4.3 Интегрирање на тригонометриски функции

Во случај кога подинтегралната функција е тригонометриска функција и така зададениот интеграл не е табличен, односно нерешлив, се применува некој тригонометриски идентитет кој го сведува зададениот интеграл на решлив. Такви тригонометриски идентитети се следните:

Примената на овие тригонометриски идентитети се покажува преку примери.

Пример 1.

Да се пресмета

Пример 2.

Да се пресмета

Пример 3.

Да се пресмета

Пример 4.

Да се пресмета

Првиот интеграл се решава со смената: $\text{tan}x=t\Rightarrow \frac{1}{{\text{cos}}^{2}x}\text{dx}=\text{dt}$ , а вториот интеграл е решен во претходната задача, затоа

Многу важни интеграли се:

кои многу често се среќаваат во решавањето на интеграли и затоа ќе ја покажеме постапката за нивното решавање.

Пример 5.

За $n\in N,$ да се пресмета

I _n = $\int {\text{sin}}^n\text{xdx}\text{.}$

За $n=\mathrm{1,}$ I ₁ = $\int \text{sin}\text{xdx}=-\text{cos}x+C\text{.}$

За $n=\mathrm{2,}$ I ₂ = $\int {\text{sin}}^2\text{xdx}=\frac{1}{2}\int (1-\text{cos}\mathrm{2x})\text{dx}=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\text{sin}\mathrm{2x}+C\text{.}$

За $n=\mathrm{3,}$ I ₃ = $\int {\text{sin}}^3\text{xdx}=\int {\text{sin}}^{2}x\text{sin}\text{xdx}=\int {\text{sin}}^{2}x\text{sin}\text{xdx}=\int (1-{\text{cos}}^{2}x)\text{sin}\text{xdx}=$

$=\int \text{sin}\text{xdx}-\int {\text{cos}}^{2}x\text{sin}x\text{dx}$ .

Вториот интеграл се решава со смената $\text{cos}x=t\Rightarrow -\text{sin}\text{xdx}=\text{dt}$ .

Затоа

I ₃ = $-\text{cos}x+\frac{1}{3}{\text{cos}}^{3}x+C\text{.}$

Интегралите I _n за $n$ непарен број се решаваат како последниот интеграл (I ₃ ) со одвојување на најголемиот парен број од степенот и еден линеарен степен.

Но кога степенот е парен број или број поголем од 3, се применува методот на парцијална интеграција со која интегралот се сведува на интеграл со степен помал за два. Тоа се т.н. рекурентни формули (рекурентни формули се равенки кои прикажуваат одредена постапка или процес преку повторување на иста постапка).

Постапката за решавање на

I _n = $\int {\text{sin}}^n\text{xdx}$

е преку следната парцијална интеграција:

Се забележува дека после една примена на методот на парцијална интеграција, повторно се враќаме на првобитниот интеграл и на уште еден интеграл од ист облик, но со степен помал за 2. Означувајки со $I_{\text{n-2}}=\int {\text{sin}}^{n-2}\text{xdx}$ , се добива

$I_n=-\text{cos}x{\text{sin}}^{n-1}x+(n-1)I_{\text{n-2}}-(n-1)I_n$ ,

односно решението на интегралот е

$\int {\text{sin}}^n\text{xdx}=-\frac{1}{n}\text{cos}x{\text{sin}}^{n-1}x+\frac{(n-1)}{n}\int {\text{sin}}^{n-2}\text{xdx}+C$ .

Оваа рекурентна фомула пак може да се примени за решавање на $I_{n-2},$ која ќе се сведе на $I_{n-4}\dots$ Постапката се применува се’ дека не се дојде до $I_2$ или $I_1$ кои веќе ги решивме.

Пример 6.

Преку аналогна постапка се решаваат интегралите

I ₁ = $\int \text{cos}\text{xdx}=\text{sin}x+C\text{.}$

I ₂ = $\int {\text{cos}}^2\text{xdx}=\frac{1}{2}\int (1+\text{cos}\mathrm{2x})\text{dx}=\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\text{sin}\mathrm{2x}+C\text{.}$

$I_n=\int {\text{cos}}^n\text{dx}=\frac{1}{n}\text{sin}x{\text{cos}}^{n-1}x+\frac{(n-1)}{n}{I}_{\text{n-2}}+C$ .