<< Chapter < Page Chapter >> Page >

Wanneer die lengte van een van die sye vermenigvuldig word met ʼn konstante, is dit soos om dieoorspronklike volume met die derdemag van dieselfde konstante te vermenigvuldig. Sien die voorbeeld in [link] .

Right piramides, regte kegels (keëls / konusse), sfere

ʼn Piramide is ʼn soliede geometriese figuur met ʼn poligoonbasis wat verbind is aan die toppunt waar die syvlakke ontmoet. Twee voorbeelde van piramides word getoon in die linkerkantste en middelste figure in [link] . Die regterkantste figuur het ʼn toppunt wat verbind is aan die sirkelvormige basis en hierdie tipe soliede geometriese figuur word ʼn kegel genoem. Kegels is soortgelyk aan piramides behalwe dat hulle basisse sirkels is in plaas van poligone.

Voorbeelde van ʼn vierkantige piramide, ʼn driehoekige piramide en ʼn kegel

Oppervlakarea van ʼn Piramide

Khan akademie video oor die volume van soliede geometriese figure

Die oppervlakarea van ʼn piramide word bereken deur die areas van die onderskeie vlakke bymekaar te tel.

As ʼn kegel ʼn hoogte het van h en ʼn basis met radius r , toon dat die oppervlakarea gegee word deur π r 2 + π r r 2 + h 2 .

  1. Die kegel het twee vlakke: die basis en die wand. Die basis is ʼn sirkel met radius r en die wand kan ontvou word tot ʼn sektor van ʼn sirkel.

    Die geboë vlak kan opgesny word in ʼn klomp smal driehoekies waarvan die hoogte, wat byna gelyk is aan a , die skuinshoogte genoem word. Die som van die areas van hierdie driehoekies is 1 2 × basis × hoogte (van ʼn klein driehoekie) = 1 2 × 2 π r × a = π r a

  2. a kan bereken word met die Stelling van Pythagoras. Dus:

    a = r 2 + h 2
  3. A b = π r 2
  4. A w = π r a = π r r 2 + h 2
  5. A = A b + A w = π r 2 + π r r 2 + h 2

Volume van ʼn Piramide: Die volume van ʼn piramide word gevind deur:

V = 1 3 A h

waar A die area van die basis is en h die hoogte is.

ʼn Kegel is soos ʼn piramide, daarom word die formule vir die volume van ʼn kegel gegee deur:

V = 1 3 π r 2 h

ʼn Vierkantige piramide se volume:

V = 1 3 a 2 h

waar a die sylengte van die vierkantige basis is.

Wat is die volume van ʼn vierkantige piramide, 3cm hoog met ʼn sylengte van 2cm?

  1. Die volume van ʼn piramide is

    V = 1 3 A h

    waar A die area van die basis en h die hoogte van die piramide is. Vir ʼn vierkantige basis beteken dit

    V = 1 3 a a h

    waar a die sylengte van die vierkantige basas is.

  2. = 1 3 2 2 3 = 1 3 12 = 4 c m 3

Ons aanvaar die volgende formules vir die volume en oppervlakarea (buite-oppervlakte) van ʼn sfeer (bal).

Oppervlakarea = 4 π r 2 Volume = 4 3 π r 3

ʼn Driehoekige piramide word bo-op ʼn driehoekige prisma geplaas. Die prisma het ʼn gelyksydige driehoek met ʼn sylengte van 20 cm as basis en ʼn hoogte van 42 cm. Die piramide is 12 cm hoog.

  1. Vind die totale volume van die voorwerp.
  2. Vind die area van elke vlak van die piramide.
  3. Vind die totale oppervlakarea van die voorwerp.

  1. Ons gebruik die formule vir die volume van ʼn reghoekige prisma:
    V = 1 2 b h 2 = 1 2 20 42 2 = 17640
  2. Ons gebruik die formule vir die volume van ʼn driehoekige piramide:
    V = 1 6 b h 2 = 1 6 20 42 2 = 5880
  3. Ons sien dat ons doodeenvoudig die volumes van elk van die twee soliede liggame kan bymekaartel. Dan kry ons: 17640 + 5880 = 23520 . Dit is die antwoord van a.
  4. Ons sien daar is vier driehoeke wat die piramide uitmaak. Dus die area van elke vlak is:
    Area = 1 2 b h = 1 2 20 42 = 420
    Dit is die antwoord van vraag b.
  5. Die totale area is 4 × 420 = 1680
  6. Die oppervlakarea van die prisma is:
    Oppervlakarea = b × h + 2 × H × S + H × b = 20 × 20 + 2 × 12 × 20 + 12 × 20 = 1120
  7. Om die totale oppervlakarea te bereken, moet ons die area van een vlak (die basis) van die piramide aftrek van die oppervlakarea van die prisma. Dit gee die totale oppervlakarea as: 1120 - 420 + 1680 - 420 = 1960 Dit is die antwoord van vraag c.

Oppervlakarea en volume

  1. Bereken die volumes en oppervlakareas van die volgende soliede liggame: (*Wenk vir (e): vind die loodregte hoogte met behulp van die Stelling van Pythagoras.)
  2. Water bedek ongeveer 71% van die aardoppervlakte. As die benaderde radius van die aarde 6378 km is, wat is die totale landoppervlakte (d.w.s. land wat nie bedek is met water nie)?

Get Jobilize Job Search Mobile App in your pocket Now!

Get it on Google Play Download on the App Store Now




Source:  OpenStax, Siyavula textbooks: wiskunde (graad 10) [caps]. OpenStax CNX. Aug 04, 2011 Download for free at http://cnx.org/content/col11328/1.4
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Siyavula textbooks: wiskunde (graad 10) [caps]' conversation and receive update notifications?

Ask