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0.13 Ortogonalización gram-schmidt

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A continuación se explica paso a paso la metodología para la obtención de las bases necesarias para representar cada símbolo de una determinada señales de potencia :

Se tiene un conjunto de señales de energía S i (t) con existencia en un intervalo de tiempo [0, T] que se quieren representar por medio de bases U j , tal y como se indica en el sistema de ecuaciones 3.

Las bases deben cumplir con el principio de ortonormalidad mencionado al principio:

∫ 0 T U j ( t ) . U k ( t ) dt = { 1 → j = k 0 → j ≠ k size 12{ Int rSub { size 8{0} } rSup { size 8{T} } {U rSub { size 8{j} } \( t \) "." U rSub { size 8{k} } \( t \) ital "dt"} = left lbrace matrix { 1 rightarrow j=k {} ##0 rightarrow j<>k } right none } {}

Para comenzar se fija s ij = 0 exceptuando el primer valor: s 11 :

S 1 ( t ) = s 11 . U 1 ( t ) size 12{S rSub { size 8{1} } \( t \) =s rSub { size 8{"11"} } "." U rSub { size 8{1} } \( t \) } {}

Se eleva toda la ecuación al cuadrado y se integra en el intervalo [0,T]:

∫ 0 T S 1 ( t ) 2 dt = ∫ 0 T s 11 2 . U 1 2 ( t ) dt = s 11 2 ∫ 0 T U 1 ( t ) . U 1 ( t ) dt size 12{ Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } { left [S rSub { size 8{1} } \( t \) right ] rSup { size 8{2} } ital "dt"} = Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {s rSub { size 8{"11"} rSup { size 8{2} } } } "." U rSub { size 8{1} rSup { size 8{2} } } \( t \) ital "dt"=s rSub { size 8{"11"} rSup { size 8{2} } } Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {U rSub { size 8{1} } \( t \) "." U rSub { size 8{1} } \( t \) ital "dt"} } {}

Por el principio de ortonormalidad, la integral de la derecha es igual a 1, quedando s 11 sólo en función de S 1 (t) por lo que se puede despejar:

s 11 = ∫ 0 t [ S 1 ( t ) ] 2 dt size 12{s rSub { size 8{"11"} } = sqrt { Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{t} } { \[ S rSub { size 8{1} } \( t \) \] rSup { size 8{2} } ital "dt"} } } {}

Finalmente:

U 1 ( t ) = S 1 ( t ) s 11 = S 1 ( t ) ∫ 0 t [ S 1 ( t ) ] 2 dt size 12{U rSub { size 8{1} } \( t \) = { {S rSub { size 8{1} } \( t \) } over {s rSub { size 8{"11"} } } } = { {S rSub { size 8{1} } \( t \) } over { sqrt { Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{t} } { \[ S rSub { size 8{1} } \( t \) \] rSup { size 8{2} } ital "dt"} } } } } {}

Con esto se obtiene la primera base para representar la señal. Para calcular U 2 (t), se debe restar a S 2 (t) su proyección sobre U 1 (t); esto cumpliría con la condición de que la base sea ortogonal.

Ahora se fijará Sij=0 exceptuando los valores de s 21 y s 22 :

S 2 ( t ) = s 21 . U 1 ( t ) + s 22 . U 2 ( t ) size 12{S rSub { size 8{2} } \( t \) =s rSub { size 8{"21"} } "." U rSub { size 8{1} } \( t \) +s rSub { size 8{"22"} } "." U rSub { size 8{2} } \( t \) } {}

Reordenando esta ecuación queda:

s 22 . U 2 ( t ) = S 2 ( t ) − s 21 . U 1 ( t ) size 12{s rSub { size 8{"22"} } "." U rSub { size 8{2} } \( t \) =S rSub { size 8{2} } \( t \) - s rSub { size 8{"21"} } "." U rSub { size 8{1} } \( t \) } {}

Multiplicando la ecuación por U 1 (t) e integrándola en el intervalo [0,T] queda:

∫ 0 T S 2 ( t ) . U 1 ( t ) dt = ∫ 0 T s 21 . U 1 ( t ) . U 1 ( t ) dt + ∫ 0 T s 22 . U 2 ( t ) . U 1 ( t ) dt size 12{ Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {S rSub { size 8{2} } \( t \) "." U rSub { size 8{1} } \( t \) ital "dt"= Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {s rSub { size 8{"21"} } "." U rSub { size 8{1} } \( t \) "." U rSub { size 8{1} } \( t \) ital "dt"} + Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {s rSub { size 8{"22"} } "." U rSub { size 8{2} } \( t \) "." U rSub { size 8{1} } \( t \) ital "dt"} } } {}

Se aplica el principio de ortonormalidad quedando:

s 21 = ∫ 0 T S 2 ( t ) . U 1 ( t ) dt size 12{s rSub { size 8{"21"} } = Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {S rSub { size 8{2} } \( t \) "." U rSub { size 8{1} } \( t \) ital "dt"} } {}

Al igual que para el paso 1, se eleva toda la ecuación 10 al cuadrado y se integra en el intervalo [0,T], quedando como sigue:

∫ 0 T s 22 2 U 2 . U 2 ( t ) = ∫ 0 T ( S 2 ( t ) − s 21 U 1 ( t ) ) 2 dt size 12{ Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {s rSub { size 8{"22"} rSup { size 8{2} } } U rSub { size 8{2} } "." U rSub { size 8{2} } \( t \) } = Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } { \( S rSub { size 8{2} } \( t \) - s rSub { size 8{"21"} } U rSub { size 8{1} } \( t \) \) rSup { size 8{2} } ital "dt"} } {}

Usando nuevamente el principio de ortonormalidad, queda s 22 en función de la señal S 2 (t), el coeficiente s 21 y la base U 1 (t):

s 22 = ∫ 0 T S 2 ( t ) − s 21 U 1 ( t ) 2 dt size 12{s rSub { size 8{"22"} } = sqrt { Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } { left (S rSub { size 8{2} } \( t \) - s rSub { size 8{"21"} } U rSub { size 8{1} } \( t \) right ) rSup { size 8{2} } ital "dt"} } } {}

Finalmente, despejando y sustituyendo las ecuaciones 13 y 15 en la ecuación 11:

⇒ U 2 ( t ) = s 2 ( t ) − ∫ 0 T S 2 ( t ) . U 1 ( t ) dt U 1 ( t ) ∫ 0 T S 2 ( t ) − ∫ 0 T S 2 ( t ) . U 1 ( t ) dt U 1 ( t ) 2 dt size 12{ drarrow U rSub { size 8{2} } \( t \) = { { left [s rSub { size 8{2} } \( t \) - left ( Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {S rSub { size 8{2} } \( t \) "." U rSub { size 8{1} } \( t \) ital "dt"} right )U rSub { size 8{1} } \( t \) right ]} over { sqrt { Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } { left (S rSub { size 8{2} } \( t \) - left ( Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {S rSub { size 8{2} } \( t \) "." U rSub { size 8{1} } \( t \) ital "dt"} right )U rSub { size 8{1} } \( t \) right ) rSup { size 8{2} } ital "dt"} } } } } {}

Se buscarán cuantas bases sean necesarias hasta el punto en el que U n =0. Se pudiera resumir este proceso de la siguiente forma:

U 1 ( t ) = S 1 ( t ) ∥ S 1 ( t ) ∥ size 12{U rSub { size 8{1} } \( t \) = { {S rSub { size 8{1} } \( t \) } over { ldline S rSub { size 8{1} } \( t \) rdline } } } {}
U 2 ( t ) = S 2 ( t ) − 〈 S 2 ( t ) , U 1 ( t ) 〉 . U 1 ( t ) ∥ S 2 ( t ) − 〈 S 2 ( t ) , U 1 ( t ) 〉 . U 1 ( t ) ∥ size 12{U rSub { size 8{2} } \( t \) = { {S rSub { size 8{2} } \( t \) - langle S rSub { size 8{2} } \( t \) ,U rSub { size 8{1} } \( t \) rangle "." U rSub { size 8{1} } \( t \) } over { ldline S rSub { size 8{2} } \( t \) - langle S rSub { size 8{2} } \( t \) ,U rSub { size 8{1} } \( t \) rangle "." U rSub { size 8{1} } \( t \) rdline } } } {}
U n ( t ) = S n ( t ) − ∑ m = 1 n − 1 〈 S n ( t ) , U m ( t ) 〉 . U m ( t ) ∥ S n ( t ) − ∑ m = 1 n − 1 〈 S n ( t ) , U m ( t ) 〉 . U m ( t ) ∥ size 12{U rSub { size 8{n} } \( t \) = { {S rSub { size 8{n} } \( t \) - Sum cSub { size 8{m=1} } cSup { size 8{n - 1} } { langle S rSub { size 8{n} } \( t \) ,U rSub { size 8{m} } \( t \) rangle "." U rSub { size 8{m} } \( t \) } } over { ldline S rSub { size 8{n} } \( t \) - Sum cSub { size 8{m=1} } cSup { size 8{n - 1} } { langle S rSub { size 8{n} } \( t \) ,U rSub { size 8{m} } \( t \) rangle "." U rSub { size 8{m} } \( t \) } rdline } } } {}

Donde:

∥ X ∥ = E X = ∫ − ∞ + ∞ X 2 ( t ) dt 〈 x ( t ) , y ( t ) 〉 = ∫ x ( t ) y ( t ) dt alignl { stack { size 12{ ldline X rdline = sqrt {E rSub { size 8{X} } } = sqrt { Int cSub { size 8{ - infinity } } cSup { size 8{+ infinity } } {X rSup { size 8{2} } \( t \) ital "dt"} } } {} #langle x \( t \) ,y \( t \) rangle = Int {x \( t \) y \( t \) ital "dt"} {} } } {}

Es importante resaltar que si el proceso de ortogonalización se inicia con una señal diferente a la señal S 1 (t), se obtendría un conjunto distinto de bases ortonormales pero igualmente representativa.

Constelación

Es la representación gráfica de cada señal S i (t) en función de las bases U i . Cada punto perteneciente a la constelación corresponde a un símbolo de modulación.

Se considerarán los ‘ejes’ de la gráfica las bases calculadas a partir de la Ortogonalización, es decir, Uj . El procedimiento es el siguiente: se debe representar con un punto a la(s) forma(s) de onda s i sobre el eje de la base. Supónganse dos señales, que identifican una determinada codificación o modulación, y que pueden representarse con una sola base de acuerdo a las siguientes ecuaciones:

S 1 = V Tb . U 1 size 12{S rSub { size 8{1} } =V sqrt { ital "Tb"} "." U rSub { size 8{1} } } {}
S 2 = − V Tb . U 1 size 12{S rSub { size 8{2} } = - V sqrt { ital "Tb"} "." U rSub { size 8{1} } } {}

Como sólo se necesita una base para representar estas formas de onda, entonces se tendrá un ‘eje’ que es U 1 :

Ejemplo de constelación.

A partir de la constelación se puede obtener un parámetro fundamental que es la Energía . Si se eleva al cuadrado la distancia que existe entre el origen y un punto de la constelación se obtiene la energía de la primera forma de onda S 1 :

Es 1 = V 2 Tb size 12{ ital "Es" rSub { size 8{1} } =V rSup { size 8{2} } ital "Tb"} {}

Para calcular la Energía de S 2 se hace exactamente el mismo procedimiento.

La introducción del ruido en el sistema ocasionará una situación como la descrita en la figura 3, es decir, en la constelación el punto correspondiente al símbolo no estará ubicado exactamente en el sitio que se ubicaría si no existiese el ruido. En las comunicaciones digitales se hace uso de un “valor umbral” con el cual el receptor distingue si el símbolo recibido es uno u otro. Este valor umbral es representado gráficamente en la constelación como una línea ubicada en el punto medio entre los puntos de los símbolos sin ruido.

Otro ejemplo de constelación, las líneas azules representan valores de umbral entre puntos cercanos

Autoevaluación

¿Con qué base puede representarse un símbolo con un valor nulo en el intervalo [0, T]?

Un valor nulo con dicha duración puede ser representado como la multiplicación de cualquier señal con la misma duración por cero, por lo cual se podrá representar con cualquier base, como por ejemplo, la base calculada por medio del otro símbolo. La posición del valor nulo en la constelación siempre será en el “origen”

¿Cómo se observa en la constelación que hay un error en la transmisión?

Hay un error en la transmisión si la representación de un símbolo se observa “más cerca” del punto correspondiente a otro símbolo diferente, es decir, si salta la línea de umbral.

En base a la pregunta anterior, ¿Cómo puede reducirse la probabilidad de error?

La probabilidad de error se reduce “aumentando la distancia” entre los puntos correspondientes a los símbolos, es decir, aumentando la potencia de transmisión (lo que aumenta el valor de V) o disminuyendo la velocidad de transmisión (lo que aumenta el valor de Tb).

Simuladores

ESTE VINCULO contiene una carpeta con un programa realizado en LabVIEW pero haciendo uso exclusivamente de "MATLAB Script" que calcula bases ortogonales por medio de Gram-Schmidt; puede obtenerse también un programa similar realizado netamente en LabVIEW por medio de ESTE VINCULO ; la interfaz de ambos programas es prácticamente igual. Cada carpeta incluye el .vi correspondiente y todos los archivos necesarios para el funcionamiento de cada uno, si se elimina o renombra alguno de estos archivos, podría haber fallas en el funcionamiento del programa. La figura 6 contiene un video explicativo acerca del uso de los programas.

Ortogonalización gram-schmidt

Video explicativo de la utilización del programa
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Source:  OpenStax, Señales y sistemas en matlab y labview. OpenStax CNX. Sep 23, 2011 Download for free at http://cnx.org/content/col11361/1.4
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