2.2 Die kwadratiese formule

Siyavula textbooks: wiskunde Page 1 / 1

Oplossing met die kwadratiese formule

Dit is nie altyd moontlik om 'n kwadratiese vergelyking met faktorisering op te los nie en soms is dit langdradig en ingewikkeld om kwadraatsvoltooiing toe te pas. In sulke gevalle kan jy van die kwadratiese formule gebruik maak, 'n metode wat die antwoorde van enige kwadratiese vergelyking oplewer.

Beskou die algemene vorm van 'n kwadratiese funksie:

f (x) = a x^{2} + b x + c .

Haal die $a$ as gemene faktor uit om te kry:

f (x) = a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}) .

Nou moet ons 'n bietjie speurwerk doen om te bepaal hoe om [link] na 'n volmaakte vierkant met 'n paar oorblywende terme te omskep. Ons weet dat om 'n volmaakte vierkant te hê:

{(m + n)}^{2} = m^{2} + 2 m n + n^{2}

{(m - n)}^{2} = m^{2} - 2 m n + n^{2}

Die sleutel is die middelterm aan die regterkant nl. $2 \times$ die eerste term $\times$ die tweede term aan die linkerkant. Met [link] weet ons die eerste term is $x$ en die tweede term is $\frac{b}{2 a}$ . Dit beteken that die tweede term aan die regterkant is $2 \frac{b}{2 a} x$ . Dus,

{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = x^{2} + 2 \frac{b}{2 a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} .

Nou maak ons gebruik van die feit dat as jy dieselfde hoeveelheid bytel en dan aftrek die uitdrukking dieselfde bly. As ons dus ${(\frac{b}{2 a})}^{2}$ aan die regterkant van [link] optel en aftrek kry ons:

\begin{matrix} f (x) & = & a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}) \\ = & a (x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{c}{a}) \\ = & a ({[x + (\frac{b}{2 a})]}^{2} - {(\frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{c}{a}) \\ = & a ({[x + (\frac{b}{2 a})]}^{2}) + c - \frac{b^{2}}{4 a} \end{matrix}

Ons stel $f (x) = 0$ om die wortels te vind, en verkry die volgende:

a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2}}{4 a} - c

Deel nou deur $a$ en neem die vierkantswortel van beide kante:

x + \frac{b}{2 a} = \pm \sqrt{\frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a}}

Om eindelik vir $x$ op te los impliseer:

\begin{matrix} x & = & - \frac{b}{2 a} \pm \sqrt{\frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a}} \\ = & - \frac{b}{2 a} \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}} \end{matrix}

wat verder vereenvoudig kan word tot:

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Hierdie is die algemene oplossings vir 'n kwadratiese vergelyking. Let daarop dat daar gewoonlik twee oplossings is, maar dat hul nie noodwendig bestaan nie, afhangende van die uitdrukking $b^{2} - 4 a c$ (onder die vierkantswortel) se teken. Hierdie oplossings word ook die wortels van 'n kwadratiese vergelyking genoem.

Vind die wortels van die funksie $f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 7$ .

Bepaal of die vergelyking gefaktoriseer kan word
Die uitdrukking kan nie gefaktoriseer word nie. Die algemene kwadratiese formule sal dus gebruik moet word.
Identifiseer die koëffisiënte in die vergelyking om in die formule te gebruik
Vanuit die vergelyking:

$a = 2$

$b = 3$

$c = - 7$
Pas die kwadratiese formule toe
Skryf altyd eers die formule neer en stel daarna die waardes van $a, b$ en $c$ in.

$\begin{matrix} x & = & \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ = & \frac{- (3) \pm \sqrt{{(3)}^{2} - 4 (2) (- 7)}}{2 (2)} \\ = & \frac{- 3 \pm \sqrt{65}}{4} \\ = & \frac{- 3 \pm \sqrt{65}}{4} \end{matrix}$
Skryf die finale antwoord neer
Die twee wortels van $f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 7$ is $x = \frac{- 3 + \sqrt{65}}{4}$ en $\frac{- 3 - \sqrt{65}}{4}$ .

Vind die oplossings vir die kwadratiese vergelyking $x^{2} - 5 x + 8 = 0$ .

Bepaal of die vergelyking gefaktoriseer kan word
Die uitdrukking kan nie gefaktoriseer word nie. Die algemene kwadratiese formule sal dus gebruik moet word.
Identifiseer die koëffisiënte in die vergelyking om in die formule te gebruik
Vanuit die vergelyking:

$a = 1$

$b = - 5$

$c = 8$
Pas die kwadratiese formule toe
$\begin{matrix} x & = & \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ = & \frac{- (- 5) \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 (1) (8)}}{2 (1)} \\ = & \frac{5 \pm \sqrt{- 7}}{2} \end{matrix}$
Skryf die finale antwoord neer
Aangesien die uitdrukking onder die vierkantswortel negatief is sal hierdie oplossings nie-reëel wees ( $\sqrt{- 7}$ is nie 'n reële getal nie). Daarom is daar geen reële oplossings vir die kwadratiese vergelyking $x^{2} - 5 x + 8 = 0$ nie. Dit beteken dat die grafiek van die funksie $f (x) = x^{2} - 5 x + 8$ geen $x$ -afsnitte het nie, maar dat die hele grafiek bokant die $x$ -as lê.

Khan academy video on quadratic equations - 2

Oplossing met die kwadratiese formule

Los op vir $t$ deur gebruik te maak van die kwadratiese formule.

$3 t^{2} + t - 4 = 0$
$t^{2} - 5 t + 9 = 0$
$2 t^{2} + 6 t + 5 = 0$
$4 t^{2} + 2 t + 2 = 0$
$- 3 t^{2} + 5 t - 8 = 0$
$- 5 t^{2} + 3 t - 3 = 0$
$t^{2} - 4 t + 2 = 0$
$9 t^{2} - 7 t - 9 = 0$
$2 t^{2} + 3 t + 2 = 0$
$t^{2} + t + 1 = 0$

In al die behandelde voorbeelde is die antwoorde in wortelvorm gelaat, alhoewel dit ook in desimale vorm geskryf kan word met behulp van 'n sakrekenaar. In 'n toets of eksamen, let op die vraag se instruksies of die antwoord in wortelvorm of 'n sekere aantal desimale syfers verlang word.
Kwadraatsvoltooiing word slegs as oplossingsmetode gebruik wanneer indien spesifiek daarvoor gevra word.

Gemenge oefeninge

Los die kwadratiese vergelykings op deur van faktorisering, kwadraatsvoltooiing of die kwadratiese formule gebruik te maak:

Probeer altyd om eers die trinomiaal te faktoriseer en, indien nie moontlik nie, gebruik die formule.
Los sommige probleme met behulp van kwadraatsvoltooiing op en vergelyk dan jou antwoorde met díe wat met ander metodes verkry is.

1. $24 y^{2} + 61 y - 8 = 0$	2. $- 8 y^{2} - 16 y + 42 = 0$	3. $- 9 y^{2} + 24 y - 12 = 0$
4. $- 5 y^{2} + 0 y + 5 = 0$	5. $- 3 y^{2} + 15 y - 12 = 0$	6. $49 y^{2} + 0 y - 25 = 0$
7. $- 12 y^{2} + 66 y - 72 = 0$	8. $- 40 y^{2} + 58 y - 12 = 0$	9. $- 24 y^{2} + 37 y + 72 = 0$
10. $6 y^{2} + 7 y - 24 = 0$	11. $2 y^{2} - 5 y - 3 = 0$	12. $- 18 y^{2} - 55 y - 25 = 0$
13. $- 25 y^{2} + 25 y - 4 = 0$	14. $- 32 y^{2} + 24 y + 8 = 0$	15. $9 y^{2} - 13 y - 10 = 0$
16. $35 y^{2} - 8 y - 3 = 0$	17. $- 81 y^{2} - 99 y - 18 = 0$	18. $14 y^{2} - 81 y + 81 = 0$
19. $- 4 y^{2} - 41 y - 45 = 0$	20. $16 y^{2} + 20 y - 36 = 0$	21. $42 y^{2} + 104 y + 64 = 0$
22. $9 y^{2} - 76 y + 32 = 0$	23. $- 54 y^{2} + 21 y + 3 = 0$	24. $36 y^{2} + 44 y + 8 = 0$
25. $64 y^{2} + 96 y + 36 = 0$	26. $12 y^{2} - 22 y - 14 = 0$	27. $16 y^{2} + 0 y - 81 = 0$
28. $3 y^{2} + 10 y - 48 = 0$	29. $- 4 y^{2} + 8 y - 3 = 0$	30. $- 5 y^{2} - 26 y + 63 = 0$
31. $x^{2} - 70 = 11$	32. $2 x^{2} - 30 = 2$	33. $x^{2} - 16 = 2 - x^{2}$
34. $2 y^{2} - 98 = 0$	35. $5 y^{2} - 10 = 115$	36. $5 y^{2} - 5 = 19 - y^{2}$

<< Chapter < Page Page > Chapter >>

Read also:

Get Jobilize Job Search Mobile App in your pocket Now!

100% Free Mobile Applications
Receive real-time job alerts and never miss the right job again

Source: OpenStax, Siyavula textbooks: wiskunde (graad 11). OpenStax CNX. Sep 20, 2011 Download for free at http://cnx.org/content/col11339/1.4

Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Siyavula textbooks: wiskunde (graad 11)' conversation and receive update notifications?

Ask

	Fluid Mechanics MCQ By Stephanie Redfern Start Quiz
©flickr: anjelkam	Art By Caitlyn Gobble Start Exam
©flickr: quinn	Neuroanatomy By George Turner Start Quiz
	Computer Skills Literacy MCQ By LaToya Trowers Start Quiz
	Worldport Outside By Rachel Carlisle Start Quiz
	10 Physiotherapy Modalities-Thermo By Rhodes Start Quiz
	36 Biology 36 Sensory Systems MCQ By OpenStax Start Quiz
	Who Said This Quote Quiz By Yasser Ibrahim Start Quiz
	23 Biology 23 Protists MCQ By OpenStax Start Quiz
	Negotiations Conflict Management BUS403 By Charles Jumper Start Quiz