1.3 Hiperboliese funksies

Funksies van die vorm $y=\frac{a}{x}+q$

Funksies van die vorm $y=\frac{a}{x}+q$ staan bekend as hiperboliese funksies. Die algemene vorm van die grafiek van die funksie word geïllustreer in [link] .

Ondersoek: funksies van die vorm $y=\frac{a}{x}+q$

1. Op dieselfde assestelsel, trek die volgende grafieke:
   1. $a\left(x\right)=\frac{-2}{x}+1$
   2. $b\left(x\right)=\frac{-1}{x}+1$
   3. $c\left(x\right)=\frac{0}{x}+1$
   4. $d\left(x\right)=\frac{+1}{x}+1$
   5. $e\left(x\right)=\frac{+2}{x}+1$
   Gebruik jou resultate om die invloed van $a$ af te lei.
2. Op dieselfde assestelsel, trek die volgende grafieke:
   1. $f\left(x\right)=\frac{1}{x}-2$
   2. $g\left(x\right)=\frac{1}{x}-1$
   3. $h\left(x\right)=\frac{1}{x}+0$
   4. $j\left(x\right)=\frac{1}{x}+1$
   5. $k\left(x\right)=\frac{1}{x}+2$
   Gebruik jou resultate om die invloed van $q$ af te lei.

Jy behoort te vind dat die waarde van $a$ bepaal of die grafiek in die eeste en derde kwardrante of in die tweede en vierde kwadrante van die Cartesiese vlak lê.

Jy behoort ook te vind dat die waarde van $q$ bepaal of die grafiek bo die $x$ -as ( $q>0$ ) of onder die $x$ -as is ( $q<0$ ).

Hierdie eienskappe word opgesom in [link] . Die simmetrie as vir elke grafiek word aangetoon as die stippellyn.

	$a>0$	$a<0$
$q>0$
$q<0$

Definisieversameling en waardeversameling

Die funksie $y=\frac{a}{x}+q$ , is ongedefiniëerd vir $x=0$ . Die definisieversameling is dus $\{x:x\in \mathbb{R},x\ne 0\}$ .

Ons kan sien dat $y=\frac{a}{x}+q$ herskryf kan word as:

Dit wys dat die funksie ongedefiniëerd is by $y=q$ . Die waardeversameling van $f\left(x\right)=\frac{a}{x}+q$ is $\left\{f\right(x):f(x)\in (-\infty ;q)\cup (q;\infty \left)\right\}$ .

Byvoorbeeld, die waardeversameling van $g\left(x\right)=\frac{2}{x}+2$ is $\{x:x\in \mathbb{R},x\ne 0\}$ ,omdat $g\left(x\right)$ ongedefiniëerd is by $x=0$ .

Ons sien dat $g\left(x\right)$ ongedefiniëerd is by $y=2$ . Die waardeversamling is dus $\left\{g\right(x):g(x)\in (-\infty ;2)\cup (2;\infty \left)\right\}$ .

Afsnitte

Vir funksies van die vorm $y=\frac{a}{x}+q$ , word die afsnitte met die $x$ - en $y$ -as bereken deur $x=0$ te stel vir die $y$ -afsnit en deur $y=0$ te stel vir die $x$ -afsnit.

Die $y$ -afsnit word as volg bereken:

Dit is ongedefiniëerd omdat ons deur nul deel. Daar is dus geen $y$ -afsnit nie.

Byvoorbeeld, die $y$ -afsnit van $g\left(x\right)=\frac{2}{x}+2$ word gegee deur $x=0$ te stel:

Dit is egter ongedefiniëerd.

Die $x$ -afsnit word bereken deur $y=0$ te stel:

Byvoorbeeld, die $x$ -afsnit van $g\left(x\right)=\frac{2}{x}+2$ word gekry deur $x=0$ te stel:

Asimptote

Daar is twee asimptote vir die funksies van die vorm $y=\frac{a}{x}+q$ . Net 'n herinnering, 'n asimptoot is 'n lyn wat die grafiek van 'n funksie sal nader, maar nooit aanraak nie. Die asimptote word gevind deur na die definisieversameling en waardeversameling te kyk.

Ons het gesien dat die funksie ongedefenieer was by $x=0$ en vir $y=q$ . Dus is die asimtote $x=0$ en $y=q$ .

Byvoorbeeld, die waardeversameling van $g\left(x\right)=\frac{2}{x}+2$ is $\{x:x\in \mathbb{R},x\ne 0\}$ , omdat $g\left(x\right)$ ongedefiniëerd is by $x=0$ . Ons het ook gesien dat $g\left(x\right)$ ongedefiniëerd is by $y=2$ . Dus is die waardeversameling $\left\{g\right(x):g(x)\in (-\infty ;2)\cup (2;\infty \left)\right\}$ .

Hiervan kan ons aflei dat die asimptote by $x=0$ en $y=2$ is.

Skets die grafieke van die vorm $f\left(x\right)=\frac{a}{x}+q$

Om grafieke van funksies van die vorm $f\left(x\right)=\frac{a}{x}+q$ te skets, het ons vier eienskappe nodig.

1. Definisieversameling en waardeversamling
2. Asimptote
3. $y$ -afsnitte
4. $x$ -afsnitte

Byvoorbeeld, die skets van die grafiek van $g\left(x\right)=\frac{2}{x}+2$ . Merk die afsnitte en asimptote.

Ons het vasgestel dat die definisieversameling $\{x:x\in \mathbb{R},x\ne 0\}$ is en die waardeversameling $\left\{g\right(x):g(x)\in (-\infty ;2)\cup (2;\infty \left)\right\}$ is. Die asimptote kan dus gevind word by $x=0$ en $y=2$ .

Daar is geen $y$ -afsnit nie en die $x$ -afsnit is $x_{int}=-1$ .

Grafieke

1. Gebruik grafiekpapier en teken die grafiek van $xy=-6$ .
   1. Lê die punt (-2; 3) op die grafiek? Gee 'n rede vir jou antwoord.
   2. Hoekom is die punt (-2; -3) nie op die grafiek nie?
   3. As die $x$ -waarde van ‘n punt op die grafiek 0,25 is, wat is die ooreenstemmende $y$ -waarde?
   4. Wat gebeur met die $y$ -waardes as die $x$ -waardes baie groot word?
   5. Met die lyn $y=-x$ as 'n lyn van simmetrie, watter punt is simmetries ten opsigte van (-2; 3)?
2. Skets die grafiek van $xy=8$ .
   1. Hoe sal die grafiek $y=\frac{8}{3}x+3$ vergelyk met die grafiek van $xy=8$ ? Verduidelik jou antwoord.
   2. Skets die grafiek van $y=\frac{8}{3}x+3$ op dieselfde assestelsel.