0.9 10. codificación de canal: código hamming y código convolucional  (Page 2/3)

En total se grafican las 8 posibles combinaciones de palabras código y los puntos azules representan el código de repetición. La distancia que separa dos puntos cualesquiera se reconoce como la distancia Hamming, que está relacionada con el poder de control de errores del código (Fortaleza del código) y se define como el número de elementos diferentes entre dos puntos. Por ejemplo:

La distancia mínima de un código en particular es la distancia Hamming más pequeña entre dos vectores de código válidos . De esta forma, la detección de errores es posible siempre que se cumpla que el número de errores de transmisión en una palabra código sea menor a d _mín , por lo que la palabra errada no es un vector válido. Si es mayor o igual, la palabra errada puede corresponder a un vector válido y el error no podría ser detectado.

La capacidad de corrección y detección de un código se define como:

Para el ejemplo desarrollado, dmín= 3, por lo que el código de repetición es capaz de corregir hasta 1 error por palabra y detectar hasta 2 errores. Evidentemente, la fortaleza del código depende del número de bits que se le agregan al mensaje original. La distancia mínima de una codificación por bloque (repetición) se define como:

Codificación fec

Un sistema FEC puede expresarse gráficamente como:

Los bits de entrada llegan con una tasa de r _b . El codificador toma bloques de k bits del mensaje y construye un código de bloques (n, k) con tasa Rc=k/n<1. La tasa de bits del canal será r= r _b / Rc>r _b . La probabilidad de error tomará un valor de Pe<<1, que evidentemente dependerá de la energía de la señal y la densidad de potencia del ruido en el receptor ( ₀ ). Si Eb representa la energía promedio por bit de mensaje, entonces la energía promedio por bit de código es Rc.Eb. Entonces:

Codificación por bloques lineal

Como ya se mencionó antes, un código por bloques (n,k) consiste en vectores de n bits, con cada vector correspondiente a un bloque único de k bits de mensaje. Dado que existen 2 ^k bloques de mensaje y 2 ⁿ vectores de n bits, la meta está en seleccionar los 2 ^k vectores de código que cumplan con la condición de que la distancia mínima Hamming sea lo más grande posible.

Supongamos un vector de código arbitrario tal que:

Se cumple que esta codificación por bloques es lineal si al sumar, en módulo 2, dos palabras código se genera una tercera palabra código válida, incluyendo el código de puros ceros. Esta suma se define como:

Ahora bien, una codificación por bloques sistemática consiste en vectores cuyos primeros (o últimos) k elementos son idénticos a los bits de mensaje, tomando el resto de los elementos (n-k) como bits de chequeo. Por lo tanto, un vector de código se expresa como:

El vector de código X puede obtenerse a través de una multiplicación de matrices:

La matriz identidad en G reproduce el vector de mensaje para los primeros k elementos de X, mientras que la sub-matriz P genera el vector C a través de C=MP . Al igual que con la suma de vectores explicada inicialmente, esta multiplicación de matrices sigue el procedimiento de la suma módulo 2.