4.1 Meer produkte

Siyavula textbooks: wiskunde Page 1 / 1

Inleiding

In hierdie hoofstuk sal jy leer hoe om met algebraïese uitdrukkings te werk. Hersiening van vorige faktorisering en vermenigvuldiging van uitdrukkings sal dus nodig wees voordat die nuwe leerstof uitgebrei word vir Graad 10.

Hersiening van vorige werk

Die volgende behoort bekend te wees, maar ons gee 'n paar voorbeelde ter herinnering.

Dele van uitdrukkings

Wiskundige uitdrukkings is soos sinne en elke deel het 'n spesifieke naam. Jy behoort vertroud te wees met die volgende name wat die dele van wiskundige uitdrukkings beskryf.

\begin{matrix} a \cdot x^{k} + b \cdot x + c^{m} = 0 \\ d \cdot y^{p} + e \cdot y + f \leq 0 \end{matrix}

Naam	Voorbeelde (geskei deur kommas)
term	$a \cdot x^{k}$ , $b \cdot x$ , $c^{m}$ , $d \cdot y^{p}$ , $e \cdot y$ , $f$
uitdrukking	$a \cdot x^{k} + b \cdot x + c^{m}$ , $d \cdot y^{p} + e \cdot y + f$
koëffisiënte	$a$ , $b$ , $d$ , $e$
eksponent (of indeks)	$k$ , $p$
grondtal	$x$ , $y$ , $c$
konstante	$a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$
veranderlike	$x$ , $y$
vergelyking	$a \cdot x^{k} + b \cdot x + c^{m} = 0$
ongelykheid	$d \cdot y^{p} + e \cdot y + f \leq 0$
binomiaal	uitdrukking met twee terme
trinomiaal	uitdrukking met drie terme

Produk van twee binomiale

'n Binomiaal is 'n wiskundige uitdrukking met twee terme, soos $(a x + b)$ en $(c x + d)$ . As hierdie twee binomiale vermenigvuldig word, is die volgende die resultaat:

\begin{matrix} (a \cdot x + b) (c \cdot x + d) & = & (a x) (c \cdot x + d) + b (c \cdot x + d) \\ = & (a x) (c x) + (a x) d + b (c x) + b \cdot d \\ = & a x^{2} + x (a d + b c) + b d \end{matrix}

Vind die produk van $(3 x - 2) (5 x + 8)$ .

Vermenigvuldig uit en vereenvoudig
$\begin{matrix} (3 x - 2) (5 x + 8) & = & (3 x) (5 x) + (3 x) (8) + (- 2) (5 x) + (- 2) (8) \\ = & 15 x^{2} + 24 x - 10 x - 16 \\ = & 15 x^{2} + 14 x - 16 \end{matrix}$
.

Die produk van twee identiese binomiale, is bekend as die kwadraat (of vierkant) van binomiale en word geskryf as:

{(a x + b)}^{2} = a^{2} x^{2} + 2 a b x + b^{2}

Gestel die twee terme is $a x + b$ en $a x - b$ , dan is hulle produk:

(a x + b) (a x - b) = a^{2} x^{2} - b^{2}

Dit staan bekend as die verskil van twee kwadrate (of vierkante) .

Faktorisering

Faktorisering is die omgekeerde proses van die uitbreiding van hakies. Byvoorbeeld, as hakies uitgebrei word, word $2 (x + 1)$ geskryf as $2 x + 2$ . Faktorisering sal dus begin met $2 x + 2$ en eindig met $2 (x + 1)$ . In vorige grade het ons gefaktoriseer deur die uithaal van gemeenskaplike faktore en die verskil tussen twee vierkante.

Gemeenskaplike faktore

Faktorisering deur die uithaal van gemeenskaplike faktore, is gebaseer daarop dat daar faktore is wat in al die terme voorkom. Byvoorbeeld, $2 x - 6 x^{2}$ kan as volg gefaktoriseer word:

2 x - 6 x^{2} = 2 x (1 - 3 x)

Ondersoek: gemeenskaplike faktore

Vind die grootste gemene faktore van die volgende pare terme:

(a) $6 y; 18 x$	(b) $12 m n; 8 n$	(c) $3 s t; 4 s u$	(d) $18 k l; 9 k p$	(e) $a b c; a c$
(f) $2 x y; 4 x y z$	(g) $3 u v; 6 u$	(h) $9 x y; 15 x z$	(i) $24 x y z; 16 y z$	(j) $3 m; 45 n$

Verskil van twee kwadrate

Ons het gesien dat:

(a x + b) (a x - b) = a^{2} x^{2} - b^{2}

In [link] dui die = teken aan dat die twee kante altyd gelyk sal wees. Dit beteken dat 'n uitdrukking in die vorm:

a^{2} x^{2} - b^{2}

gefaktoriseer kan word as:

(a x + b) (a x - b)

Dus,

a^{2} x^{2} - b^{2} = (a x + b) (a x - b)

Byvoorbeeld, $x^{2} - 16$ kan geskryf word as $(x^{2} - 4^{2})$ wat die verskil is tussen twee kwadrate. Dus, die faktore van $x^{2} - 16$ is $(x - 4)$ en $(x + 4)$ .

Faktoriseer volledig: $b^{2} y^{5} - 3 a b y^{3}$

Vind die gemene faktore:
$\begin{matrix} b^{2} y^{5} - 3 a b y^{3} & = & b y^{3} (b y^{2} - 3 a) \end{matrix}$

Faktoriseer volledig: $3 a (a - 4) - 7 (a - 4)$

Vind die gemene faktore
$(a - 4)$ is die gemene faktor
$\begin{matrix} 3 a (a - 4) - 7 (a - 4) & = & (a - 4) (3 a - 7) \end{matrix}$

Faktoriseer $5 (a - 2) - b (2 - a)$

Let daarop dat $(2 - a) = - (a - 2)$
$\begin{matrix} 5 (a - 2) - b (2 - a) & = & 5 (a - 2) - [- b (a - 2)] \\ = & 5 (a - 2) + b (a - 2) \\ = & (a - 2) (5 + b) \end{matrix}$

Hersien

Vind die produkte / Verwyder die hakies:

(a) $2 y (y + 4)$	(b) $(y + 5) (y + 2)$	(c) $(y + 2) (2 y + 1)$
(d) $(y + 8) (y + 4)$	(e) $(2 y + 9) (3 y + 1)$	(f) $(3 y - 2) (y + 6)$

Faktoriseer:
1. $2 l + 2 w$
2. $12 x + 32 y$
3. $6 x^{2} + 2 x + 10 x^{3}$
4. $2 x y^{2} + x y^{2} z + 3 x y$
5. $- 2 a b^{2} - 4 a^{2} b$

Faktoriseer volledig:

(a) $7 a + 4$	(b) $20 a - 10$	(c) $18 a b - 3 b c$
(d) $12 k j + 18 k q$	(e) $16 k^{2} - 4 k$	(f) $3 a^{2} + 6 a - 18$
(g) $- 6 a - 24$	(h) $- 2 a b - 8 a$	(i) $24 k j - 16 k^{2} j$
(j) $- a^{2} b - b^{2} a$	(k) $12 k^{2} j + 24 k^{2} j^{2}$	(l) $72 b^{2} q - 18 b^{3} q^{2}$
(m) $4 (y - 3) + k (3 - y)$	(n) $a (a - 1) - 5 (a - 1)$	(o) $b m (b + 4) - 6 m (b + 4)$
(p) $a^{2} (a + 7) + a (a + 7)$	(q) $3 b (b - 4) - 7 (4 - b)$	(r) $a^{2} b^{2} c^{2} - 1$

Meer produkte

Khan akademie video oor die produk van polinoomuitdrukkings

Ons het gesien hoe om twee binomiale te vermenigvuldig in die afdeling "Produk van twee Binomiale" . In hierdie gedeelte, gaan ons leer hoe om 'n binomiaal (uitdrukking met twee terme) met 'n trinomiaal of drieterm (uitdrukking met drie terme) te vermenigvuldig. Gelukkig gebruik ons dieselfde metode as om twee binomiaaluitdrukkings te vermenigvuldiging.

Byvoorbeeld, vermenigvuldig $2 x + 1$ met $x^{2} + 2 x + 1$

\begin{matrix} (2 x + 1) (x^{2} + 2 x + 1) \\ = & 2 x (x^{2} + 2 x + 1) + 1 (x^{2} + 2 x + 1) & (pas distributiewe eienskap toe) \\ = & [2 x (x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x (1)] + [1 (x^{2}) + 1 (2 x) + 1 (1)] \\ = & 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + x^{2} + 2 x + 1 & (brei die hakies uit) \\ = & 2 x^{3} + (4 x^{2} + x^{2}) + (2 x + 2 x) + 1 & (groepeer soortgelyke terme om te vereenvoudig) \\ = & 2 x^{3} + 5 x^{2} + 4 x + 1 & (vereenvoudig om 'n finale antwoord te gee) \end{matrix}

Vermenigvuldiging van binomiaal met trinomiaal

In die vermenigvuldiging van die binomiaal $A + B$ met die trinomiaal $C + D + E$ , is die heel eerste stap om die distributiewe wet toe te pas:

(A + B) (C + D + E) = A (C + D + E) + B (C + D + E)

As jy dit onthou, sal jy nie 'n fout maak nie!

Vermenigvuldig $x - 1$ met $x^{2} - 2 x + 1$

Bepaal wat is gegee en wat word gevra
Twee uitdrukkings word gegee: 'n binomiaal, $x - 1$ , en 'n trinomiaal, $x^{2} - 2 x + 1$ . Ons moet hulle met mekaar vermenigvuldig.
Bepaal hoe om die probleem aan te pak.
Pas die distributiewe wet toe en vereenvoudig daarna.
Los die probleem op
$\begin{matrix} (x - 1) (x^{2} - 2 x + 1) \\ = & x (x^{2} - 2 x + 1) - 1 (x^{2} - 2 x + 1) & (pas die distributiewe wet toe) \\ = & [x (x^{2}) + x (- 2 x) + x (1)] + [- 1 (x^{2}) - 1 (- 2 x) - 1 (1)] \\ = & x^{3} - 2 x^{2} + x - x^{2} + 2 x - 1 & (brei die hakies uit) \\ = & x^{3} + (- 2 x^{2} - x^{2}) + (x + 2 x) - 1 & (groepeer soorgelyke terme saam om te vereenvoudig) \\ = & x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 & (vereenvoudig om die finale antwoord te kry) \end{matrix}$
Skryf die finale antwoord neer
Die produk van $x - 1$ en $x^{2} - 2 x + 1$ is $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ .

Vind die produk van $x + y$ en $x^{2} - x y + y^{2}$ .

Bepaal wat is gegee en wat word gevra
Twee uitdrukkings word gegee: 'n binomiaal, $x + y$ , en 'n trinomiaal, $x^{2} - x y + y^{2}$ . Ons moet hulle met mekaar vermenigvuldig.
Bepaal hoe om die probleem aan te pak
Pas die distributiewe wet toe en vereenvoudig dan verder.
Los die probleem op
$\begin{matrix} (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) \\ = & x (x^{2} - x y + y^{2}) + y (x^{2} - x y + y^{2}) & (pas die distributiewe wet toe) \\ = & [x (x^{2}) + x (- x y) + x (y^{2})] + [y (x^{2}) + y (- x y) + y (y^{2})] \\ = & x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - x y^{2} + y^{3} & (brei die hakies uit) \\ = & x^{3} + (- x^{2} y + y x^{2}) + (x y^{2} - x y^{2}) + y^{3} & (groepeer soortgelyke terme om te vereenvoudig) \\ = & x^{3} + y^{3} & (vereenvoudig om die finale antwoord te kry) \end{matrix}$
Skryf die finale antwoord neer
Die produk van $x + y$ en $x^{2} - x y + y^{2}$ is $x^{3} + y^{3}$ .

Ons het gesien dat:

(x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) = x^{3} + y^{3}

Dit staan bekend as die som van derdemagte .

Ondersoek: verskil van derdemagte

Toon aan dat die verskil van derdemagte ( $x^{3} - y^{3}$ ) gegee word deur die produk van $x - y$ en $x^{2} + x y + y^{2}$ .

Produkte

Vind die produk van:

(a) $(- 2 y^{2} - 4 y + 11) (5 y - 12)$	(b) $(- 11 y + 3) (- 10 y^{2} - 7 y - 9)$
(c) $(4 y^{2} + 12 y + 10) (- 9 y^{2} + 8 y + 2)$	(d) $(7 y^{2} - 6 y - 8) (- 2 y + 2)$
(e) $(10 y^{5} + 3) (- 2 y^{2} - 11 y + 2)$	(f) $(- 12 y - 3) (12 y^{2} - 11 y + 3)$
(g) $(- 10) (2 y^{2} + 8 y + 3)$	(h) $(2 y^{6} + 3 y^{5}) (- 5 y - 12)$
(i) $(6 y^{7} - 8 y^{2} + 7) (- 4 y - 3) (- 6 y^{2} - 7 y - 11)$	(j) $(- 9 y^{2} + 11 y + 2) (8 y^{2} + 6 y - 7)$
(k) $(8 y^{5} + 3 y^{4} + 2 y^{3}) (5 y + 10) (12 y^{2} + 6 y + 6)$	(l) $(- 7 y + 11) (- 12 y + 3)$
(m) $(4 y^{3} + 5 y^{2} - 12 y) (- 12 y - 2) (7 y^{2} - 9 y + 12)$	(n) $(7 y + 3) (7 y^{2} + 3 y + 10)$
(o) $(9) (8 y^{2} - 2 y + 3)$	(p) $(- 12 y + 12) (4 y^{2} - 11 y + 11)$
(q) $(- 6 y^{4} + 11 y^{2} + 3 y) (10 y + 4) (4 y - 4)$	(r) $(- 3 y^{6} - 6 y^{3}) (11 y - 6) (10 y - 10)$
(s) $(- 11 y^{5} + 11 y^{4} + 11) (9 y^{3} - 7 y^{2} - 4 y + 6)$	(t) $(- 3 y + 8) (- 4 y^{3} + 8 y^{2} - 2 y + 12)$

Questions & Answers

what is biology

Hajah Reply

the study of living organisms and their interactions with one another and their environments

AI-Robot

what is biology

Victoria Reply

HOW CAN MAN ORGAN FUNCTION

Alfred Reply

the diagram of the digestive system

Assiatu Reply

allimentary cannel

Ogenrwot

How does twins formed

William Reply

They formed in two ways first when one sperm and one egg are splited by mitosis or two sperm and two eggs join together

Oluwatobi

what is genetics

Josephine Reply

Genetics is the study of heredity

Misack

how does twins formed?

Misack

What is manual

Hassan Reply

discuss biological phenomenon and provide pieces of evidence to show that it was responsible for the formation of eukaryotic organelles

Joseph Reply

what is biology

Yousuf Reply

the study of living organisms and their interactions with one another and their environment.

Wine

discuss the biological phenomenon and provide pieces of evidence to show that it was responsible for the formation of eukaryotic organelles in an essay form

Joseph Reply

what is the blood cells

Shaker Reply

list any five characteristics of the blood cells

Shaker

lack electricity and its more savely than electronic microscope because its naturally by using of light

Abdullahi Reply

advantage of electronic microscope is easily and clearly while disadvantage is dangerous because its electronic. advantage of light microscope is savely and naturally by sun while disadvantage is not easily,means its not sharp and not clear

Abdullahi

cell theory state that every organisms composed of one or more cell,cell is the basic unit of life

Abdullahi

is like gone fail us

DENG

cells is the basic structure and functions of all living things

Ramadan

What is classification

ISCONT Reply

is organisms that are similar into groups called tara

Yamosa

in what situation (s) would be the use of a scanning electron microscope be ideal and why?

Kenna Reply

A scanning electron microscope (SEM) is ideal for situations requiring high-resolution imaging of surfaces. It is commonly used in materials science, biology, and geology to examine the topography and composition of samples at a nanoscale level. SEM is particularly useful for studying fine details,

Hilary

cell is the building block of life.

Condoleezza Reply

Got questions? Join the online conversation and get instant answers!

Jobilize.com Reply

<< Chapter < Page Page > Chapter >>

Read also:

Get Jobilize Job Search Mobile App in your pocket Now!

100% Free Mobile Applications
Receive real-time job alerts and never miss the right job again

Source: OpenStax, Siyavula textbooks: wiskunde (graad 10) [caps]. OpenStax CNX. Aug 04, 2011 Download for free at http://cnx.org/content/col11328/1.4

Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Siyavula textbooks: wiskunde (graad 10) [caps]' conversation and receive update notifications?

Ask

	Power Enigeering types of bearing lubrication By Sam Luong Start Quiz
©flickr: quinn	Neuroanatomy By George Turner Start Quiz
	4 AP Key Terms 04 Tissue Level of Organization By OpenStax Start Key Terms
©flickr:	Anatomy Physiology By Jemekia Weeden Start Quiz
	22 Muscle and Pancreas Bio Path quiz By Brooke Delaney Start Exam
©flickr:	Biology 1 By Jill Zerressen Start Quiz
	NCE Ch 05 Theories in Counseling Helping... By Anh Dao Start Exam
	5 Microeconomics 05 Elasticity By OpenStax Start Flashcards
	10 Neuroanatomy 10 Corticospinal Tract By Stephen Voron Start Quiz
©flickr:	CTE/STEM Technology Literacy Test By Sebastian Sieczko... Start Quiz