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Este módulo deriva la series de Fourier en tiempo discreto (DTFS), las cuales son un tipo de expansión de fourier para funciones periodicas y discretas en el tiempo. El módulo también da un repaso a las senosoidales complejas las cuales sirven como bases.


Para este momento usted debería estar familiarizado con la derivación de la series de Fourier de tiempo continuo, funciones periódicas . Esta derivación nos lleva a las siguientes ecuaciones las cuales usted debería conocer:

f t n n c n ω 0 n t
c n 1 T t n f t ω 0 n t 1 T f ω 0 n t
donde c n nos dice la cantidad de frecuencia en ω 0 n in f t .

En este módulo derivaremos una expansión similar para funciones periódicas y discretas en el tiempo. Al hacerlo, nosotros derivaremos las series de Fourier discretas en el tiempo (DTFS), también conocidas como trasformadas discretas de Fourier (DFT).

Derivación del dtfs

Así como en la función periódica continua en el tiempo puede ser vista como una función en el intervalo 0 T

Función periódica
Función en el intervalo 0 T
Solo consideraremos un intervalo para la función periódica en esta sección.

Una señal periódica discreta en el tiempo (con periodo N ) se puede ver como un conjunto de números finitos. Por ejemplo, digamos que tenemos el siguiente conjunto de números que describe una señal discreta, donde N 4 : 3 2 -2 1 3 ;Podemos representar esta señal como una señal periódica o como un intervalo simple de la siguiente forma:

Función periódica
Funcion en el intervalo 0 T
Aquí nada mas observamos un periodo de la señal que tiene un vector de tamaño cuatro y esta contenida en 4 .

El conjunto de señales de tiempo discreto con periodo N es igual a N .
Tal como en el caso continuo, formaremos una base usando senosoidales armónicos . Antes de esto, es necesario ver las senosoidales complejas discretas con mas detalle.

Senosoidales complejos

Si usted esta familiarizado con la señal senosoidal básica y con los exponenciales complejos entonces usted no tendrá ningún problema para entender esta sección. En todos los libros, usted verá que la senosoidal compleja discreta se escribe así: ω n

Senosoidal compleja con frecuencia ω 0
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Senosoidal compleja con frecuencia ω 4
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En el plano complejo

Nuestra senosoidal compleja se puede graficar en nuestro plano complejo , el cual nos permite visualizar fácilmente los cambios de la senosoidal compleja y extraer algunas propiedades. El valor absoluto de nuestra senosoidal compleja tiene las siguientes características:

n n ω n 1
El cual nos dice que nuestra senosoidal compleja únicamente toma valores que se encuentran en el círculo unitario. Con respecto al ángulo, la siguiente afirmación es verdadera:
ω n w n

Cuando n incrementa, podemos ver ω n igualando los valores que obtenemos al movernos en contra de las manecillas del reloj alrededor del círculo unitario. Observe las siguiente figuras para una mejor ilustración:

n 0
n 1
n 2
Estas imágenes muestran que cuando n incrementa, el valor de ω n se mueve en contra de las manecillas del reloj alrededor del círculo unitario.

Para que ω n sea periódica , necesitamos que ω N 1 para algún N .

Nuestro primer ejemplo nos permite ver una señal periódica donde ω 2 7 y N 7 .

N 7
Aquí tenemos una grafíca de 2 7 n .
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Ahora observemos los resultados de graficar una señal no periódica donde ω 1 y N 7 .

N 7
Aquí tenemos una gráfica de n .
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Questions & Answers

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Source:  OpenStax, Señales y sistemas. OpenStax CNX. Sep 28, 2006 Download for free at http://cnx.org/content/col10373/1.2
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