<< Chapter < Page Chapter >> Page >
Кога подинтегралната функција е права дробнорационална функција, именителот се факторизира, а од обликот на тие фактори функцијата се разложува на елементарни дропки кои се полесни за интегрирање.

Најпрво да се потсетиме на поимот за полином и некои негови својства.

Функцијата

P n ( x ) = a 0 x n + a 1 x n 1 + + a n 1 x + a n , size 12{P rSub { size 8{n} } \( x \) =a rSub { size 8{0} } x rSup { size 8{n} } +a rSub { size 8{1} } x rSup { size 8{n - 1} } + dotsaxis +a rSub { size 8{n - 1} } x+a rSub { size 8{n} } ,} {}

во која коефициентите a i ( i = 0, , n ) size 12{a rSub { size 8{i} } \( i=0, dotsaxis ,n \) } {} се константи и a 0 0, size 12{a rSub { size 8{0} }<>0,} {} а n size 12{n} {} е природен број или нула се нарекува полином од n size 12{n} {} -ти ред по променливата x . size 12{x "." } {}

Два полинома од ист ред се еднакви ако им се еднакви коефициентите пред соодветните степени на променливата.

Равенката од облик

a 0 x n + a 1 x n 1 + + a n 1 x + a n = 0 size 12{a rSub { size 8{0} } x rSup { size 8{n} } +a rSub { size 8{1} } x rSup { size 8{n - 1} } + dotsaxis +a rSub { size 8{n - 1} } x+a rSub { size 8{n} } =0} {}

се нарекува алгебарска равенка, а нејзините n size 12{n} {} по број нули (решенија на ревнката) се реални или имагинарни.

Секој полином може да се претстави како производ од линерни фактори (множители) од обликот x a size 12{x - a} {} и/или квадратни фактори од обликот ax 2 + bx + c size 12{ ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c} {} кои не се сведуваат на линерани фактори.

Количникот на два полинома P n ( x ) size 12{P rSub { size 8{n} } \( x \) } {} и Q m ( x ) size 12{Q rSub { size 8{m} } \( x \) } {} т.е. P n ( x ) Q m ( x ) size 12{ { {P rSub { size 8{n} } \( x \) } over {Q rSub { size 8{m} } \( x \) } } } {} се нарекува дробнорационална функција. Ако за степените на полиномите од броителот и именителот важи:

  • n < m , size 12{n<m,} {} функцијата е права дробнорационална функција ;
  • n m , size 12{n>= m,} {} функција е неправа д робнорационална функција .

Секоја неправа дробнорационална функција со делење може да се сведе на права.

Пример 1.

Сведување на права дробнорационална функција по претходно делење на полиномите од броителот и именителот:

x 4 + 2x x 2 + 1 = x 2 1 + 2x + 1 x 2 + 1 . size 12{ { {x rSup { size 8{4} } +2x} over {x rSup { size 8{2} } +1} } =x rSup { size 8{2} } - 1+ { {2x+1} over {x rSup { size 8{2} } +1} } "." } {}

Типови дробнорационални функции

Секоја права дробнорационална функција може да се разложи на сума од елементарни дробнорационални функции од обликот A ( x a ) k size 12{ { {A} over { \( x - a \) rSup { size 8{k} } } } } {} или Bx + C ( ax 2 + bx + c ) k size 12{ { { ital "Bx"+C} over { \( ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c \) rSup { size 8{k} } } } } {} каде A , B , C size 12{A,B,C} {} се константи, а k N . size 12{k in N "." } {} Во зависност од обликот на факторите од именителот, дробнорационалните функции се делат на четири типови и за секој од нив се дава постапка за нивно разложување со цел тие полесно да се интегрираат.

Тип i. именител со различни линеарни фактори

Нека именителот на дробнорационалната функција се факторизира со различни линерани фактори. На секој линеарен фактор x a size 12{x - a} {} од именителот му соодветствува собирок од облик A x a , size 12{ { {A} over {x - a} } ,} {} при што коефициентот A size 12{A} {} треба да се определи. Интегралот од овој тип дробнорационални функции е сума од логаритамски функции, бидејќи дробнорационалната функција се спретставува со сума од елементарни функции од облик A x a , size 12{ { {A} over {x - a} } ,} {} а нивниот интеграл е

A x a dx = A ln x a + C . size 12{ Int { { {A} over {x - a} } } ital "dx"=A"ln" \lline x - a \lline +C "." } {}

Пример 2.

Да се пресмета

13 x 6 x 3 + x 2 6x dx . size 12{ Int { { {"13"x - 6} over {x rSup { size 8{3} } +x rSup { size 8{2} } - 6x} } ital "dx"} "." } {}

Подинтегралната функција е дробнорационална и затоа најпрво се факторизира именителот:

x 3 + x 2 6x = x ( x 2 + x 6 ) = x ( x 2 ) ( x + 3 ) . size 12{x rSup { size 8{3} } +x rSup { size 8{2} } - 6x=x \( x rSup { size 8{2} } +x - 6 \) =x \( x - 2 \) \( x+3 \) "." } {}

Бидејќи сите фактори на именителот се линерани и различни (именителот има три реални и различни нули), дробнорационалната функција се разложува на три собирока од обликот:

13 x 6 x 3 + x 2 6x = A x + B x 2 + C x + 3 size 12{ { {"13"x - 6} over {x rSup { size 8{3} } +x rSup { size 8{2} } - 6x} } = { {A} over {x} } + { {B} over {x - 2} } + { {C} over {x+3} } } {}

и ако се ослободиме од именителот се добива

13 x 6 = A ( x 2 ) ( x + 3 ) + Bx ( x + 3 ) + Cx ( x 2 ) size 12{"13"x - 6=A \( x - 2 \) \( x+3 \) + ital "Bx" \( x+3 \) + ital "Cx" \( x - 2 \) } {}

и по средување на полиномот од десната страна по степените на x size 12{x} {}

13 x 6 = ( A + B + C ) x 2 + ( A + 3B 2C ) x 6A . size 12{"13"x - 6= \( A+B+C \) x rSup { size 8{2} } + \( A+3B - 2C \) x - 6A "." } {}

Определувањето на коефициентите A , B , C size 12{A,B,C} {} може да се изврши на два начина.

Прв начин :

Применувајќи ја особината за еднаквост на два полинома, од левата и десната страна на равенството, со изедначување на коефициентите пред соодветните степени на променливата x size 12{x} {} се добива системот линеарни равенки

Questions & Answers

how do you translate this in Algebraic Expressions
linda Reply
why surface tension is zero at critical temperature
Shanjida
Need to simplify the expresin. 3/7 (x+y)-1/7 (x-1)=
Crystal Reply
. After 3 months on a diet, Lisa had lost 12% of her original weight. She lost 21 pounds. What was Lisa's original weight?
Chris Reply
what is biological synthesis of nanoparticles
Sanket Reply
what's the easiest and fastest way to the synthesize AgNP?
Damian Reply
China
Cied
types of nano material
abeetha Reply
I start with an easy one. carbon nanotubes woven into a long filament like a string
Porter
many many of nanotubes
Porter
what is the k.e before it land
Yasmin
what is the function of carbon nanotubes?
Cesar
I'm interested in nanotube
Uday
what is nanomaterials​ and their applications of sensors.
Ramkumar Reply
what is nano technology
Sravani Reply
what is system testing?
AMJAD
preparation of nanomaterial
Victor Reply
Yes, Nanotechnology has a very fast field of applications and their is always something new to do with it...
Himanshu Reply
good afternoon madam
AMJAD
what is system testing
AMJAD
what is the application of nanotechnology?
Stotaw
In this morden time nanotechnology used in many field . 1-Electronics-manufacturad IC ,RAM,MRAM,solar panel etc 2-Helth and Medical-Nanomedicine,Drug Dilivery for cancer treatment etc 3- Atomobile -MEMS, Coating on car etc. and may other field for details you can check at Google
Azam
anybody can imagine what will be happen after 100 years from now in nano tech world
Prasenjit
after 100 year this will be not nanotechnology maybe this technology name will be change . maybe aftet 100 year . we work on electron lable practically about its properties and behaviour by the different instruments
Azam
name doesn't matter , whatever it will be change... I'm taking about effect on circumstances of the microscopic world
Prasenjit
how hard could it be to apply nanotechnology against viral infections such HIV or Ebola?
Damian
silver nanoparticles could handle the job?
Damian
not now but maybe in future only AgNP maybe any other nanomaterials
Azam
Hello
Uday
I'm interested in Nanotube
Uday
this technology will not going on for the long time , so I'm thinking about femtotechnology 10^-15
Prasenjit
can nanotechnology change the direction of the face of the world
Prasenjit Reply
At high concentrations (>0.01 M), the relation between absorptivity coefficient and absorbance is no longer linear. This is due to the electrostatic interactions between the quantum dots in close proximity. If the concentration of the solution is high, another effect that is seen is the scattering of light from the large number of quantum dots. This assumption only works at low concentrations of the analyte. Presence of stray light.
Ali Reply
the Beer law works very well for dilute solutions but fails for very high concentrations. why?
bamidele Reply
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
QuizOver.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Математика 1. OpenStax CNX. Nov 17, 2014 Download for free at http://legacy.cnx.org/content/col11377/1.12
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Математика 1' conversation and receive update notifications?

Ask