<< Chapter < Page Chapter >> Page >

- насока на векторот е ориентацијата од неговата почетна кон крај­ната точка.

Видови вектори

Векторите може да бидат:

- Вектори врзани за точка;

- Вектори врзани за права (носач);

- Слободни вектори.

Слободните вектори не се врзани ниту за почетната точка ниту за правата на која лежат и тие може слободно да се транслатираат во просторот. При транслација векторите си ја запазуваат должината и насоката, а носачите им се паралелни прави. Понатаму, под поимот вектор ќе се подразбира слободен вектор.

Слободните вектори се еднакви ако имаат еднакви интензитети, лежат на иста или на паралелни прави и имаат исти насоки.

Дефиниција . Нула вектор е вектор на кој му се поклопуваат почетната и крајната точка.

Нула векторот нема определен правец и насока и се означува со o size 12{ {o} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} . Секоја точка може да се смета за нула вектор со нула интензитет и со произволен правец и насока.

Основни операции со вектори

Најпрво геометриски ќе ги дефинирме основните операции со векторите.

Збир на вектори

Нека се дадени векторите a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} . Векторот a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} + b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се нарекува збир на векторите a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и геометриски може да се определи по правилото на триаголник или паралелограм.

За да се примени правилото на триаголник, на крајот од првиот вектор се надоврзува почетокот на вториот вектор и збирот ќе биде векторот со почеток во почетокот на првиот вектор, а крајот е во крајната точка од вториот вектор (Сл. 1.3. а).

За определување на збирот на два вектора по правилото на паралелограм, векторите се доведуваат до заеднички почеток при што тие се две соседни страни на еден паралелограм, а збирот на овие вектори е дијагоналата во паралелограмот која почнува во заедничкиот почеток на векторите (Сл. 1.3. б)

Дефиниција . Вектори кои имаат исти должини и правец, а спротивни насоки се нарекуваат спротивни вектори .

Така, спротивни се векторите a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и a size 12{ - {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} .

Разлика на вектори

Нека a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се вектори, тогаш векторот a b size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се нарекува разлика на векторите a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и геометриски се определува како вектор формиран меѓу крајните точки на векторите a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} кои се доведени до заеднички почеток и со насока од крајот на векторот b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} кон крајот на векторот a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} (Сл. 1.3. в).

Слика 1.3. а) Збир на вектори по правило на триаголник; б) Збир по правило на паралелограм; в) Разлика на вектори

Множење на вектор со скалар

Производот на скаларот λ≠0 со векторот a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} (Сл.1.4.) е вектор λ a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} кој е определен со:

- интензитет λ a = λ a size 12{ \lline λ` {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline = lline λ rline \lline {a \lline } cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ;

- правец кој е ист со правецот на векторот a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ;

- насоката е иста со насоката на векторот a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ако λ>0, или е со спротивна насока од a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ако λ<0.

Слика 1.4. Множење на вектор со скалар

Пример 1. ( Теорема за средна линија во триаголник ) Да се покаже дека средната линија во триаголник е паралелна со спротивната старана на триаголникот и е со должина половина од неа (Сл. 1.5.).

Доказ: Во триаголникот ABC страните му се векторите AB , BC , CA size 12{ { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } ,` { ital "BC"} cSup { size 8{ rightarrow } } ,` { ital "CA"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} образувани од трите темиња А , B , C . Нека точките М и N се средини на страните АC и BC . При тоа MA + MC = 0 size 12{ { ital "MA"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "MC"} cSup { size 8{ rightarrow } } =0} {} и NB + NC = 0 size 12{ { ital "NB"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "NC"} cSup { size 8{ rightarrow } } =0} {} .

Слика 1.5. Средна линија во триаголник

Изразувајќи го векторот MN size 12{ { ital "MN"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} на два начини, како збир од векторите на страните од четириаголникот MABN и триаголникот MNC , се добиваат равенствата

MN = MA + AB + BN size 12{ { ital "MN"} cSup { size 8{ rightarrow } } = { ital "MA"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "BN"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}

и

MN = MC + CN size 12{ { ital "MN"} cSup { size 8{ rightarrow } } = { ital "MC"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "CN"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}

и со нивно собирање се добива

2 MN = ( MA + MC ) + AB + ( BN + CN ) = 0 + AB + 0 = AB size 12{2 { ital "MN"} cSup { size 8{ rightarrow } } = \( { ital "MA"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "MC"} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } + \( { ital "BN"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "CN"} cSup { size 8{ rightarrow } } \) =0+ { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } +0= { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ,

од каде

MN = AB 2 size 12{ { ital "MN"} cSup { size 8{ rightarrow } } = { { { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } } over {2} } } {} ,

што покажува дека средната линија MN е паралелна со основата на триаголникот и е половина од должината на таа страна. ◄

Дефиниција. Ако векторот a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} може са се запише како како сума на n производи меѓу скаларите λ i size 12{λ rSub { size 8{i} } } {} и векторите a i size 12{ {a rSub { size 8{i} } } cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , односно со релацијата

a = i = 1 n λ i a i size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } = Sum cSub {i=1} cSup {n} {λ rSub { size 8{ size 9{i}} } ` {a rSub {i} } cSup { rightarrow } } } {} ,

за векторот a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се вели дека е линеарна комбинација на векторите a i size 12{ {a rSub { size 8{i} } } cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и скаларите λ i size 12{λ rSub { size 8{i} } } {} .

Векторите a i size 12{ {a rSub { size 8{i} } } cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се нарекуваат компоненти на векторот a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} . Ако векторот a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} не може да се напише како линеарна комбинација од векторите a i size 12{ {a rSub { size 8{i} } } cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , односно ако a = i = 1 n λ i a i size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } = Sum cSub {i=1} cSup {n} {λ rSub { size 8{ size 9{i}} } ` {a rSub {i} } cSup { rightarrow } } } {} е можно единствено кога сите скалари λ i size 12{λ rSub { size 8{i} } } {} = 0, тогаш векторите a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и a i size 12{ {a rSub { size 8{i} } } cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се линеарно независни .

Дефиниција . Вектор со интензитет еднаков на 1 се нарекува единичен вектор .

Единичен вектор кој има ист правец и насока со векторот a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се нарекува негов единичен вектор, се означува со a 0 size 12{ {a rSub { size 8{0} } } cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и се определува со релацијата

a 0 = a a size 12{ {a rSub { size 8{0} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = { { {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } over { \lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline } } } {} .

Дефиниција . Вектори кои лежат на иста права или на паралелни прави се нарекуваат колинеарни вектори .

Два колинеарни вектора a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се запишуваат како a = λ b size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } =λ` {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , (λ ≠ 0, λ R size 12{λ in R} {} ).

Questions & Answers

do you think it's worthwhile in the long term to study the effects and possibilities of nanotechnology on viral treatment?
Damian Reply
absolutely yes
Daniel
how to know photocatalytic properties of tio2 nanoparticles...what to do now
Akash Reply
it is a goid question and i want to know the answer as well
Maciej
characteristics of micro business
Abigail
Do somebody tell me a best nano engineering book for beginners?
s. Reply
what is fullerene does it is used to make bukky balls
Devang Reply
are you nano engineer ?
s.
fullerene is a bucky ball aka Carbon 60 molecule. It was name by the architect Fuller. He design the geodesic dome. it resembles a soccer ball.
Tarell
what is the actual application of fullerenes nowadays?
Damian
That is a great question Damian. best way to answer that question is to Google it. there are hundreds of applications for buck minister fullerenes, from medical to aerospace. you can also find plenty of research papers that will give you great detail on the potential applications of fullerenes.
Tarell
what is the Synthesis, properties,and applications of carbon nano chemistry
Abhijith Reply
Mostly, they use nano carbon for electronics and for materials to be strengthened.
Virgil
is Bucky paper clear?
CYNTHIA
so some one know about replacing silicon atom with phosphorous in semiconductors device?
s. Reply
Yeah, it is a pain to say the least. You basically have to heat the substarte up to around 1000 degrees celcius then pass phosphene gas over top of it, which is explosive and toxic by the way, under very low pressure.
Harper
Do you know which machine is used to that process?
s.
how to fabricate graphene ink ?
SUYASH Reply
for screen printed electrodes ?
SUYASH
What is lattice structure?
s. Reply
of graphene you mean?
Ebrahim
or in general
Ebrahim
in general
s.
Graphene has a hexagonal structure
tahir
On having this app for quite a bit time, Haven't realised there's a chat room in it.
Cied
what is biological synthesis of nanoparticles
Sanket Reply
what's the easiest and fastest way to the synthesize AgNP?
Damian Reply
China
Cied
types of nano material
abeetha Reply
I start with an easy one. carbon nanotubes woven into a long filament like a string
Porter
many many of nanotubes
Porter
what is the k.e before it land
Yasmin
what is the function of carbon nanotubes?
Cesar
I'm interested in nanotube
Uday
what is nanomaterials​ and their applications of sensors.
Ramkumar Reply
what is nano technology
Sravani Reply
what is system testing?
AMJAD
preparation of nanomaterial
Victor Reply
Yes, Nanotechnology has a very fast field of applications and their is always something new to do with it...
Himanshu Reply
good afternoon madam
AMJAD
what is system testing
AMJAD
what is the application of nanotechnology?
Stotaw
In this morden time nanotechnology used in many field . 1-Electronics-manufacturad IC ,RAM,MRAM,solar panel etc 2-Helth and Medical-Nanomedicine,Drug Dilivery for cancer treatment etc 3- Atomobile -MEMS, Coating on car etc. and may other field for details you can check at Google
Azam
anybody can imagine what will be happen after 100 years from now in nano tech world
Prasenjit
after 100 year this will be not nanotechnology maybe this technology name will be change . maybe aftet 100 year . we work on electron lable practically about its properties and behaviour by the different instruments
Azam
name doesn't matter , whatever it will be change... I'm taking about effect on circumstances of the microscopic world
Prasenjit
how hard could it be to apply nanotechnology against viral infections such HIV or Ebola?
Damian
silver nanoparticles could handle the job?
Damian
not now but maybe in future only AgNP maybe any other nanomaterials
Azam
Hello
Uday
I'm interested in Nanotube
Uday
this technology will not going on for the long time , so I'm thinking about femtotechnology 10^-15
Prasenjit
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
Berger describes sociologists as concerned with
Mueller Reply
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
QuizOver.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Векторска алгебра. OpenStax CNX. Mar 11, 2009 Download for free at http://cnx.org/content/col10672/1.3
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Векторска алгебра' conversation and receive update notifications?

Ask