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Este módulo contiene la teoría correspondiente al método de Ortogonalización Gram-Schmidt aplicado para el proceso de la comunicación digital. Se explicarán los pasos necesarios para generar las bases ortogonales dados ciertos parámetros de la señal. Finalmente, teniendo las bases calculadas, se explicará el procedimiento para hallar la constelación correspondiente.

ORTOGONALIZACIÓN GRAM-SCHMIDT Y TEORÍA BÁSICA DE LAS CONSTELACIONES

González C. Y. Venuska

Mezoa R. Mariangela

Resumen

Este módulo contiene la teoría correspondiente al método de Ortogonalización Gram-Schmidt aplicado para el proceso de la comunicación digital. Se explicarán los pasos necesarios para generar las bases ortogonales dados ciertos parámetros de la señal. Finalmente, teniendo las bases calculadas, se explicará el procedimiento para hallar la constelación correspondiente.

En matemáticas, el concepto de Ortogonalidad está referido al de Perpendicularidad . Se dice que dos vectores pertenecientes a cierto espacio vectorial (V) son ortogonales si se cumple la condición de que el producto escalar de ellos da cero , es decir:

Sean : x V y V Si : x , y = x y = 0 Entonces : x y alignl { stack { size 12{ ital "Sean":} {} #size 12{x in V} {} # size 12{y in V} {} #{} # size 12{ ital "Si":} {} #size 12{ langle x,y rangle =x cdot y=0} {} # {} #size 12{ ital "Entonces":} {} # size 12{x ortho y} {}} } {}

A partir de un conjunto de vectores linealmente independientes se puede construir un nuevo conjunto de vectores ortonormales (Que cumplan con las condiciones de ortogonalidad y norma vectorial). Esto se conoce como el método de Ortogonalización Gram-Schmidt (G-S). Pero, ¿cómo aplicamos este concepto para un sistema de comunicación digital?

Ortogonalización gram-schmidt

Supongamos que se tiene una señal Si(t) que representa a un símbolo m i . Se estima que esta señal pase por el receptor que está encargado de obtener cada símbolo de la misma. Sin embargo, es evidente que al pasar por el canal, la señal se contaminará debido a la existencia de ruido en el sistema. En una condición ideal, el resultado sería el siguiente:

Al introducir ruido (AWGN) en el sistema, quedaría como sigue:

{}

Sistema de recepción con introducción de ruido AWGN.

La segunda situación ocasiona que a la salida del receptor no se obtiene el símbolo m i como tal, más bien se obtiene un estimado del símbolo original.

Es en este punto en donde entra el concepto de ortogonalización G-S: La señal Si(t) puede expresarse en función de un conjunto finito de bases (o vectores) ortonormales ( U ), de forma tal que cada forma de onda estaría relacionada con un coeficiente que llamaremos s (Una señal de energía). Matemáticamente tendríamos esto:

Si ( t ) = i = 1 n s ij . U j ( t ) size 12{ ital "Si" \( t \) = Sum cSub { size 8{i=1} } cSup { size 8{n} } {s rSub { size 8{ ital "ij"} } "." U rSub { size 8{j} } \( t \) } } {}

Es decir, a cada símbolo m i se le asocia una forma de onda s. Si desarrollamos la fórmula anterior, para todos los símbolos posibles , tendríamos un sistema de ecuaciones como sigue:

s 1 ( t ) = s 11 . U 1 ( t ) + s 12 . U 2 ( t ) + s 13 . U 3 ( t ) + . . . + s 1n . U n ( t ) s 2 ( t ) = s 21 . U 1 ( t ) + s 22 . U 2 ( t ) + s 23 . U 3 ( t ) + . . . + s 2n . U n ( t ) s 3 ( t ) = s 31 . U 1 ( t ) + s 32 . U 2 ( t ) + s 33 . U 3 ( t ) + . . . + s 3n . U n ( t ) s m ( t ) = s m1 . U 1 ( t ) + s m2 . U 2 ( t ) + s m3 . U 3 ( t ) + . . . + s mn . U n ( t ) alignl { stack { size 12{s rSub { size 8{1} } \( t \) =s rSub { size 8{"11"} } "." U rSub { size 8{1} } \( t \) +s rSub { size 8{"12"} } "." U rSub { size 8{2} } \( t \) +s rSub { size 8{"13"} } "." U rSub { size 8{3} } \( t \) + "." "." "." +s rSub { size 8{1n} } "." U rSub { size 8{n} } \( t \) } {} #s rSub { size 8{2} } \( t \) =s rSub { size 8{"21"} } "." U rSub { size 8{1} } \( t \) +s rSub { size 8{"22"} } "." U rSub { size 8{2} } \( t \) +s rSub { size 8{"23"} } "." U rSub { size 8{3} } \( t \) + "." "." "." +s rSub { size 8{2n} } "." U rSub { size 8{n} } \( t \) {} # s rSub { size 8{3} } \( t \) =s rSub { size 8{"31"} } "." U rSub { size 8{1} } \( t \) +s rSub { size 8{"32"} } "." U rSub { size 8{2} } \( t \) +s rSub { size 8{"33"} } "." U rSub { size 8{3} } \( t \) + "." "." "." +s rSub { size 8{3n} } "." U rSub { size 8{n} } \( t \) {} #dotsvert {} # s rSub { size 8{m} } \( t \) =s rSub { size 8{m1} } "." U rSub { size 8{1} } \( t \) +s rSub { size 8{m2} } "." U rSub { size 8{2} } \( t \) +s rSub { size 8{m3} } "." U rSub { size 8{3} } \( t \) + "." "." "." +s rSub { size 8{ ital "mn"} } "." U rSub { size 8{n} } \( t \) {}} } {}

El objetivo en el segundo sistema mostrado en la Figura 1 es el de obtener el estimado que más se aproxime al valor real. Esto se hace minimizando la energía de la señal de error entre el símbolo original y el estimado:

Questions & Answers

Do somebody tell me a best nano engineering book for beginners?
s. Reply
what is fullerene does it is used to make bukky balls
Devang Reply
are you nano engineer ?
s.
what is the Synthesis, properties,and applications of carbon nano chemistry
Abhijith Reply
so some one know about replacing silicon atom with phosphorous in semiconductors device?
s. Reply
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Harper
how to fabricate graphene ink ?
SUYASH Reply
for screen printed electrodes ?
SUYASH
What is lattice structure?
s. Reply
of graphene you mean?
Ebrahim
or in general
Ebrahim
in general
s.
Graphene has a hexagonal structure
tahir
On having this app for quite a bit time, Haven't realised there's a chat room in it.
Cied
what is biological synthesis of nanoparticles
Sanket Reply
what's the easiest and fastest way to the synthesize AgNP?
Damian Reply
China
Cied
types of nano material
abeetha Reply
I start with an easy one. carbon nanotubes woven into a long filament like a string
Porter
many many of nanotubes
Porter
what is the k.e before it land
Yasmin
what is the function of carbon nanotubes?
Cesar
I'm interested in nanotube
Uday
what is nanomaterials​ and their applications of sensors.
Ramkumar Reply
what is nano technology
Sravani Reply
what is system testing?
AMJAD
preparation of nanomaterial
Victor Reply
Yes, Nanotechnology has a very fast field of applications and their is always something new to do with it...
Himanshu Reply
good afternoon madam
AMJAD
what is system testing
AMJAD
what is the application of nanotechnology?
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Azam
anybody can imagine what will be happen after 100 years from now in nano tech world
Prasenjit
after 100 year this will be not nanotechnology maybe this technology name will be change . maybe aftet 100 year . we work on electron lable practically about its properties and behaviour by the different instruments
Azam
name doesn't matter , whatever it will be change... I'm taking about effect on circumstances of the microscopic world
Prasenjit
how hard could it be to apply nanotechnology against viral infections such HIV or Ebola?
Damian
silver nanoparticles could handle the job?
Damian
not now but maybe in future only AgNP maybe any other nanomaterials
Azam
Hello
Uday
I'm interested in Nanotube
Uday
this technology will not going on for the long time , so I'm thinking about femtotechnology 10^-15
Prasenjit
can nanotechnology change the direction of the face of the world
Prasenjit Reply
At high concentrations (>0.01 M), the relation between absorptivity coefficient and absorbance is no longer linear. This is due to the electrostatic interactions between the quantum dots in close proximity. If the concentration of the solution is high, another effect that is seen is the scattering of light from the large number of quantum dots. This assumption only works at low concentrations of the analyte. Presence of stray light.
Ali Reply
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
Berger describes sociologists as concerned with
Mueller Reply
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Source:  OpenStax, Laboratorio digital interactivo. OpenStax CNX. Feb 09, 2011 Download for free at http://cnx.org/content/col11274/1.1
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