( t ) . U 1 ( t ) dt + 0 T s 22 . U 2 ( t ) . U 1 ( t ) dt size 12{ Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {s rSub { size 8{2} } \( t \) "." U rSub { size 8{1} } \( t \) ital "dt"= Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {s rSub { size 8{"21"} } "." U rSub { size 8{1} } \( t \) "." U rSub { size 8{1} } \( t \) ital "dt"} + Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {s rSub { size 8{"22"} } "." U rSub { size 8{2} } \( t \) "." U rSub { size 8{1} } \( t \) ital "dt"} } } {}

Quedando entonces:

0 T s 2 ( t ) . U 1 ( t ) dt = s 21 size 12{ Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {s rSub { size 8{2} } \( t \) "." U rSub { size 8{1} } \( t \) ital "dt"=s rSub { size 8{"21"} } } } {}

La ecuación (a) podemos reordenarla así:

s 2 ( t ) s 21 . U 1 ( t ) = s 22 U 2 ( t ) size 12{s rSub { size 8{2} } \( t \) - s rSub { size 8{"21"} } "." U rSub { size 8{1} } \( t \) =s rSub { size 8{"22"} } U rSub { size 8{2} } \( t \) } {}

Al igual que para el paso 1, elevamos toda la ecuación al cuadrado y la integramos en el intervalo [0,T], quedando como sigue:

0 T ( s 2 ( t ) s 21 U 1 ( t ) ) 2 dt = 0 T s 22 2 U 2 . U 2 ( t ) size 12{ Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } { \( s rSub { size 8{2} } \( t \) - s rSub { size 8{"21"} } U rSub { size 8{1} } \( t \) \) rSup { size 8{2} } ital "dt"} = Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {s rSub { size 8{"22"} rSup { size 8{2} } } U rSub { size 8{2} } "." U rSub { size 8{2} } \( t \) } } {}

Usando nuevamente el principio de ortonormalidad, nos queda S 22 en función de la señal S 2 , el coeficiente S 21 y la base U 1 :

s 22 = 0 T ( s 2 ( t ) s 21 U 1 ( t ) ) 2 dt size 12{s rSub { size 8{"22"} } = sqrt { Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } { \( s rSub { size 8{2} } \( t \) - s rSub { size 8{"21"} } U rSub { size 8{1} } \( t \) \) rSup { size 8{2} } ital "dt"} } } {}

Finalmente, con la ecuación (a):

s 2 ( t ) = s 21 U 1 ( t ) + s 22 U 2 ( t ) U 2 ( t ) = s 2 ( t ) s 21 U 1 ( t ) s 22 alignl { stack { size 12{s rSub { size 8{2} } \( t \) =s rSub { size 8{"21"} } U rSub { size 8{1} } \( t \) +s rSub { size 8{"22"} } U rSub { size 8{2} } \( t \) } {} #{} # drarrow U rSub { size 8{2} } \( t \) = { { left [s rSub { size 8{2} } \( t \) - s rSub { size 8{"21"} } U rSub { size 8{1} } \( t \) right ]} over {s rSub { size 8{"22"} } } } {} } } {}

Se buscarán cuantas bases sean necesarias hasta el punto en el que Un=0. Se pudiera resumir este proceso de la siguiente forma:

Donde:

X 1 = E 1 = + X 1 2 ( t ) dt y x ( t ) , y ( t ) = x ( t ) y ( t ) dt alignl { stack { size 12{ ldline X rSub { size 8{1} } rdline = sqrt {E rSub { size 8{1} } } = sqrt { Int cSub { size 8{ - infinity } } cSup { size 8{+ infinity } } {X rSub { size 8{1} rSup { size 8{2} } } \( t \) ital "dt"} } } {} #y {} # langle x \( t \) ,y \( t \) rangle = Int {x \( t \) y \( t \) ital "dt"} {}} } {}

Es importante resaltar que si el proceso de ortogonalización se inicia con una señal diferente a la señal s 1 (t), se obtendría un conjunto distinto de bases ortonormales pero igualmente representativa.

Constelación

Es la representación gráfica de cada señal s i (t) en función de las bases U i . Más adelante observaremos que los diagramas de constelación también sirven para representar los esquemas de modulación digital en el plano complejo. Cada punto perteneciente a la constelación corresponde a un símbolo de modulación.

Aquí consideraremos como ‘ejes’ las bases calculadas a partir de la Ortogonalización, es decir, Uj . El procedimiento es sencillo: sólo se debe representar con un punto a la(s) forma(s) de onda s i sobre el eje de la base. Por ejemplo: Supongamos que se tienen dos señales, que identifican una determinada codificación o modulación, y que pueden representarse con una sola base de acuerdo a las siguientes ecuaciones:

S 1 = V Tb . U 1 S 2 = V Tb . U 1 alignl { stack { size 12{S rSub { size 8{1} } =V sqrt { ital "Tb"} "." U rSub { size 8{1} } } {} #S rSub { size 8{2} } = - V sqrt { ital "Tb"} "." U rSub { size 8{1} } {} } } {}

Como sólo se necesita una base para representar estas formas de onda, entonces se tendrá un ‘eje’ que es U 1 :

Ejemplo de constelación.

A partir de la constelación se puede obtener un parámetro fundamental que es la Energía . Si elevamos al cuadrado la distancia que existe entre el origen y un punto de la constelación obtendríamos la energía de la primera forma de onda S 1 :

Es 1 = V 2 Tb size 12{ ital "Es" rSub { size 8{1} } =V rSup { size 8{2} } ital "Tb"} {}

Para calcular la Energía de S 2 se hace exactamente el mismo procedimiento.

En la simulación de este módulo se podrá calcular el número de bases necesarias de acuerdo a los coeficientes s i dados. A partir de ellas también se podrá observar la constelación correspondiente. Para descargar el código fuente, se debe hacer click en el siguiente enlace:

Questions & Answers

find the 15th term of the geometric sequince whose first is 18 and last term of 387
Jerwin Reply
I know this work
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The given of f(x=x-2. then what is the value of this f(3) 5f(x+1)
virgelyn Reply
hmm well what is the answer
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how do they get the third part x = (32)5/4
kinnecy Reply
can someone help me with some logarithmic and exponential equations.
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sure. what is your question?
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20/(×-6^2)
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okay, so you have 6 raised to the power of 2. what is that part of your answer
ninjadapaul
I don't understand what the A with approx sign and the boxed x mean
ninjadapaul
it think it's written 20/(X-6)^2 so it's 20 divided by X-6 squared
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I'm not sure why it wrote it the other way
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I got X =-6
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ninjadapaul
oops. ignore that.
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ninjadapaul
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Abhi
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a perfect square v²+2v+_
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algebra 2 Inequalities:If equation 2 = 0 it is an open set?
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The answer is neither. The function, 2 = 0 cannot exist. Hence, the function is undefined.
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Bridget Reply
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No. 7x -4y is simplified from 4x + (3y + 3x) -7y
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Need to simplify the expresin. 3/7 (x+y)-1/7 (x-1)=
Crystal Reply
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Damian Reply
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abeetha Reply
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what is the k.e before it land
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Ramkumar Reply
what is nano technology
Sravani Reply
what is system testing?
AMJAD
preparation of nanomaterial
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AMJAD
what is system testing
AMJAD
what is the application of nanotechnology?
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Azam
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Prasenjit
after 100 year this will be not nanotechnology maybe this technology name will be change . maybe aftet 100 year . we work on electron lable practically about its properties and behaviour by the different instruments
Azam
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Prasenjit
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Damian
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Damian
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Azam
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Uday
this technology will not going on for the long time , so I'm thinking about femtotechnology 10^-15
Prasenjit
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Prasenjit Reply
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Ali Reply
the Beer law works very well for dilute solutions but fails for very high concentrations. why?
bamidele Reply
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
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Source:  OpenStax, Laboratorio digital interactivo. OpenStax CNX. Feb 09, 2011 Download for free at http://cnx.org/content/col11274/1.1
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