<< Chapter < Page Chapter >> Page >
s j = 0 T s ( t ) . U j ( t ) dt j = 1,2,3, . . . , N alignl { stack { size 12{s rSub { size 8{j} } = Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {s \( t \) "." U rSub { size 8{j} } \( t \) ital "dt"} } {} #j=1,2,3, "." "." "." ,N {} } } {}

Si lo vemos desde la perspectiva vectorial, el procedimiento será entonces el de obtener una representación de la señal en función de dos vectores en el plano. El estimado del vector original sería entonces la proyección de éste sobre el plano:

Ejemplo aplicado a vectores. ŝ(t) es el estimado de cada forma de onda original s(t) y e(t) sería la introducción de ruido de AWGN en el sistema.

Habiendo explicado la síntesis teórica de la ortogonalización, ¿Cómo podemos hallar las bases necesarias para representar las señales de nuestro sistema? Para ello deben seguirse estos pasos:

Supongamos que se da un conjunto de señales de energía s i (t) que se quieren representar por medio de bases U j en un intervalo de tiempo [0,T]:

Si ( t ) = i = 1 n s ij . U j ( t ) size 12{ ital "Si" \( t \) = Sum cSub { size 8{i=1} } cSup { size 8{n} } {s rSub { size 8{ ital "ij"} } "." U rSub { size 8{j} } \( t \) } } {}

Las bases deben cumplir con el principio de ortonormalidad mencionado al principio:

0 T U j ( t ) . U k ( t ) dt = { 1 j = k 0 j k size 12{ Int rSub { size 8{0} } rSup { size 8{T} } {U rSub { size 8{j} } \( t \) "." U rSub { size 8{k} } \( t \) ital "dt"} = left lbrace matrix { 1 rightarrow j=k {} ##0 rightarrow j<>k } right none } {}

Entonces:

Paso 1: se fija sij = 0 exceptuando el primer valor: s11:

Elevamos toda la ecuación al cuadrado y la integramos en el intervalo [0,T]:

0 T s 1 ( t ) 2 dt = 0 T s 11 2 . U 1 2 ( t ) dt = 0 T s 11 2 . U 1 ( t ) . U 1 ( t ) dt size 12{ Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } { left [s rSub { size 8{1} } \( t \) right ] rSup { size 8{2} } ital "dt"} = Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {s rSub { size 8{"11"} rSup { size 8{2} } } } "." U rSub { size 8{1} rSup { size 8{2} } } \( t \) ital "dt"= Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {s rSub { size 8{"11"} rSup { size 8{2} } } } "." U rSub { size 8{1} } \( t \) "." U rSub { size 8{1} } \( t \) ital "dt"} {}

Por el principio de ortonormalidad:

Quedando s 1 (t) sólo en función de s 11 , por lo que ya se puede despejar:

0 t [ s 1 ( t ) ] 2 dt = s 11 size 12{ sqrt { Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{t} } { \[ s rSub { size 8{1} } \( t \) \] rSup { size 8{2} } ital "dt"} } =s rSub { size 8{"11"} } } {}

Finalmente:

U 1 ( t ) = s 1 ( t ) s 11 size 12{U rSub { size 8{1} } \( t \) = { {s rSub { size 8{1} } \( t \) } over {s rSub { size 8{"11"} } } } } {}

Con esto obtenemos la primera base para representar nuestra señal. Para calcular U 2 (t), debemos restarle a s 2 (t) su proyección sobre U 1 (t); esto cumpliría con la condición de que la base sea ortogonal.

Paso 2: se fija sij=0 exceptuando los valores de s21 y s22:

Ecuación (a)

Multiplicamos la ecuación por U 1 (t) y la integramos en el intervalo [0,T]:

0 T s 2 ( t ) . U 1 ( t ) dt = 0 T s 21 . U 1 ( t ) . U 1 ( t ) dt + 0 T s 22 . U 2 ( t ) . U 1 ( t ) dt size 12{ Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {s rSub { size 8{2} } \( t \) "." U rSub { size 8{1} } \( t \) ital "dt"= Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {s rSub { size 8{"21"} } "." U rSub { size 8{1} } \( t \) "." U rSub { size 8{1} } \( t \) ital "dt"} + Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {s rSub { size 8{"22"} } "." U rSub { size 8{2} } \( t \) "." U rSub { size 8{1} } \( t \) ital "dt"} } } {}

Quedando entonces:

0 T s 2 ( t ) . U 1 ( t ) dt = s 21 size 12{ Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {s rSub { size 8{2} } \( t \) "." U rSub { size 8{1} } \( t \) ital "dt"=s rSub { size 8{"21"} } } } {}

La ecuación (a) podemos reordenarla así:

s 2 ( t ) s 21 . U 1 ( t ) = s 22 U 2 ( t ) size 12{s rSub { size 8{2} } \( t \) - s rSub { size 8{"21"} } "." U rSub { size 8{1} } \( t \) =s rSub { size 8{"22"} } U rSub { size 8{2} } \( t \) } {}

Al igual que para el paso 1, elevamos toda la ecuación al cuadrado y la integramos en el intervalo [0,T], quedando como sigue:

0 T ( s 2 ( t ) s 21 U 1 ( t ) ) 2 dt = 0 T s 22 2 U 2 . U 2 ( t ) size 12{ Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } { \( s rSub { size 8{2} } \( t \) - s rSub { size 8{"21"} } U rSub { size 8{1} } \( t \) \) rSup { size 8{2} } ital "dt"} = Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {s rSub { size 8{"22"} rSup { size 8{2} } } U rSub { size 8{2} } "." U rSub { size 8{2} } \( t \) } } {}

Usando nuevamente el principio de ortonormalidad, nos queda S 22 en función de la señal S 2 , el coeficiente S 21 y la base U 1 :

s 22 = 0 T ( s 2 ( t ) s 21 U 1 ( t ) ) 2 dt size 12{s rSub { size 8{"22"} } = sqrt { Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } { \( s rSub { size 8{2} } \( t \) - s rSub { size 8{"21"} } U rSub { size 8{1} } \( t \) \) rSup { size 8{2} } ital "dt"} } } {}

Finalmente, con la ecuación (a):

s 2 ( t ) = s 21 U 1 ( t ) + s 22 U 2 ( t ) U 2 ( t ) = s 2 ( t ) s 21 U 1 ( t ) s 22 alignl { stack { size 12{s rSub { size 8{2} } \( t \) =s rSub { size 8{"21"} } U rSub { size 8{1} } \( t \) +s rSub { size 8{"22"} } U rSub { size 8{2} } \( t \) } {} #{} # drarrow U rSub { size 8{2} } \( t \) = { { left [s rSub { size 8{2} } \( t \) - s rSub { size 8{"21"} } U rSub { size 8{1} } \( t \) right ]} over {s rSub { size 8{"22"} } } } {} } } {}

Se buscarán cuantas bases sean necesarias hasta el punto en el que Un=0. Se pudiera resumir este proceso de la siguiente forma:

Donde:

X 1 = E 1 = + X 1 2 ( t ) dt y x ( t ) , y ( t ) = x ( t ) y ( t ) dt alignl { stack { size 12{ ldline X rSub { size 8{1} } rdline = sqrt {E rSub { size 8{1} } } = sqrt { Int cSub { size 8{ - infinity } } cSup { size 8{+ infinity } } {X rSub { size 8{1} rSup { size 8{2} } } \( t \) ital "dt"} } } {} #y {} # langle x \( t \) ,y \( t \) rangle = Int {x \( t \) y \( t \) ital "dt"} {}} } {}

Es importante resaltar que si el proceso de ortogonalización se inicia con una señal diferente a la señal s 1 (t), se obtendría un conjunto distinto de bases ortonormales pero igualmente representativa.

Constelación

Es la representación gráfica de cada señal s i (t) en función de las bases U i . Más adelante observaremos que los diagramas de constelación también sirven para representar los esquemas de modulación digital en el plano complejo. Cada punto perteneciente a la constelación corresponde a un símbolo de modulación.

Aquí consideraremos como ‘ejes’ las bases calculadas a partir de la Ortogonalización, es decir, Uj . El procedimiento es sencillo: sólo se debe representar con un punto a la(s) forma(s) de onda s i sobre el eje de la base. Por ejemplo: Supongamos que se tienen dos señales, que identifican una determinada codificación o modulación, y que pueden representarse con una sola base de acuerdo a las siguientes ecuaciones:

S 1 = V Tb . U 1 S 2 = V Tb . U 1 alignl { stack { size 12{S rSub { size 8{1} } =V sqrt { ital "Tb"} "." U rSub { size 8{1} } } {} #S rSub { size 8{2} } = - V sqrt { ital "Tb"} "." U rSub { size 8{1} } {} } } {}

Como sólo se necesita una base para representar estas formas de onda, entonces se tendrá un ‘eje’ que es U 1 :

Ejemplo de constelación.

A partir de la constelación se puede obtener un parámetro fundamental que es la Energía . Si elevamos al cuadrado la distancia que existe entre el origen y un punto de la constelación obtendríamos la energía de la primera forma de onda S 1 :

Es 1 = V 2 Tb size 12{ ital "Es" rSub { size 8{1} } =V rSup { size 8{2} } ital "Tb"} {}

Para calcular la Energía de S 2 se hace exactamente el mismo procedimiento.

En la simulación de este módulo se podrá calcular el número de bases necesarias de acuerdo a los coeficientes s i dados. A partir de ellas también se podrá observar la constelación correspondiente. Para descargar el código fuente, se debe hacer click en el siguiente enlace:

Questions & Answers

what does nano mean?
Anassong Reply
nano basically means 10^(-9). nanometer is a unit to measure length.
Bharti
do you think it's worthwhile in the long term to study the effects and possibilities of nanotechnology on viral treatment?
Damian Reply
absolutely yes
Daniel
how to know photocatalytic properties of tio2 nanoparticles...what to do now
Akash Reply
it is a goid question and i want to know the answer as well
Maciej
characteristics of micro business
Abigail
for teaching engĺish at school how nano technology help us
Anassong
Do somebody tell me a best nano engineering book for beginners?
s. Reply
what is fullerene does it is used to make bukky balls
Devang Reply
are you nano engineer ?
s.
fullerene is a bucky ball aka Carbon 60 molecule. It was name by the architect Fuller. He design the geodesic dome. it resembles a soccer ball.
Tarell
what is the actual application of fullerenes nowadays?
Damian
That is a great question Damian. best way to answer that question is to Google it. there are hundreds of applications for buck minister fullerenes, from medical to aerospace. you can also find plenty of research papers that will give you great detail on the potential applications of fullerenes.
Tarell
what is the Synthesis, properties,and applications of carbon nano chemistry
Abhijith Reply
Mostly, they use nano carbon for electronics and for materials to be strengthened.
Virgil
is Bucky paper clear?
CYNTHIA
so some one know about replacing silicon atom with phosphorous in semiconductors device?
s. Reply
Yeah, it is a pain to say the least. You basically have to heat the substarte up to around 1000 degrees celcius then pass phosphene gas over top of it, which is explosive and toxic by the way, under very low pressure.
Harper
Do you know which machine is used to that process?
s.
how to fabricate graphene ink ?
SUYASH Reply
for screen printed electrodes ?
SUYASH
What is lattice structure?
s. Reply
of graphene you mean?
Ebrahim
or in general
Ebrahim
in general
s.
Graphene has a hexagonal structure
tahir
On having this app for quite a bit time, Haven't realised there's a chat room in it.
Cied
what is biological synthesis of nanoparticles
Sanket Reply
what's the easiest and fastest way to the synthesize AgNP?
Damian Reply
China
Cied
types of nano material
abeetha Reply
I start with an easy one. carbon nanotubes woven into a long filament like a string
Porter
many many of nanotubes
Porter
what is the k.e before it land
Yasmin
what is the function of carbon nanotubes?
Cesar
I'm interested in nanotube
Uday
what is nanomaterials​ and their applications of sensors.
Ramkumar Reply
what is nano technology
Sravani Reply
what is system testing?
AMJAD
preparation of nanomaterial
Victor Reply
how to synthesize TiO2 nanoparticles by chemical methods
Zubear
what's the program
Jordan
?
Jordan
what chemical
Jordan
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
Berger describes sociologists as concerned with
Mueller Reply
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
QuizOver.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Laboratorio digital interactivo. OpenStax CNX. Feb 09, 2011 Download for free at http://cnx.org/content/col11274/1.1
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Laboratorio digital interactivo' conversation and receive update notifications?

Ask