<< Chapter < Page Chapter >> Page >

2. хомогена диференцијална равенка

Ако за функцијата f ( x , y ) size 12{f \( x,y \) } {} важи

f ( tx , ty ) = t n f ( x , y ) size 12{f \( ital "tx", ital "ty" \) =t rSup { size 8{n} } f \( x,y \) } {} ,

таа се нарекува хомогена од n -ти ред.

Диференцијалната равенка од обликот

M ( x , y ) dx + N ( x , y ) dy = 0 size 12{M \( x,y \) ital "dx"+N \( x,y \) ital "dy"=0} {}

се нарекува хомогена диференцијална равенка ако функциите M ( x , y ) size 12{M \( x,y \) } {} и N ( x , y ) size 12{N \( x,y \) } {} се хомогени функции од ист ред. Хомогеноста на функциите кои се јавуваат во диференцијалната равенка овозможува таа да се запише во облик

dy dx = f y x . size 12{ { { ital "dy"} over { ital "dx"} } =f left ( { {y} over {x} } right ) "." } {}

Со воведување на смената

y x = z size 12{ { {y} over {x} } =z} {}

односно

y = zx size 12{y= ital "zx"} {}

и со нејзино диференцирање се добива

y ' = z ' x + z size 12{ { {y}} sup { ' }= { {z}} sup { ' }x+z} {}

или

dy dx = x dz dx + z size 12{ { { ital "dy"} over { ital "dx"} } =x { { ital "dz"} over { ital "dx"} } +z} {}

и по заменување во хомогената диференцијална равнка, се добива диференцијална равенка од облик

z ' x = f ( z ) z , size 12{ { {z}} sup { ' }x=f \( z \) - z,} {}

што укажува дека променливите во вака добиената диференцијална равенка може да се раздвојат.

Притоа:

  • Ако f ( z ) z 0 size 12{f \( z \) - z<>0} {} нејзиното решение е

dz f ( z ) z = dx x + ln C , size 12{ Int { { { ital "dz"} over {f \( z \) - z} } } = Int { { { ital "dx"} over {x} } } +"ln"C,} {}

  • ако f ( z ) = z size 12{f \( z \) =z} {} нејзиното решение е

dy y = dx x + ln C size 12{ Int { { { ital "dy"} over {y} } } = Int { { { ital "dx"} over {x} } } +"ln"C} {}

односно

y = Cx . size 12{y= ital "Cx" "." } {}

Пример 3.

Да се најде општото решение на диференцијалната равенка y 2 + x 2 y ' = xy y ' . size 12{y rSup { size 8{2} } +x rSup { size 8{2} } { {y}} sup { ' }= ital "xy {" ital {y}} sup { ' } "." } {}

РЕШЕНИЕ.

Оваа диференцијална равенка е хомогена од втор ред бидејки ако ја решиме по изводот се добива

y ' = y 2 xy x 2 , size 12{ { {y}} sup { ' }= { {y rSup { size 8{2} } } over { ital "xy" - x rSup { size 8{2} } } } ,} {}

а по делење на изразот од десната страна (и броителот и именителот) со x 2 size 12{x rSup { size 8{2} } } {} се добива

y ' = y x 2 y x 1 . size 12{ { {y}} sup { ' }= { { left ( { {y} over {x} } right ) rSup { size 8{2} } } over { { {y} over {x} } - 1} } "." } {}

Со воведување на смената y = zx size 12{y= ital "zx"} {} и нејзиниот извод y ' = z ' x + z size 12{ { {y}} sup { ' }= { {z}} sup { ' }x+z} {} , таа се трансформира во диференцијална равенка од обликот

z ' x + z = z 2 z 1 , size 12{ { {z}} sup { ' }x+z= { {z rSup { size 8{2} } } over {z - 1} } ,} {}

во која променливите се раздвојуваат

z 1 z dz = 1 x dx . size 12{ { {z - 1} over {z} } ital "dz"= { {1} over {x} } ital "dx" "." } {}

Решението на оваа равенка се добива по интегрирање

z 1 z dz = 1 x dx + ln C size 12{ Int { { {z - 1} over {z} } ital "dz"} = Int { { {1} over {x} } ital "dx"} +"ln"C} {} ,

и тоа е

z ln z = ln x + ln C size 12{z - "ln" \lline z \lline ="ln" \lline x \lline +"ln"C} {} ,

односно

z = ln ( Cxz ) size 12{z="ln" \( ital "Cxz" \) } {} .

Со враќање на старата променлива x преку смената y x = z size 12{ { {y} over {x} } =z} {} , општото решение е

Cy = e y x . size 12{ ital "Cy"=e rSup { size 8{ { {y} over {x} } } } "." } {}

Пример 4.

Да се најде партикуларното решение на диференцијалната равенка

( x y ' y ) arctg y x = x , size 12{ \( x { {y}} sup { ' } - y \) "arctg" { {y} over {x} } =x,} {} кое има вредност y = 0 size 12{y=0} {} за x = 1 . size 12{x=1 "." } {}

РЕШЕНИЕ:

Најпрво се бара општото решение на диференцијалната равенка. Таа е хомогена диференцијална равенка од прв ред бидејќи може да се запише во обликот

dy dx = 1 arctg y x + y x . size 12{ { { ital "dy"} over { ital "dx"} } = { {1} over {"arctg" { {y} over {x} } } } + { {y} over {x} } "." } {}

Со користење на смената y x = z size 12{ { {y} over {x} } =z} {} , односно y = zx size 12{y= ital "zx"} {} и изводот y ' = z ' x + z size 12{ { {y}} sup { ' }= { {z}} sup { ' }x+z} {} ,

во диференцијалната рвенка променливите се раздвојуваат бидејќи

z ' x = 1 arctg z . size 12{ { {z}} sup { ' }x= { {1} over {"arctg"`z} } "." } {}

Оваа равенка има општо решение

arctg z dz = dx x + ln C , size 12{ Int {"arctg"`z` ital "dz"} = Int { { { ital "dx"} over {x} } } +"ln"C,} {}

кое по решавање на интегралите е во облик

z arctg z 1 2 ln ( 1 + z 2 ) = ln Cx size 12{z`"arctg"`z - { {1} over {2} } "ln" \( 1+z rSup { size 8{2} } \) ="ln" ital "Cx"} {}

или

y x arctg y x 1 2 ln ( 1 + y x 2 2 ) = ln Cx . size 12{ { {y} over {x} } `"arctg"` { {y} over {x} } - { {1} over {2} } "ln" \( 1+ { {y} over {x rSup { size 8{2} } } } rSup { size 8{2} } \) ="ln" ital "Cx" "." } {}

Партикуларното решение ќе се добие со определување на константата C од почетните услови y = 0 size 12{y=0} {} кога x = 1 size 12{x=1} {} . Со замена на почетните услови во општото решение

1 2 ln 1 = ln C C = 1 size 12{ - { {1} over {2} } "ln"1="ln"C~ drarrow ~C=1} {} .

Значи партикуларното решение е

y x arctg y x 1 2 ln ( 1 + y x 2 2 ) = ln x size 12{ { {y} over {x} } `"arctg"` { {y} over {x} } - { {1} over {2} } "ln" \( 1+ { {y} over {x rSup { size 8{2} } } } rSup { size 8{2} } \) ="ln"x} {}

кое по антилогаритмирање е од обликот

x 2 + y 2 = e y x arctg y x size 12{ sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } =e rSup { size 8{ { {y} over {x} } ital "arctg" { {y} over {x} } } } } {} . ◄

2.1. равенка која се сведува на хомогена диференцијална равенка

Ако диференцијалната равенка е од облик

y ' = f ax + by + c a 1 x + b 1 y + c 1 , size 12{ { {y}} sup { ' }=f left ( { { ital "ax"+ ital "by"+c} over {a rSub { size 8{1} } x+b rSub { size 8{1} } y+c rSub { size 8{1} } } } right ),} {}

со смената

x = u + α , dx = du y = v + β , dy = dv alignl { stack { size 12{x=u+α,~ ital "dx"= ital "du"} {} #size 12{y=v+β,~ ital "dy"= ital "dv"} {} } } {}

каде u , v size 12{u,`v} {} се нови променливи а α , β size 12{α,`β} {} се константи, таа се сведува на

dv du = f au + bv + + + c a 1 u + b 1 v + a 1 α + b 1 β + c 1 size 12{ { { ital "dv"} over { ital "du"} } =f left ( { { ital "au"+ ital "bv"+aα+bβ+c} over {a rSub { size 8{1} } u+b rSub { size 8{1} } v+a rSub { size 8{1} } α+b rSub { size 8{1} } β+c rSub { size 8{1} } } } right )} {} .

Идејата за оваа смена е равенката да се сведе на хомогена и затоа константите α , β size 12{α,`β} {} се определуваат преку системот равенки

+ + c = 0 a 1 α + b 1 β + c 1 = 0 . { size 12{alignl { stack { left lbrace aα+bβ+c=0 {} #right none left lbrace a rSub { size 8{1} } α+b rSub { size 8{1} } β+c rSub { size 8{1} } =0 "." {} # right no } } lbrace } {}

При тоа:

  • Ако детерминантата на овој систем Δ = ab 1 ba 1 0 size 12{Δ= ital "ab" rSub { size 8{1} } - ital "ba" rSub { size 8{1} }<>0} {} еднозначно се определуваат константите α , β size 12{α,`β} {} и равенката се сведува на хомогена диференцијална равенка

dv du = f au + bv a 1 u + b 1 v size 12{ { { ital "dv"} over { ital "du"} } =f left ( { { ital "au"+ ital "bv"} over {a rSub { size 8{1} } u+b rSub { size 8{1} } v} } right )} {}

која може да се реши со постапката за решавање на хомогена диференцијална равенка.

  • Ако детерминантата на системот Δ = ab 1 ba 1 = 0 size 12{Δ= ital "ab" rSub { size 8{1} } - ital "ba" rSub { size 8{1} } =0} {} со смената

Questions & Answers

what is mutation
Janga Reply
what is a cell
Sifune Reply
how is urine form
Sifune
what is antagonism?
mahase Reply
classification of plants, gymnosperm features.
Linsy Reply
what is the features of gymnosperm
Linsy
how many types of solid did we have
Samuel Reply
what is an ionic bond
Samuel
What is Atoms
Daprince Reply
what is fallopian tube
Merolyn
what is bladder
Merolyn
what's bulbourethral gland
Eduek Reply
urine is formed in the nephron of the renal medulla in the kidney. It starts from filtration, then selective reabsorption and finally secretion
onuoha Reply
State the evolution relation and relevance between endoplasmic reticulum and cytoskeleton as it relates to cell.
Jeremiah
what is heart
Konadu Reply
how is urine formed in human
Konadu
how is urine formed in human
Rahma
what is the diference between a cavity and a canal
Pelagie Reply
what is the causative agent of malaria
Diamond
malaria is caused by an insect called mosquito.
Naomi
Malaria is cause by female anopheles mosquito
Isaac
Malaria is caused by plasmodium Female anopheles mosquitoe is d carrier
Olalekan
a canal is more needed in a root but a cavity is a bad effect
Commander
what are pathogens
Don Reply
In biology, a pathogen (Greek: πάθος pathos "suffering", "passion" and -γενής -genēs "producer of") in the oldest and broadest sense, is anything that can produce disease. A pathogen may also be referred to as an infectious agent, or simply a germ. The term pathogen came into use in the 1880s.[1][2
Zainab
A virus
Commander
Definition of respiration
Muhsin Reply
respiration is the process in which we breath in oxygen and breath out carbon dioxide
Achor
how are lungs work
Commander
where does digestion begins
Achiri Reply
in the mouth
EZEKIEL
what are the functions of follicle stimulating harmones?
Rashima Reply
stimulates the follicle to release the mature ovum into the oviduct
Davonte
what are the functions of Endocrine and pituitary gland
Chinaza
endocrine secrete hormone and regulate body process
Achor
while pituitary gland is an example of endocrine system and it's found in the Brain
Achor
what's biology?
Egbodo Reply
Biology is the study of living organisms, divided into many specialized field that cover their morphology, physiology,anatomy, behaviour,origin and distribution.
Lisah
biology is the study of life.
Alfreda
Biology is the study of how living organisms live and survive in a specific environment
Sifune
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
Jobilize.com Reply

Get Jobilize Job Search Mobile App in your pocket Now!

Get it on Google Play Download on the App Store Now




Source:  OpenStax, Математика 2. OpenStax CNX. Feb 03, 2016 Download for free at http://legacy.cnx.org/content/col11378/1.9
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Математика 2' conversation and receive update notifications?

Ask