0.1 Задачи-вектори општо

Решени задачи од основни операции со вектори

1. Да се покаже дека ако векторите $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},$ се надоврзуваат како триаголник, тогаш $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$ .

Решение.

слика 1

Нека векторите $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},$ се надоврзуваат како на сл.1. Тогаш имаме

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$ .

Забелешка : Важи и спротивното тврдење - ако за произволни три вектори $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},$ важи $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$ , тогаш векторите $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},$ се надоврзуваат како триаголник.

2. Да се покаже дека може да се конструира триаголник чии страни се еднакви и паралелни со тежишните линии на произволен триаголник.

Решение .

слика 2

Како на сл. 2, формираме 6 вектори: три по страните на триаголникот ABC , т.е. $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},$ и три по тежишните линии, т.е. $\overrightarrow{t_a},\overrightarrow{t_b},\overrightarrow{t_c}$ .

Доволно е да покажеме дека $\overrightarrow{t_a}+\overrightarrow{t_b}+\overrightarrow{t_c}=\overrightarrow{0}$ .

Имаме: $\overrightarrow{t_a}=\overrightarrow{c}+\frac{\overrightarrow{a}}{2}$ , $\overrightarrow{t_b}=\overrightarrow{a}+\frac{\overrightarrow{b}}{2}$ , $\overrightarrow{t_c}=\overrightarrow{b}+\frac{\overrightarrow{c}}{2}$ . Со нивно собирање, добиваме:

$\overrightarrow{t_a}+\overrightarrow{t_b}+\overrightarrow{t_c}=\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\frac{\overrightarrow{a}}{2}+\frac{\overrightarrow{b}}{2}+\frac{\overrightarrow{c}}{2}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{0}+\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$ .

3. Да се покаже дека ако векторите $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ се некомпланарни, тогаш векторите:

$\overrightarrow{d}=n\overrightarrow{c}-p\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{e}=p\overrightarrow{a}-m\overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{f}=m\overrightarrow{b}-n\overrightarrow{a}$

се компланарни.

Решение .

За да покажеме компланарност на векторите $\overrightarrow{d},\overrightarrow{e},\overrightarrow{f}$ , потребно и доволно е да најдеме скалари $\alpha ,\beta ,\gamma$ , од кои барем еден е различен од 0, така што

$\alpha \overrightarrow{d}+\beta \overrightarrow{e}+\gamma \overrightarrow{f}=\overrightarrow{0}$ .

Во тој случај би имале $\mathrm{\alpha n}\overrightarrow{c}-\mathrm{\alpha p}\overrightarrow{b}+\mathrm{\beta p}\overrightarrow{a}-\mathrm{\beta m}\overrightarrow{c}+\mathrm{\gamma m}\overrightarrow{b}-\mathrm{\gamma n}\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$ , или

$(\mathrm{\beta p}-\mathrm{\gamma n})\overrightarrow{a}+(-\mathrm{\alpha p}+\mathrm{\gamma m})\overrightarrow{b}+(\mathrm{\alpha n}-\mathrm{\beta m})\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$ .

Бидејќи $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ се некомпланарни вектори, мора

$\mathrm{\beta p}-\mathrm{\gamma n}=0$ , $-\mathrm{\alpha p}+\mathrm{\gamma m}=0$ , $\mathrm{\alpha n}-\mathrm{\beta m}=0$ .

Тоа е хомоген систем од 3 равенки си три непознати $\alpha ,\beta ,\gamma$ . Неговата детерминанта:

$\mid \begin{array}{ccc}0& p& -n\\ -p& 0& m\\ n& -m& 0\end{array}\mid =0+\text{pmn}-\text{pmn}=0$ .

Системот има бесконечно многу решенија и тоа:

$\alpha =\mid \begin{array}{cc}p& -n\\ 0& m\end{array}\mid k,\beta =\mid \begin{array}{cc}-n& 0\\ m& -p\end{array}\mid k,\gamma =\mid \begin{array}{cc}0& p\\ -p& 0\end{array}\mid k$ , $k\in R$ ,

или $\alpha =\text{pmk}$ , $\beta =\text{pnk}$ , $\gamma =p^{2}k$ .

За $k_1=\text{pk}$ , $\alpha ={\text{mk}}_1$ , $\beta ={\text{nk}}_1$ , $\gamma ={\text{pk}}_1$ .

Со тоа добивме дека постојат скалари $\alpha ,\beta ,\gamma$ , од кои барем еден е различен од 0, така што $\alpha \overrightarrow{d}+\beta \overrightarrow{e}+\gamma \overrightarrow{f}=\overrightarrow{0}$ .

4. Ако ABCD е паралелограм, тогаш неговите дијагонали се преполовуваат.

Решение .

слика 3

Нека S е пресечната точка на дијагоналите AC и BD . Имаме:

$\overrightarrow{\text{SC}}+\overrightarrow{\text{CD}}=\overrightarrow{\text{SD}}$ .

Со собирање добиваме: $\overrightarrow{\text{SA}}+\overrightarrow{\text{SC}}+\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CD}}=\overrightarrow{\text{SB}}+\overrightarrow{\text{SD}}$ .

Заради $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CD}}=\overrightarrow{0}$ , добиваме

$\overrightarrow{\text{SA}}+\overrightarrow{\text{SC}}=\overrightarrow{\text{SB}}+\overrightarrow{\text{SD}}$ .

Векторот $\overrightarrow{\text{SA}}+\overrightarrow{\text{SC}}$ е колинеарен со $\overrightarrow{\text{AC}}$ , a $\overrightarrow{\text{SB}}+\overrightarrow{\text{SD}}$ е колинеарен со $\overrightarrow{\text{BD}}$ .

Но $\overrightarrow{\text{AC}}$ и $\overrightarrow{\text{BD}}$ се неколинеарни вектори, од каде следува дека мора $\overrightarrow{\text{SA}}+\overrightarrow{\text{SC}}=\overrightarrow{0}$ и $\overrightarrow{\text{SB}}+\overrightarrow{\text{SD}}=\overrightarrow{0}$ . Или $\overrightarrow{\text{SA}}=\overrightarrow{\text{SC}}$ и $\overrightarrow{\text{SB}}=\overrightarrow{\text{SD}}$ , т.е. дијагоналите се преполовуваат.

5. Нека AB е дијаметар на кружница со центар O и нека S е произволна точка. Да се докаже дека $\overrightarrow{\text{SA}}+\overrightarrow{\text{SB}}=2\overrightarrow{\text{SO}}$ .

Решение.

слика 4

Имаме $\overrightarrow{\text{SA}}=\overrightarrow{\text{SO}}+\overrightarrow{\text{OA}}$ , $\overrightarrow{\text{SB}}=\overrightarrow{\text{SO}}+\overrightarrow{\text{OB}}$ .

Со собирање добиваме: $\overrightarrow{\text{SA}}+\overrightarrow{\text{SB}}=2\overrightarrow{\text{SO}}+\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}$ .

$\overrightarrow{\text{OA}}$ и $\overrightarrow{\text{OB}}$ се спротивни вектори, па следува $\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}=\overrightarrow{0}$ , т.е. $\overrightarrow{\text{SA}}+\overrightarrow{\text{SB}}=2\overrightarrow{\text{SO}}$ .