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A continuación se explica paso a paso la metodología para la obtención de las bases necesarias para representar cada símbolo de una determinada señales de potencia :

Se tiene un conjunto de señales de energía S i (t) con existencia en un intervalo de tiempo [0, T] que se quieren representar por medio de bases U j , tal y como se indica en el sistema de ecuaciones 3.

Las bases deben cumplir con el principio de ortonormalidad mencionado al principio:

0 T U j ( t ) . U k ( t ) dt = { 1 j = k 0 j k size 12{ Int rSub { size 8{0} } rSup { size 8{T} } {U rSub { size 8{j} } \( t \) "." U rSub { size 8{k} } \( t \) ital "dt"} = left lbrace matrix { 1 rightarrow j=k {} ##0 rightarrow j<>k } right none } {}

Para comenzar se fija s ij = 0 exceptuando el primer valor: s 11 :

S 1 ( t ) = s 11 . U 1 ( t ) size 12{S rSub { size 8{1} } \( t \) =s rSub { size 8{"11"} } "." U rSub { size 8{1} } \( t \) } {}

Se eleva toda la ecuación al cuadrado y se integra en el intervalo [0,T]:

0 T S 1 ( t ) 2 dt = 0 T s 11 2 . U 1 2 ( t ) dt = s 11 2 0 T U 1 ( t ) . U 1 ( t ) dt size 12{ Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } { left [S rSub { size 8{1} } \( t \) right ] rSup { size 8{2} } ital "dt"} = Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {s rSub { size 8{"11"} rSup { size 8{2} } } } "." U rSub { size 8{1} rSup { size 8{2} } } \( t \) ital "dt"=s rSub { size 8{"11"} rSup { size 8{2} } } Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {U rSub { size 8{1} } \( t \) "." U rSub { size 8{1} } \( t \) ital "dt"} } {}

Por el principio de ortonormalidad, la integral de la derecha es igual a 1, quedando s 11 sólo en función de S 1 (t) por lo que se puede despejar:

s 11 = 0 t [ S 1 ( t ) ] 2 dt size 12{s rSub { size 8{"11"} } = sqrt { Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{t} } { \[ S rSub { size 8{1} } \( t \) \] rSup { size 8{2} } ital "dt"} } } {}

Finalmente:

U 1 ( t ) = S 1 ( t ) s 11 = S 1 ( t ) 0 t [ S 1 ( t ) ] 2 dt size 12{U rSub { size 8{1} } \( t \) = { {S rSub { size 8{1} } \( t \) } over {s rSub { size 8{"11"} } } } = { {S rSub { size 8{1} } \( t \) } over { sqrt { Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{t} } { \[ S rSub { size 8{1} } \( t \) \] rSup { size 8{2} } ital "dt"} } } } } {}

Con esto se obtiene la primera base para representar la señal. Para calcular U 2 (t), se debe restar a S 2 (t) su proyección sobre U 1 (t); esto cumpliría con la condición de que la base sea ortogonal.

Ahora se fijará Sij=0 exceptuando los valores de s 21 y s 22 :

S 2 ( t ) = s 21 . U 1 ( t ) + s 22 . U 2 ( t ) size 12{S rSub { size 8{2} } \( t \) =s rSub { size 8{"21"} } "." U rSub { size 8{1} } \( t \) +s rSub { size 8{"22"} } "." U rSub { size 8{2} } \( t \) } {}

Reordenando esta ecuación queda:

s 22 . U 2 ( t ) = S 2 ( t ) s 21 . U 1 ( t ) size 12{s rSub { size 8{"22"} } "." U rSub { size 8{2} } \( t \) =S rSub { size 8{2} } \( t \) - s rSub { size 8{"21"} } "." U rSub { size 8{1} } \( t \) } {}

Multiplicando la ecuación por U 1 (t) e integrándola en el intervalo [0,T] queda:

0 T S 2 ( t ) . U 1 ( t ) dt = 0 T s 21 . U 1 ( t ) . U 1 ( t ) dt + 0 T s 22 . U 2 ( t ) . U 1 ( t ) dt size 12{ Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {S rSub { size 8{2} } \( t \) "." U rSub { size 8{1} } \( t \) ital "dt"= Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {s rSub { size 8{"21"} } "." U rSub { size 8{1} } \( t \) "." U rSub { size 8{1} } \( t \) ital "dt"} + Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {s rSub { size 8{"22"} } "." U rSub { size 8{2} } \( t \) "." U rSub { size 8{1} } \( t \) ital "dt"} } } {}

Se aplica el principio de ortonormalidad quedando:

s 21 = 0 T S 2 ( t ) . U 1 ( t ) dt size 12{s rSub { size 8{"21"} } = Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {S rSub { size 8{2} } \( t \) "." U rSub { size 8{1} } \( t \) ital "dt"} } {}

Al igual que para el paso 1, se eleva toda la ecuación 10 al cuadrado y se integra en el intervalo [0,T], quedando como sigue:

0 T s 22 2 U 2 . U 2 ( t ) = 0 T ( S 2 ( t ) s 21 U 1 ( t ) ) 2 dt size 12{ Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {s rSub { size 8{"22"} rSup { size 8{2} } } U rSub { size 8{2} } "." U rSub { size 8{2} } \( t \) } = Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } { \( S rSub { size 8{2} } \( t \) - s rSub { size 8{"21"} } U rSub { size 8{1} } \( t \) \) rSup { size 8{2} } ital "dt"} } {}

Usando nuevamente el principio de ortonormalidad, queda s 22 en función de la señal S 2 (t), el coeficiente s 21 y la base U 1 (t):

s 22 = 0 T S 2 ( t ) s 21 U 1 ( t ) 2 dt size 12{s rSub { size 8{"22"} } = sqrt { Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } { left (S rSub { size 8{2} } \( t \) - s rSub { size 8{"21"} } U rSub { size 8{1} } \( t \) right ) rSup { size 8{2} } ital "dt"} } } {}

Finalmente, despejando y sustituyendo las ecuaciones 13 y 15 en la ecuación 11:

U 2 ( t ) = s 2 ( t ) 0 T S 2 ( t ) . U 1 ( t ) dt U 1 ( t ) 0 T S 2 ( t ) 0 T S 2 ( t ) . U 1 ( t ) dt U 1 ( t ) 2 dt size 12{ drarrow U rSub { size 8{2} } \( t \) = { { left [s rSub { size 8{2} } \( t \) - left ( Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {S rSub { size 8{2} } \( t \) "." U rSub { size 8{1} } \( t \) ital "dt"} right )U rSub { size 8{1} } \( t \) right ]} over { sqrt { Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } { left (S rSub { size 8{2} } \( t \) - left ( Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {S rSub { size 8{2} } \( t \) "." U rSub { size 8{1} } \( t \) ital "dt"} right )U rSub { size 8{1} } \( t \) right ) rSup { size 8{2} } ital "dt"} } } } } {}

Se buscarán cuantas bases sean necesarias hasta el punto en el que U n =0. Se pudiera resumir este proceso de la siguiente forma:

U 1 ( t ) = S 1 ( t ) S 1 ( t ) size 12{U rSub { size 8{1} } \( t \) = { {S rSub { size 8{1} } \( t \) } over { ldline S rSub { size 8{1} } \( t \) rdline } } } {}
U 2 ( t ) = S 2 ( t ) S 2 ( t ) , U 1 ( t ) . U 1 ( t ) S 2 ( t ) S 2 ( t ) , U 1 ( t ) . U 1 ( t ) size 12{U rSub { size 8{2} } \( t \) = { {S rSub { size 8{2} } \( t \) - langle S rSub { size 8{2} } \( t \) ,U rSub { size 8{1} } \( t \) rangle "." U rSub { size 8{1} } \( t \) } over { ldline S rSub { size 8{2} } \( t \) - langle S rSub { size 8{2} } \( t \) ,U rSub { size 8{1} } \( t \) rangle "." U rSub { size 8{1} } \( t \) rdline } } } {}
U n ( t ) = S n ( t ) m = 1 n 1 S n ( t ) , U m ( t ) . U m ( t ) S n ( t ) m = 1 n 1 S n ( t ) , U m ( t ) . U m ( t ) size 12{U rSub { size 8{n} } \( t \) = { {S rSub { size 8{n} } \( t \) - Sum cSub { size 8{m=1} } cSup { size 8{n - 1} } { langle S rSub { size 8{n} } \( t \) ,U rSub { size 8{m} } \( t \) rangle "." U rSub { size 8{m} } \( t \) } } over { ldline S rSub { size 8{n} } \( t \) - Sum cSub { size 8{m=1} } cSup { size 8{n - 1} } { langle S rSub { size 8{n} } \( t \) ,U rSub { size 8{m} } \( t \) rangle "." U rSub { size 8{m} } \( t \) } rdline } } } {}

Donde:

X = E X = + X 2 ( t ) dt x ( t ) , y ( t ) = x ( t ) y ( t ) dt alignl { stack { size 12{ ldline X rdline = sqrt {E rSub { size 8{X} } } = sqrt { Int cSub { size 8{ - infinity } } cSup { size 8{+ infinity } } {X rSup { size 8{2} } \( t \) ital "dt"} } } {} #langle x \( t \) ,y \( t \) rangle = Int {x \( t \) y \( t \) ital "dt"} {} } } {}

Es importante resaltar que si el proceso de ortogonalización se inicia con una señal diferente a la señal S 1 (t), se obtendría un conjunto distinto de bases ortonormales pero igualmente representativa.

Constelación

Es la representación gráfica de cada señal S i (t) en función de las bases U i . Cada punto perteneciente a la constelación corresponde a un símbolo de modulación.

Se considerarán los ‘ejes’ de la gráfica las bases calculadas a partir de la Ortogonalización, es decir, Uj . El procedimiento es el siguiente: se debe representar con un punto a la(s) forma(s) de onda s i sobre el eje de la base. Supónganse dos señales, que identifican una determinada codificación o modulación, y que pueden representarse con una sola base de acuerdo a las siguientes ecuaciones:

S 1 = V Tb . U 1 size 12{S rSub { size 8{1} } =V sqrt { ital "Tb"} "." U rSub { size 8{1} } } {}
S 2 = V Tb . U 1 size 12{S rSub { size 8{2} } = - V sqrt { ital "Tb"} "." U rSub { size 8{1} } } {}

Como sólo se necesita una base para representar estas formas de onda, entonces se tendrá un ‘eje’ que es U 1 :

Ejemplo de constelación.

A partir de la constelación se puede obtener un parámetro fundamental que es la Energía . Si se eleva al cuadrado la distancia que existe entre el origen y un punto de la constelación se obtiene la energía de la primera forma de onda S 1 :

Es 1 = V 2 Tb size 12{ ital "Es" rSub { size 8{1} } =V rSup { size 8{2} } ital "Tb"} {}

Para calcular la Energía de S 2 se hace exactamente el mismo procedimiento.

La introducción del ruido en el sistema ocasionará una situación como la descrita en la figura 3, es decir, en la constelación el punto correspondiente al símbolo no estará ubicado exactamente en el sitio que se ubicaría si no existiese el ruido. En las comunicaciones digitales se hace uso de un “valor umbral” con el cual el receptor distingue si el símbolo recibido es uno u otro. Este valor umbral es representado gráficamente en la constelación como una línea ubicada en el punto medio entre los puntos de los símbolos sin ruido.

Otro ejemplo de constelación, las líneas azules representan valores de umbral entre puntos cercanos

Autoevaluación

¿Con qué base puede representarse un símbolo con un valor nulo en el intervalo [0, T]?

Un valor nulo con dicha duración puede ser representado como la multiplicación de cualquier señal con la misma duración por cero, por lo cual se podrá representar con cualquier base, como por ejemplo, la base calculada por medio del otro símbolo. La posición del valor nulo en la constelación siempre será en el “origen”

¿Cómo se observa en la constelación que hay un error en la transmisión?

Hay un error en la transmisión si la representación de un símbolo se observa “más cerca” del punto correspondiente a otro símbolo diferente, es decir, si salta la línea de umbral.

En base a la pregunta anterior, ¿Cómo puede reducirse la probabilidad de error?

La probabilidad de error se reduce “aumentando la distancia” entre los puntos correspondientes a los símbolos, es decir, aumentando la potencia de transmisión (lo que aumenta el valor de V) o disminuyendo la velocidad de transmisión (lo que aumenta el valor de Tb).

Simuladores

ESTE VINCULO contiene una carpeta con un programa realizado en LabVIEW pero haciendo uso exclusivamente de "MATLAB Script" que calcula bases ortogonales por medio de Gram-Schmidt; puede obtenerse también un programa similar realizado netamente en LabVIEW por medio de ESTE VINCULO ; la interfaz de ambos programas es prácticamente igual. Cada carpeta incluye el .vi correspondiente y todos los archivos necesarios para el funcionamiento de cada uno, si se elimina o renombra alguno de estos archivos, podría haber fallas en el funcionamiento del programa. La figura 6 contiene un video explicativo acerca del uso de los programas.

Ortogonalización gram-schmidt

Video explicativo de la utilización del programa

Questions & Answers

how do they get the third part x = (32)5/4
kinnecy Reply
can someone help me with some logarithmic and exponential equations.
Jeffrey Reply
sure. what is your question?
ninjadapaul
20/(×-6^2)
Salomon
okay, so you have 6 raised to the power of 2. what is that part of your answer
ninjadapaul
I don't understand what the A with approx sign and the boxed x mean
ninjadapaul
it think it's written 20/(X-6)^2 so it's 20 divided by X-6 squared
Salomon
I'm not sure why it wrote it the other way
Salomon
I got X =-6
Salomon
ok. so take the square root of both sides, now you have plus or minus the square root of 20= x-6
ninjadapaul
oops. ignore that.
ninjadapaul
so you not have an equal sign anywhere in the original equation?
ninjadapaul
Commplementary angles
Idrissa Reply
hello
Sherica
im all ears I need to learn
Sherica
right! what he said ⤴⤴⤴
Tamia
hii
Uday
what is a good calculator for all algebra; would a Casio fx 260 work with all algebra equations? please name the cheapest, thanks.
Kevin Reply
a perfect square v²+2v+_
Dearan Reply
kkk nice
Abdirahman Reply
algebra 2 Inequalities:If equation 2 = 0 it is an open set?
Kim Reply
or infinite solutions?
Kim
The answer is neither. The function, 2 = 0 cannot exist. Hence, the function is undefined.
Al
y=10×
Embra Reply
if |A| not equal to 0 and order of A is n prove that adj (adj A = |A|
Nancy Reply
rolling four fair dice and getting an even number an all four dice
ramon Reply
Kristine 2*2*2=8
Bridget Reply
Differences Between Laspeyres and Paasche Indices
Emedobi Reply
No. 7x -4y is simplified from 4x + (3y + 3x) -7y
Mary Reply
is it 3×y ?
Joan Reply
J, combine like terms 7x-4y
Bridget Reply
how do you translate this in Algebraic Expressions
linda Reply
Need to simplify the expresin. 3/7 (x+y)-1/7 (x-1)=
Crystal Reply
. After 3 months on a diet, Lisa had lost 12% of her original weight. She lost 21 pounds. What was Lisa's original weight?
Chris Reply
what's the easiest and fastest way to the synthesize AgNP?
Damian Reply
China
Cied
types of nano material
abeetha Reply
I start with an easy one. carbon nanotubes woven into a long filament like a string
Porter
many many of nanotubes
Porter
what is the k.e before it land
Yasmin
what is the function of carbon nanotubes?
Cesar
I'm interested in nanotube
Uday
what is nanomaterials​ and their applications of sensors.
Ramkumar Reply
what is nano technology
Sravani Reply
what is system testing?
AMJAD
preparation of nanomaterial
Victor Reply
Yes, Nanotechnology has a very fast field of applications and their is always something new to do with it...
Himanshu Reply
good afternoon madam
AMJAD
what is system testing
AMJAD
what is the application of nanotechnology?
Stotaw
In this morden time nanotechnology used in many field . 1-Electronics-manufacturad IC ,RAM,MRAM,solar panel etc 2-Helth and Medical-Nanomedicine,Drug Dilivery for cancer treatment etc 3- Atomobile -MEMS, Coating on car etc. and may other field for details you can check at Google
Azam
anybody can imagine what will be happen after 100 years from now in nano tech world
Prasenjit
after 100 year this will be not nanotechnology maybe this technology name will be change . maybe aftet 100 year . we work on electron lable practically about its properties and behaviour by the different instruments
Azam
name doesn't matter , whatever it will be change... I'm taking about effect on circumstances of the microscopic world
Prasenjit
how hard could it be to apply nanotechnology against viral infections such HIV or Ebola?
Damian
silver nanoparticles could handle the job?
Damian
not now but maybe in future only AgNP maybe any other nanomaterials
Azam
Hello
Uday
I'm interested in Nanotube
Uday
this technology will not going on for the long time , so I'm thinking about femtotechnology 10^-15
Prasenjit
can nanotechnology change the direction of the face of the world
Prasenjit Reply
At high concentrations (>0.01 M), the relation between absorptivity coefficient and absorbance is no longer linear. This is due to the electrostatic interactions between the quantum dots in close proximity. If the concentration of the solution is high, another effect that is seen is the scattering of light from the large number of quantum dots. This assumption only works at low concentrations of the analyte. Presence of stray light.
Ali Reply
the Beer law works very well for dilute solutions but fails for very high concentrations. why?
bamidele Reply
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
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QuizOver.com Reply

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Source:  OpenStax, Señales y sistemas en matlab y labview. OpenStax CNX. Sep 23, 2011 Download for free at http://cnx.org/content/col11361/1.4
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