1.2 Die parabool  (Page 2/2)

Indien $q=0$ het ons slegs een afsnit by $x=0$ .

Byvoorbeeld, die $x$ -afsnit van $g\left(x\right)=x^2+2$ word gegee deur $y=0$ te stel en dan:

Hierdie antwoord is nie reëel nie. Daarom het die grafiek van $g\left(x\right)=x^2+2$ geen $x$ -afsnitte nie.

Draaipunte

Die draaipunte van funksies van die vorm $f\left(x\right)=a{x}^2+q$ word gegee deur na die waardeversameling van die funksie te kyk. Ons weet dat indien $a>0$ die waardeversameling van $f\left(x\right)=a{x}^2+q$ , gelyk is aan $\left\{f\right(x):f(x)\in [q,\infty \left)\right\}$ en indien $a<0$ is die waardeversameling van $f\left(x\right)=a{x}^2+q$ , gelyk aan $\left\{f\right(x):f(x)\in (-\infty ,q\left]\right\}$ .

Indien $a>0$ , is die laagste waarde wat $f\left(x\right)$ kan wees $q$ . Ons los dan vir $x$ op by die punt $f\left(x\right)=q$ :

$\therefore$ $x=0$ by $f\left(x\right)=q$ . Die koördinate van die (minimum) draaipunt is dan $(0,q)$ .

Soortgelyk, indien $a<0$ , is die hoogse waarde wat $f\left(x\right)$ kan wees $q$ en die koördinate van die (maksimum) draaipunt is $(0,q)$ .

Simmetrie-asse

Daar is een simmetrie-as vir die funksie met die vorm $f\left(x\right)=a{x}^2+q$ en dit gaan deur die draaipunt. Omdat die draaipunt op die $y$ -as lê, is die $y$ -as die simmetrie-as.

Trek grafieke van die vorm $f\left(x\right)=a{x}^2+q$

Om 'n grafiek te trek van die vorm, $f\left(x\right)=a{x}^2+q$ , het ons vyf eienskappe nodig:

1. die teken van $a$
2. die definisie- en waadeversameling
3. draaipunte
4. $y$ -afsnit
5. $x$ -afsnitte

Byvoorbeeld, stip die grafiek van $g\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^2-3$ . Merk die afsnitte, draaipunt en die simmetrie-as.

Eerstens sien ons dat $a<0$ . Dit beteken dat die grafiek 'n maksimum draaipunt het.

Die definisieversameling van die grafiek is $\{x:x\in \mathbb{R}\}$ , omdat $f\left(x\right)$ gedefinieërd is vir alle $x\in \mathbb{R}$ . Die waardeversameling van die grafiek word bepaal as volg:

Dus is die waardeversameling van die grafiek $\left\{f\right(x):f(x)\in (-\infty ,-3\left]\right\}$ .

Indien ons die feit gebruik dat die maksimum waarde wat $f\left(x\right)$ bereik -3 is, weet ons dat die $y$ -koördinaat van die draaipunt -3 is. Die $x$ -koördinaat word bepaal as volg:

Die koördinate van die draaipunt is dan: $(0;-3)$ .

Die $y$ -afsnit word bepaal deur $x=0$ te stel:

Die $x$ -afsnit word bepaal deur $y=0$ te stel:

Die oplossing van die vergelyking is nie reëel nie. Daarom is daar geen $x$ -afsnitte nie, wat beteken die funksie sny of raak nie die $x$ -as nie.

Ons weet dat die $y$ -as die simmetrie-as is.

Eindelik kan ons die grafiek teken. Let op dat slegs die y-afsnit gemerk is. Die grafiek het 'n maksimum draaipunt, soos vasgestel deur die teken van a. Daar is geen x-afsnitte nie en die draaipunt is gelyk aan die y-afsnit. Die definisievesameling is alle reële getalle en die waardeversameling is $\left\{f\right(x):f(x)\in (-\infty ,-3\left]\right\}$ .

Die volgende video wys een manier om grafieke te trek. Let op dat die term "vertex" in die video gebruik word vir die draaipunt.

Parabole

1. Wys dat indien $a<0$ is die waardeversameling van $f\left(x\right)=a{x}^2+q$ , $\left\{f\right(x):f(x)\in (-\infty ;q\left]\right\}$ is.
2. Trek die grafiek van die funksie $y=-x^2+4$ en toon al die afsnitte met die asse.
3. Twee parabole is geteken: $g:y=a{x}^2+p$ en $h:y=b{x}^2+q$ .

   

   1. Vind die waardes van $a$ en $p$ .
   2. Vind die waardes van $b$ en $q$ .
   3. Vind die waardes van $x$ waarvoor $a{x}^2+p\ge b{x}^2+q$ .
   4. Vir watter waardes van $x$ is $g$ toenemend?