1. Home
  2. Диференцијално сметање за функции
  3. Диференцијално сметање за функции
  4. Лопиталово правило

0.8 Лопиталово правило

<< Chapter < Page
  Диференцијално сметање за функции   Page 1 / 1
Chapter >> Page >
Се дава поедноставен облик на Лопиталово правило и негова примена во пресметување на гранична вредност на функција во некој облик на неопределонст кога тоа може да се примени. Методот е илустриран со примери.

Лопиталово правило

Лопиталовата теорема е позната под името Лопиталово правило и се користи за наоѓање на гранична вредност во некој од неопределените облици:

0 0 , ∞ ∞ , ∞ − ∞ , ∞ ⋅ 0,0 0 , ∞ 0 , 1 ∞ . size 12{ { {0} over {0} } , { { infinity } over { infinity } } , infinity - infinity , infinity cdot 0,0 rSup { size 8{0} } , infinity rSup { size 8{0} } ,1 rSup { size 8{ infinity } } "." } {}

Лопиталово правило

Ако f ( x ) size 12{f \( x \) } {} и g ( x ) size 12{g \( x \) } {} се две непрекинати и диференцијабилни функции и ако

lim x → a f ( x ) = lim x → a g ( x ) = 0 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } g \( x \) =0} {}

или

lim x → a f ( x ) = lim x → a g ( x ) = ± ∞ size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } g \( x \) = +- infinity } {}

и ако постои lim x → a f ' ( x ) g ' ( x ) , size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } { {f rSup { size 8{'} } \( x \) } over {g rSup { size 8{'} } \( x \) } } ,} {} тогаш

lim x → a f ( x ) g ( x ) = lim x → a f ' ( x ) g ' ( x ) . size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } { {f \( x \) } over {g \( x \) } } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } { {f rSup { size 8{'} } \( x \) } over {g rSup { size 8{'} } \( x \) } } "." } {}

Ова правило многу ја олеснува постапката на наоѓање гранична вредност на функција од неопределен облик. Правилото ке го илустрираме преку неколку примери.

Пример 1.

(тип на неопределеност 0 0 size 12{ { {0} over {0} } } {} )

lim x → 0 lncos x x 2 = lim x → 0 lncos x ' x 2 ' = lim x → 0 − sin x cos x 2x = − lim x → 0 tan x 2x = − lim x → 0 tan x ' ( 2x ) ' = − lim x → 0 1 cos 2 x 2 = − 1 2 . size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0} } { {"lncos"x} over {x rSup { size 8{2} } } } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0} } { { left ("lncos"x right ) rSup { size 8{'} } } over { left (x rSup { size 8{2} } right ) rSup { size 8{'} } } } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0} } { { - { {"sin"x} over {"cos"x} } } over {2x} } = - {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0} } { {"tan"x} over {2x} } = - {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0} } { { left ("tan"x right ) rSup { size 8{'} } } over { \( 2x \) rSup { size 8{'} } } } = - {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0} } { { { {1} over {"cos" rSup { size 8{2} } x} } } over {2} } = - { {1} over {2} } "." } {}

Пример 2.

(тип на неопределеност ∞ ∞ size 12{ { { infinity } over { infinity } } } {} )

lim x → + ∞ 3x 2 − 5x e x − 10 = lim x → + ∞ ( 3x 2 − 5x ) ' ( e x − 10 ) ' = lim x → + ∞ 6x − 5 e x = lim x → + ∞ ( 6x − 5 ) ' ( e x ) ' = lim x → + ∞ 6 e x = 0 . size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow + infinity } } { {3x rSup { size 8{2} } - 5x} over {e rSup { size 8{x} } - "10"} } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow + infinity } } { { \( 3x rSup { size 8{2} } - 5x \) rSup { size 8{'} } } over { \( e rSup { size 8{x} } - "10" \) rSup { size 8{'} } } } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow + infinity } } { {6x - 5} over {e rSup { size 8{x} } } } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow + infinity } } { { \( 6x - 5 \) rSup { size 8{'} } } over { \( e rSup { size 8{x} } \) rSup { size 8{'} } } } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow + infinity } } { {6} over {e rSup { size 8{x} } } } =0 "." } {}

Пример 3.

(тип на неопределеност ∞ − ∞ size 12{ infinity - infinity } {} )

Задачите од овој тип се сведуваат под заеднички именител и ако е случај со неопределеност 0 0 size 12{ { {0} over {0} } } {} или ∞ ∞ size 12{ { { infinity } over { infinity } } } {} се применува Лопиталовото правило.

lim x → 2 4 x 2 − 4 − 1 x − 2 = lim x → 2 4 − ( x + 2 ) x 2 − 4 = lim x → 2 2 − x x 2 − 4 = lim x → 2 − 1 2x = − 1 4 . size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 2} } left ( { {4} over {x rSup { size 8{2} } - 4} } - { {1} over {x - 2} } right )= {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 2} } { {4 - \( x+2 \) } over {x rSup { size 8{2} } - 4} } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 2} } { {2 - x} over {x rSup { size 8{2} } - 4} } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 2} } { { - 1} over {2x} } = - { {1} over {4} } "." } {}

Пример 4.

(тип на неопределеност ∞ ⋅ 0 size 12{ infinity cdot 0} {} )

Задачите од овој тип неопределеност преку една од трансформациите

∞ ⋅ 0 = 1 0 ⋅ 0 = 0 0 size 12{ infinity cdot 0= { {1} over {0} } cdot 0= { {0} over {0} } } {} или ∞ ⋅ 0 = ∞ ⋅ 1 ∞ = ∞ ∞ size 12{ infinity cdot 0= infinity cdot { {1} over { infinity } } = { { infinity } over { infinity } } } {}

се сведуваат на некоја од неопеделеностите 0 0 size 12{ { {0} over {0} } } {} или ∞ ∞ size 12{ { { infinity } over { infinity } } } {} кога единствено може да се примени Лопиталово правило.

lim x → − ∞ x 2 e x = lim x → − ∞ x 2 e − x = lim x → − ∞ ( x 2 ) ' ( e − x ) ' = lim x → − ∞ 2x − e − x = − lim x → − ∞ ( 2x ) ' ( e − x ) ' = − lim x → − ∞ 2 − e − x = 0 . size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow - infinity } } x rSup { size 8{2} } e rSup { size 8{x} } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow - infinity } } { {x rSup { size 8{2} } } over {e rSup { size 8{ - x} } } } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow - infinity } } { { \( x rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{'} } } over { \( e rSup { size 8{ - x} } \) rSup { size 8{'} } } } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow - infinity } } { {2x} over { - e rSup { size 8{ - x} } } } = - {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow - infinity } } { { \( 2x \) rSup { size 8{'} } } over { \( e rSup { size 8{ - x} } \) rSup { size 8{'} } } } = - {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow - infinity } } { {2} over { - e rSup { size 8{ - x} } } } =0 "." } {}

Пример 5.

(тип на неопределеност 0 0 , ∞ 0 , 1 ∞ size 12{0 rSup { size 8{0} } , infinity rSup { size 8{0} } ,1 rSup { size 8{ infinity } } } {} )

Задачите кои содржат некој од овие типови неопределеност се решаваат со претходно логаритмирање за да се доведат на некоја од неопределеностите 0 0 size 12{ { {0} over {0} } } {} или ∞ ∞ size 12{ { { infinity } over { infinity } } } {} . Мора да се води сметка дека вредноста добиена со логаритмирање не е границата, туку логаритам од границата и затоа треба да се антилогаритмира!

lim x → π / 2 ( tan x ) 2x − π size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow π/2} } \( "tan"x \) rSup { size 8{2x - π} } } {}

Оваа граница е од обликот ∞ 0 size 12{ infinity rSup { size 8{0} } } {} и затоа границата ја логаритмираме

ln lim x → π / 2 ( tan x ) 2x − π = lim x → π / 2 ln ( tan x ) 2x − π = lim x → π / 2 ( 2x − π ) lntan x = ( 0 ⋅ ∞ ) = lim x → π / 2 lntan x 1 2x − π = ∞ ∞ = lim x → π / 2 ( lntan x ) ' 1 2x − π ' = lim x → π / 2 1 tan x ⋅ 1 cos 2 x − 2 ( 2x − π ) 2 = alignl { stack { size 12{"ln" {"lim"} cSub{ size 8{x rightarrow π/2} } \( "tan"x \) rSup { size 8{2x - π} } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow π/2} } "ln" \( "tan"x \) rSup { size 8{2x - π} } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow π/2} } \( 2x - π \) "lntan"x= \( 0 cdot infinity \) ={}} {} # = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow π/2} } { {"lntan"x} over { { {1} over {2x - π} } } } = left ( { { infinity } over { infinity } } right )= {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow π/2} } { { \( "lntan"x \) rSup { size 8{'} } } over { left ( { {1} over {2x - π} } right ) rSup { size 8{'} } } } = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow π/2} } { { { {1} over {"tan"x} } cdot { {1} over {"cos" rSup { size 8{2} } x} } } over { { { - 2} over { \( 2x - π \) rSup { size 8{2} } } } } } ={} {}} } {}

= − lim x → π / 2 ( 2x − π ) 2 sin 2x = 0 0 = − lim x → π / 2 [ ( 2x − π ) 2 ] ' ( sin 2x ) ' = − lim x → π / 2 2 ( 2x − π ) 2 cos 2x = 0 1 = 0 . size 12{ {}= - {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow π/2} } { { \( 2x - π \) rSup { size 8{2} } } over {"sin"2x} } = left ( { {0} over {0} } right )= - {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow π/2} } { { \[ \( 2x - π \) rSup { size 8{2} } \] rSup { size 8{'} } } over { \( "sin"2x \) rSup { size 8{'} } } } = - {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow π/2} } { {2 \( 2x - π \) } over {2"cos"2x} } = { {0} over {1} } =0 "." } {}

Бидејќи добивме

ln lim x → π / 2 ( tan x ) 2x − π = 0 size 12{"ln" {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow π/2} } \( "tan"x \) rSup { size 8{2x - π} } =0} {}

после антилогаритмирање следува дека

lim x → π / 2 ( tan x ) 2x − π = e 0 = 1 . size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow π/2} } \( "tan"x \) rSup { size 8{2x - π} } =e rSup { size 8{0} } =1 "." } {}
<< Chapter < Page Page > Chapter >>

Read also:

Get Jobilize Job Search Mobile App in your pocket Now!

Get it on Google Play Download on the App Store Now




Source:  OpenStax, Диференцијално сметање за функции од една променлива. OpenStax CNX. Nov 17, 2014 Download for free at http://legacy.cnx.org/content/col10492/1.7
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Диференцијално сметање за функции од една променлива' conversation and receive update notifications?

Ask