<< Chapter < Page Chapter >> Page >

- насока на векторот е ориентацијата од неговата почетна кон крај­ната точка.

Видови вектори

Векторите може да бидат:

- Вектори врзани за точка;

- Вектори врзани за права (носач);

- Слободни вектори.

Слободните вектори не се врзани ниту за почетната точка ниту за правата на која лежат и тие може слободно да се транслатираат во просторот. При транслација векторите си ја запазуваат должината и насоката, а носачите им се паралелни прави. Понатаму, под поимот вектор ќе се подразбира слободен вектор.

Слободните вектори се еднакви ако имаат еднакви интензитети, лежат на иста или на паралелни прави и имаат исти насоки.

Дефиниција . Нула вектор е вектор на кој му се поклопуваат почетната и крајната точка.

Нула векторот нема определен правец и насока и се означува со o size 12{ {o} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} . Секоја точка може да се смета за нула вектор со нула интензитет и со произволен правец и насока.

Основни операции со вектори

Најпрво геометриски ќе ги дефинирме основните операции со векторите.

Збир на вектори

Нека се дадени векторите a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} . Векторот a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} + b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се нарекува збир на векторите a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и геометриски може да се определи по правилото на триаголник или паралелограм.

За да се примени правилото на триаголник, на крајот од првиот вектор се надоврзува почетокот на вториот вектор и збирот ќе биде векторот со почеток во почетокот на првиот вектор, а крајот е во крајната точка од вториот вектор (Сл. 1.3. а).

За определување на збирот на два вектора по правилото на паралелограм, векторите се доведуваат до заеднички почеток при што тие се две соседни страни на еден паралелограм, а збирот на овие вектори е дијагоналата во паралелограмот која почнува во заедничкиот почеток на векторите (Сл. 1.3. б)

Дефиниција . Вектори кои имаат исти должини и правец, а спротивни насоки се нарекуваат спротивни вектори .

Така, спротивни се векторите a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и a size 12{ - {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} .

Разлика на вектори

Нека a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се вектори, тогаш векторот a b size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се нарекува разлика на векторите a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и геометриски се определува како вектор формиран меѓу крајните точки на векторите a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} кои се доведени до заеднички почеток и со насока од крајот на векторот b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} кон крајот на векторот a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} (Сл. 1.3. в).

Слика 1.3. а) Збир на вектори по правило на триаголник; б) Збир по правило на паралелограм; в) Разлика на вектори

Множење на вектор со скалар

Производот на скаларот λ≠0 со векторот a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} (Сл.1.4.) е вектор λ a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} кој е определен со:

- интензитет λ a = λ a size 12{ \lline λ` {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline = lline λ rline \lline {a \lline } cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ;

- правец кој е ист со правецот на векторот a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ;

- насоката е иста со насоката на векторот a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ако λ>0, или е со спротивна насока од a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ако λ<0.

Слика 1.4. Множење на вектор со скалар

Пример 1. ( Теорема за средна линија во триаголник ) Да се покаже дека средната линија во триаголник е паралелна со спротивната старана на триаголникот и е со должина половина од неа (Сл. 1.5.).

Доказ: Во триаголникот ABC страните му се векторите AB , BC , CA size 12{ { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } ,` { ital "BC"} cSup { size 8{ rightarrow } } ,` { ital "CA"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} образувани од трите темиња А , B , C . Нека точките М и N се средини на страните АC и BC . При тоа MA + MC = 0 size 12{ { ital "MA"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "MC"} cSup { size 8{ rightarrow } } =0} {} и NB + NC = 0 size 12{ { ital "NB"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "NC"} cSup { size 8{ rightarrow } } =0} {} .

Слика 1.5. Средна линија во триаголник

Изразувајќи го векторот MN size 12{ { ital "MN"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} на два начини, како збир од векторите на страните од четириаголникот MABN и триаголникот MNC , се добиваат равенствата

MN = MA + AB + BN size 12{ { ital "MN"} cSup { size 8{ rightarrow } } = { ital "MA"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "BN"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}

и

MN = MC + CN size 12{ { ital "MN"} cSup { size 8{ rightarrow } } = { ital "MC"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "CN"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}

и со нивно собирање се добива

2 MN = ( MA + MC ) + AB + ( BN + CN ) = 0 + AB + 0 = AB size 12{2 { ital "MN"} cSup { size 8{ rightarrow } } = \( { ital "MA"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "MC"} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } + \( { ital "BN"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "CN"} cSup { size 8{ rightarrow } } \) =0+ { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } +0= { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ,

од каде

MN = AB 2 size 12{ { ital "MN"} cSup { size 8{ rightarrow } } = { { { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } } over {2} } } {} ,

што покажува дека средната линија MN е паралелна со основата на триаголникот и е половина од должината на таа страна. ◄

Дефиниција. Ако векторот a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} може са се запише како како сума на n производи меѓу скаларите λ i size 12{λ rSub { size 8{i} } } {} и векторите a i size 12{ {a rSub { size 8{i} } } cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , односно со релацијата

a = i = 1 n λ i a i size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } = Sum cSub {i=1} cSup {n} {λ rSub { size 8{ size 9{i}} } ` {a rSub {i} } cSup { rightarrow } } } {} ,

за векторот a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се вели дека е линеарна комбинација на векторите a i size 12{ {a rSub { size 8{i} } } cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и скаларите λ i size 12{λ rSub { size 8{i} } } {} .

Векторите a i size 12{ {a rSub { size 8{i} } } cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се нарекуваат компоненти на векторот a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} . Ако векторот a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} не може да се напише како линеарна комбинација од векторите a i size 12{ {a rSub { size 8{i} } } cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , односно ако a = i = 1 n λ i a i size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } = Sum cSub {i=1} cSup {n} {λ rSub { size 8{ size 9{i}} } ` {a rSub {i} } cSup { rightarrow } } } {} е можно единствено кога сите скалари λ i size 12{λ rSub { size 8{i} } } {} = 0, тогаш векторите a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и a i size 12{ {a rSub { size 8{i} } } cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се линеарно независни .

Дефиниција . Вектор со интензитет еднаков на 1 се нарекува единичен вектор .

Единичен вектор кој има ист правец и насока со векторот a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се нарекува негов единичен вектор, се означува со a 0 size 12{ {a rSub { size 8{0} } } cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и се определува со релацијата

a 0 = a a size 12{ {a rSub { size 8{0} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = { { {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } over { \lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline } } } {} .

Дефиниција . Вектори кои лежат на иста права или на паралелни прави се нарекуваат колинеарни вектори .

Два колинеарни вектора a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се запишуваат како a = λ b size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } =λ` {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , (λ ≠ 0, λ R size 12{λ in R} {} ).

Get Jobilize Job Search Mobile App in your pocket Now!

Get it on Google Play Download on the App Store Now




Source:  OpenStax, Векторска алгебра. OpenStax CNX. Mar 11, 2009 Download for free at http://cnx.org/content/col10672/1.3
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Векторска алгебра' conversation and receive update notifications?

Ask