5.1 Trig identiteite

Trigonometriese identiteite

Afleiding van waardes vir trigonometriese funksies vir : ${30}^{\circ }$ , ${45}^{\circ }$ And ${60}^{\circ }$

Hou in gedagte dat die trigonometriese funksies slegs van toepassing is op reghoekige driehoeke. Dus kan ons waardes aflei vir trigonometriese funksies vir ${30}^{\circ }$ , ${45}^{\circ }$ en ${60}^{\circ }$ . Ons sal begin met ${45}^{\circ }$ omdat dit die maklikste is

Neem enige reghoekige driehoek met een hoek ${45}^{\circ }$ . Dus omdat een hoek gelyk is aan ${90}^{\circ }$ , moet die derde hoek ook gelyk wees aan ${45}^{\circ }$ . Ons het dus 'n gelyksydige reghoekige driehoek soos aan gedui in [link] .

As die twee sye gelyk is in lengte aan $a$ , dan kan die skuinssy $h$ , soos volg bereken word:

Dus het ons:

Ons kan iets soortgelyks probeer vir ${30}^{\circ }$ en ${60}^{\circ }$ . Ons begin met 'n gelyksydige driehoek en halveer een hoek soos aangedui in [link] . Dit gee ons die verlangde reghoekige driehoek met een hoek gelyk aan ${30}^{\circ }$ en een hoek gelyk aan ${60}^{\circ }$ .

As die gelyke sye se lengte gelyk is aan $a$ , dan is die basis gelyk aan $\frac{1}{2}a$ en die lengte van die vertikale sy $v$ kan dan soos volg bereken word:

Dus het ons:

Jy hoef nie hierdie identiteite te memoriseer nie as jy weet hoe om hulle af te lei.

Twee bruikbare driehoeke om te onthou.

Alternatiewe definisie vir $tan\theta$

Ons weet dat $tan\theta$ soos volg gedefinieer word: $tan\theta =\frac{\mathrm{teenoorstaande}}{\mathrm{aanliggende}}$ Dit kan soos volg geskryf word:

Maar ons weet ook dat $sin\theta$ soos volg gedefinieer word: $sin\theta =\frac{\mathrm{teenoorstaande}}{\mathrm{skuinssy}}$ en dat $cos\theta$ soos volg gedefinieer word: $cos\theta =\frac{\mathrm{aanliggende}}{\mathrm{skuinssy}}$

Daarom kan ons dit soos volg skryf:

'n trignometriese identiteit

Een van die mees bruikbare resultate van die trigonometriese funksies is dat hulle verwant aan mekaar is. Ons het gesien dat $tan\theta$ geskryf kan word in terme van $sin\theta$ en $cos\theta$ . Net so sal ons wys dat: ${sin}^2\theta +{cos}^2\theta =1$

Ons begin deur te kyk na $▵ABC$ ,

Ons sien dat: $sin\theta =\frac{AC}{BC}$ en $cos\theta =\frac{AB}{BC}.$

Volgens die stelling van Pythagoras weet ons dat: $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2.$

Daarom kan ons die volgende neerskryf:

Trigonometriese identiteite

1. Vereenvoudig die volgende met behulp van die basiese trigonometriese identiteite:
   1. $\frac{cos\theta }{tan\theta }$
   2. ${cos}^2\theta .{tan}^2\theta +{tan}^2\theta .{sin}^2\theta$
   3. $1-{tan}^2\theta .{sin}^2\theta$
   4. $1-sin\theta .cos\theta .tan\theta$
   5. $1-{sin}^2\theta$
   6. $\left(\frac{1-{cos}^2\theta }{{cos}^2\theta }\right)-{cos}^2\theta$
2. Bewys die volgende:
   1. $\frac{1+sin\theta }{cos\theta }=\frac{cos\theta }{1-sin\theta }$
   2. ${sin}^2\theta +(cos\theta -tan\theta )(cos\theta +tan\theta )=1-{tan}^2\theta$
   3. $\frac{(2{cos}^2\theta -1)}{1}+\frac{1}{(1+{tan}^2\theta )}=\frac{1-{tan}^2\theta }{1+{tan}^2\theta }$
   4. $\frac{1}{cos\theta }-\frac{cos\theta {tan}^2\theta }{1}=1$
   5. $\frac{2sin\theta cos\theta }{sin\theta +cos\theta }=sin\theta +cos\theta -\frac{1}{sin\theta +cos\theta }$
   6. $\left(\frac{cos\theta }{sin\theta },+,tan,\theta \right)·cos\theta =\frac{1}{sin\theta }$