5.4 Generalidades de eigenvectores y eigenvalores

La matriz y sus eigenvectores

La razón por la cual estamos recalcando la importancia de los eigenvectores es por que la acción de una matriz $A$ en uno de sus eigenvectores $v$ es

• Extremadamente fácil (y rápido) de calcular
  $Av=\lambda v$
  solo multiplicar $v$ por $\lambda$ .
• fácil de interpretar: $A$ solo escala $v$ , manteniendo su dirección constante y solo altera la longitud del vector.

Usando el espacio generado por los eigenvectores

Claro que no todos los vectores pero para ciertas matrices (incluidas aquellas con eigenvalores $\lambda$ 's), cuyos eigenvectores generan el subespacio $\mathbb{C}^n$ , lo que significa que para cada $x\in \mathbb{C}^n$ , podemos encontrar $\{{\alpha }_1, {\alpha }_2, {\alpha }_n\}()\in \mathbb{C}$ tal que:

$$x=\sum {\alpha }_i{v}_i$$ $$b=\sum {\alpha }_i{\lambda }_i{v}_i$$ El sistema LTI representado anteriormente representa nuestra . La siguiente es una ilustración de los paso para ir de $x$ a $b$ . $$x\to (\alpha =V^{-1}x)()\to (\Lambda V^{-1}x)()\to (V\Lambda V^{-1}x=b)$$ Donde los tres pasos (las flechas) de la ilustración anterior representan las siguientes tres operaciones:

• Transformar $x$ usando $V^{-1}$ - nos da $\alpha$
• Acción de $A$ en una nueva base- una multiplicación por $\Lambda$
• Regresar a la antigua base- transformada inversa usando la multiplicación por $V$ , lo que nos da $b$