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Los sistemas discretos permiten los procesos matemáticos como lo es la ecuación diferencial.

Una señal discreta s n es retrasada por n 0 muestras, cuando se escribe s n n 0 , con n 0 0 . Optamos por que n 0 tenga avances negativos sobre los números enteros. Opuesto a los retrasos análogos , los retrasos discretos en el tiempo solo pueden tener el valor de números enteros. En el dominio de la frecuencia, el retraso de la señal corresponde a un desplazamiento linear en el ángulo de la señal discreta de la Transformada de Fourier s n n 0 2 f n 0 S 2 f .

Un sistema lineal discreto tiene propiedades de superposición:

S a 1 x 1 n a 2 x 2 n a 1 S x 1 n a 2 S x 2 n
Un sistema discreto es llamado invariante al desplazamiento ( análogo a los sistemas de tiempo invariante ) si el retraso en la entrada ocurre en la salida.

Si S x n y n , entonces

S x n n 0 y n n 0
Nosotros usamos el término invariante al desplazamiento para enfatizar que el retraso puede ocurrir solo en los números enteros del sistema discreto, mientras tanto en las señales análogas, los retrasos pueden ser valores arbitrarios.

Nosotros queremos concentrarnos en sistemas que son lineales e invariantes al desplazamiento. Esto será lo que nos permitirá tener todo el control en el análisis del dominio de la frecuencia y el control de su implementación. Por que no tenemos una conexión física en la “construcción”del sistema, necesitamos solamente tener especificaciones matemáticas. En los sistemas análogos, las ecuaciones diferenciales especifican la entrada y la salida del dominio del tiempo. La correspondiente especificación discreta esta dada en una ecuación diferencial :

y n a 1 y n 1 a p y n p b 0 x n b 1 x n 1 b q x n q
La salida de la señal y n es relacionada a sus valores pasados por medio de y n l , l 1 p , a los valores actuales y a los valores pasados de la entrada de la señal se representan por medio de x n .Las características del sistema son determinadas por la elección de cuantos números tendran los coeficientes p y q el valor de los coeficientes a 1 a p y b 0 b 1 b q .
Hay una asimetría en los coeficientes: ¿Cuándo es a 0 ? Estos coeficientes multiplicaran el término y n en [link] . Nosotros dividiremos la ecuación por ella, lo cual no cambiara la relación de salida-entrada. Hemos creado la siguiente convención: a 0 es siempre uno.

Al contrario de una ecuación diferencial que solo provee una descripción implícita de un sistema (nosotros debemos resolver la ecuación diferencial), las ecuaciones diferenciales proveen una manera explicita de resolverlas; calculando las salidas para cada entrada. Nosotros simplemente expresaremos las ecuaciones diferenciales con un programa que calcula cada salida usando valores previos, las corrientes del sistema y las entradas previas.

Las ecuaciones diferenciales son usualmente expresadas en el software con iteraciones de "for" . El programa de MATLAB da información de los primeros 1000 valores formados por medio de las salidas.

for n=1:1000 y(n) = sum(a.*y(n-1:-1:n-p)) + sum(b.*x(n:-1:n-q));end

Un detalle importante emerge cuando nosotros consideramos hacer que este programa funcione; de hecho, como esta escrito tiene (por lo menos) dos errores. ¿Qué valores de entrada y salida se pueden usar para calcular y 1 ? Nosotros necesitamos valores para y 0 , y -1 , ..., valores que no tenemos aun. Para calcular estos valores necesitaremos valores previos. La manera de salir de este problema es especificar las condiciones iniciales : debemos proveer p los valores de la salida que ocurren antes que las entradas iniciales. Estos valores pueden ser arbitrarios, la decisión impacta el como responde el sistema con las entradas. Una decisión ocasiona un sistema lineal: Hacer la condición inicial cero. La razón se encuentra en la definición de un sistema lineal : La única manera que las salidas de las suma pueda ser la suma de la salida individual ocurre cuando la condición inicial en cada caso es cero.

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Source:  OpenStax, Señales y sistemas. OpenStax CNX. Sep 28, 2006 Download for free at http://cnx.org/content/col10373/1.2
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