<< Chapter < Page Chapter >> Page >
Се дава постапка за пресметување на изводи и диференцијали од повисок ред.

Изводи и диференцијали од повисок ред

Најпрво ќе покажеме како се пресметува извод од повисок ред.

Извод од повисок ред

Знаеме дека функцијата може да биде зададена на повеќе различни начини, затоа посебно ќе се објасни како се пресметуваат изводите од повисок ред од експлицитна функција, од имплицитна функција и од функција зададена во параметарски облик.

Функција во експлицитен облик

Нека функцијата y = f ( x ) size 12{y=f \( x \) } {} е дифернцијабилна на интервалот ( a , b ) size 12{ \( a,b \) } {} и нека нејзиниот прв извод е y ' = f ' ( x ) size 12{ { {y}} sup { ' }= { {f}} sup { ' } \( x \) } {} . Првиот извод на функцијата f ' ( x ) size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) } {} во општ случај е функција од x size 12{x} {} и од него пак може да се бара извод по x size 12{x} {} . Изводот од првиот извод се нарекува втор извод на функцијата или извод од втор ред и се означува со

f ' ( x ) = f ' ' ( x ) size 12{ left ( { {f}} sup { ' } \( x \) right ) rSup { size 8{′} } = { {f}} sup { '' } \( x \) } {} или ( y ' ) ' = y ' ' size 12{ \( { {y}} sup { ' } { { \) }} sup { ' }= { {y}} sup { '' }} {} .

Аналогно, извод од вториот извод е трет извод , при што

f ' ' ( x ) = f ' ' ' ( x ) size 12{ left ( { {f}} sup { '' } \( x \) right ) rSup { size 8{′} } = { {f}} sup { ''' } \( x \) } {} или ( y ' ' ) ' = y ' ' ' size 12{ \( { {y}} sup { '' } { { \) }} sup { ' }= { {y}} sup { ''' }} {} и т.н.

Изводите од втор, трет и повисок ред под заедничко име се нарекуваат изводи од пов и сок ред .

Пример 1.

Да се пресмета y ' ' size 12{ { {y}} sup { '' }} {} ако y = ln ( x + x 2 + 1 ) size 12{y="ln" \( x+ sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} \) } {} .

Решение.

Првиот извод е

y ' = ln ( x + x 2 + 1 = 1 x + x 2 + 1 ( 1 + 2x 2 x 2 + 1 ) = 1 x 2 + 1 size 12{ { {y}} sup { ' }= left ("ln" \( x+ sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} right ) rSup { size 8{′} } = { {1} over {x+ sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} } } \( 1+ { {2x} over {2 sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} } } \) = { {1} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} } } } {} ,

а вториот извод е

y ' ' = 1 x 2 + 1 = 2x 2 x 2 + 1 x 2 + 1 = x ( x 2 + 1 ) x 2 + 1 size 12{ { {y}} sup { '' }= left ( { {1} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} } } right ) rSup { size 8{′} } = { { - { {2x} over {2 sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} } } } over {x rSup { size 8{2} } +1} } = - { {x} over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} } } } {} .

Пример 2.

Да се докаже дека функцијата y = cos e x + sin e x size 12{y="cos"e rSup { size 8{x} } +"sin"e rSup { size 8{x} } } {} ја задоволува равенката y ' ' y ' + ye 2x = 0 size 12{ { {y}} sup { '' } - { {y}} sup { ' }+ ital "ye" rSup { size 8{2x} } =0} {} .

Решение .

Се пресметуваат првиот и вториот извод:

y ' = e x sin e x + e x cos e x size 12{ { {y}} sup { ' }= - e rSup { size 8{x} } "sin"e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{x} } "cos"e rSup { size 8{x} } } {} ,

y ' ' = e x sin e x e x e x cos e x + e x cos e x e x e x sin e x size 12{ { {y}} sup { '' }= - e rSup { size 8{x} } "sin"e rSup { size 8{x} } - e rSup { size 8{x} } e rSup { size 8{x} } "cos"e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{x} } "cos"e rSup { size 8{x} } - e rSup { size 8{x} } e rSup { size 8{x} } "sin"e rSup { size 8{x} } } {} ,

и по средување

y ' ' = e x sin e x e 2x cos e x + e x cos e x e 2x sin e x size 12{ { {y}} sup { '' }= - e rSup { size 8{x} } "sin"e rSup { size 8{x} } - e rSup { size 8{2x} } "cos"e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{x} } "cos"e rSup { size 8{x} } - e rSup { size 8{2x} } "sin"e rSup { size 8{x} } } {} .

Со замена на y , y ' , y ' ' size 12{y, { {y}} sup { ' }, { {y}} sup { '' }} {} во равенката се добива

y ' ' y ' + ye 2x = e x sin e x e 2x cos e x + e x cos e x e 2x sin e x ( e x sin e x + e x cos e x ) + e 2x ( cos e x + sin e x ) = e x sin e x e 2x cos e x + e x cos e x e 2x sin e x + e x sin e x e x cos e x + + e 2x cos e x + e 2x sin e x = 0 alignl { stack { size 12{ { {y}} sup { '' } - { {y}} sup { ' }+ ital "ye" rSup { size 8{2x} } = - e rSup { size 8{x} } "sin"e rSup { size 8{x} } - e rSup { size 8{2x} } "cos"e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{x} } "cos"e rSup { size 8{x} } - e rSup { size 8{2x} } "sin"e rSup { size 8{x} } - {}} {} #- \( - e rSup { size 8{x} } "sin"e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{x} } "cos"e rSup { size 8{x} } \) +e rSup { size 8{2x} } \( "cos"e rSup { size 8{x} } +"sin"e rSup { size 8{x} } \) ={} {} # = - e rSup { size 8{x} } "sin"e rSup { size 8{x} } - e rSup { size 8{2x} } "cos"e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{x} } "cos"e rSup { size 8{x} } - e rSup { size 8{2x} } "sin"e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{x} } "sin"e rSup { size 8{x} } - e rSup { size 8{x} } "cos"e rSup { size 8{x} } +{} {} #+e rSup { size 8{2x} } "cos"e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{2x} } "sin"e rSup { size 8{x} } =0 {} } } {}

што и требаше да се докаже.

Се забележува дека редот на изводот се означува со римски цифри. Бидејки за произволен број n N size 12{n in N} {} не постои соодветен репрезент со римска цифра, изводот на функцијата од n -ти ред се означува со

y ( n ) size 12{y rSup { size 8{ \( n \) } } } {}

што значи дека редот на изводот може на се означи и со конкретен арапски број или со општ број, но тогаш бројот задолжително е во мали загради за да се разликува од ознаката за степен на функција. Затоа на пример, ознаки за изводите се

y v = y ( 5 ) , y x = y ( 10 ) , y xv = y ( 15 ) size 12{y rSup { size 8{v} } =y rSup { size 8{ \( 5 \) } } ,`y rSup { size 8{x} } =y rSup { size 8{ \( "10" \) } } ,`y rSup { size 8{"xv"} } =y rSup { size 8{ \( "15" \) } } } {} и т.н.

Пример 3.

Да се пресмета y ( n ) size 12{y rSup { size 8{ \( n \) } } } {} за функцијата y = xe x size 12{y= ital "xe" rSup { size 8{x} } } {} .

Решение .

Започнуваме со пресметување на изводите. Најпрво првиот извод

y ' = ( xe x ) ' = e x + xe x size 12{ { {y}} sup { ' }= \( ital "xe" rSup { size 8{x} } { { \) }} sup { ' }=e rSup { size 8{x} } + ital "xe" rSup { size 8{x} } } {} ,

потоа вториот извод

y ' ' = ( e x + xe x ) ' = e x + e x + xe x = 2 e x + xe x size 12{ { {y}} sup { '' }= \( e rSup { size 8{x} } + ital "xe" rSup { size 8{x} } { { \) }} sup { ' }=e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{x} } + ital "xe" rSup { size 8{x} } =2e rSup { size 8{x} } + ital "xe" rSup { size 8{x} } } {} ,

третиот извод

y ' ' ' = ( 2 e x + xe x ) ' = 2 e x + e x + xe x = 3 e x + xe x size 12{ { {y}} sup { ''' }= \( 2e rSup { size 8{x} } + ital "xe" rSup { size 8{x} } { { \) }} sup { ' }=2e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{x} } + ital "xe" rSup { size 8{x} } =3e rSup { size 8{x} } + ital "xe" rSup { size 8{x} } } {} .

Од претходно пресметаните изводи може да се претпостави дека y ( n ) size 12{y rSup { size 8{ \( n \) } } } {} ќе биде y ( n ) = ne x + xe x size 12{y rSup { size 8{ \( n \) } } = ital "ne" rSup { size 8{x} } + ital "xe" rSup { size 8{x} } } {} .

Дека тоа е точно, ќе треба да докажеме дека y ( n + 1 ) = ( n + 1 ) e x + xe x size 12{y rSup { size 8{ \( n+1 \) } } = \( n+1 \) e rSup { size 8{x} } + ital "xe" rSup { size 8{x} } } {} .

За да се пресмета y ( n + 1 ) size 12{y rSup { size 8{ \( n+1 \) } } } {} ќе треба да го диференцираме y ( n ) size 12{y rSup { size 8{ \( n \) } } } {} уште еднаш:

y ( n + 1 ) = ( y ( n ) ) ' = ( ne x + xe x ) ' = ne x + e x + xe x = ( n + 1 ) e x + xe x size 12{y rSup { size 8{ \( n+1 \) } } = \( y rSup { size 8{ \( n \) } } { { \) }} sup { ' }= \( ital "ne" rSup { size 8{x} } + ital "xe" rSup { size 8{x} } { { \) }} sup { ' }= ital "ne" rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{x} } + ital "xe" rSup { size 8{x} } = \( n+1 \) e rSup { size 8{x} } + ital "xe" rSup { size 8{x} } } {}

и заклучуваме дека навистина

y ( n + 1 ) = ( n + 1 ) e x + xe x size 12{y rSup { size 8{ \( n+1 \) } } = \( n+1 \) e rSup { size 8{x} } + ital "xe" rSup { size 8{x} } } {} ,

со што потврдивме дека претпоставката е точна (за дожување го користевме методот на математичка индукција).

Функција во имплицитен облик

Кога функцијата е зададена во имплицитен облик со равенка F ( x , y ) = 0 size 12{F \( x,y \) =0} {} , оваа имплицитна равенка ја диференцираме член по член по независно пременливата x size 12{x} {} , водејќи сметка дека y size 12{y} {} е функција, односно дека y = y ( x ) size 12{y=y \( x \) } {} . Изразот што се добива за првиот извод уште еднаш се диференцира и се изразува вториот извод. Постапката може и понатаму да продолжи со извод од вториот извод кога се добива извод од трет ред и т.н.

Пример 4.

Да се пресмета y ' ' size 12{ { {y}} sup { '' }} {} за функцијата x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 size 12{ { {x rSup { size 8{2} } } over {a rSup { size 8{2} } } } + { {y rSup { size 8{2} } } over {b rSup { size 8{2} } } } =1} {} .

Решение .

Бидејќи y ' = dy dx size 12{ { {y}} sup { ' }= { { ital "dy"} over { ital "dx"} } } {} , двете страни на оваа имплицитната равенка (равенка на елипса) ги диференцираме по x size 12{x} {}

d dx x 2 a 2 + y 2 b 2 = d dx ( 1 ) size 12{ { {d} over { ital "dx"} } left ( { {x rSup { size 8{2} } } over {a rSup { size 8{2} } } } + { {y rSup { size 8{2} } } over {b rSup { size 8{2} } } } right )= { {d} over { ital "dx"} } \( 1 \) } {}

и се добива

2x a 2 + 2y y ' b 2 = 0 size 12{ { {2x} over {a rSup { size 8{2} } } } + { {2y { {y}} sup { ' }} over {b rSup { size 8{2} } } } =0} {}

од каде

y ' = b 2 x a 2 y size 12{ { {y}} sup { ' }= - { {b rSup { size 8{2} } x} over {a rSup { size 8{2} } y} } } {} .

Ако сега првиот извод го диференцираме уште еднаш

d dx ( y ' ) = d dx b 2 x a 2 y size 12{ { {d} over { ital "dx"} } \( { {y}} sup { ' } \) = - { {d} over { ital "dx"} } left ( { {b rSup { size 8{2} } x} over {a rSup { size 8{2} } y} } right )} {}

се добива

y ' ' = b 2 a 2 d dx x y = b 2 a 2 y x y ' y 2 = b 2 a 2 y x b 2 x a 2 y y 2 = b 2 a 2 a 2 y 2 + b 2 x 2 a 2 y y 2 size 12{ { {y}} sup { '' }= - { {b rSup { size 8{2} } } over {a rSup { size 8{2} } } } cdot { {d} over { ital "dx"} } left ( { {x} over {y} } right )= - { {b rSup { size 8{2} } } over {a rSup { size 8{2} } } } cdot { {y - x { {y}} sup { ' }} over {y rSup { size 8{2} } } } = - { {b rSup { size 8{2} } } over {a rSup { size 8{2} } } } cdot { {y - x left ( - { {b rSup { size 8{2} } x} over {a rSup { size 8{2} } y} } right )} over {y rSup { size 8{2} } } } = - { {b rSup { size 8{2} } } over {a rSup { size 8{2} } } } cdot { { { {a rSup { size 8{2} } y rSup { size 8{2} } +b rSup { size 8{2} } x rSup { size 8{2} } } over {a rSup { size 8{2} } y} } } over {y rSup { size 8{2} } } } } {}

и со користење на релацијата a 2 y 2 + b 2 x 2 = a 2 b 2 size 12{a rSup { size 8{2} } y rSup { size 8{2} } +b rSup { size 8{2} } x rSup { size 8{2} } =a rSup { size 8{2} } b rSup { size 8{2} } } {} следува дека

y ' ' = b 4 a 2 y 3 size 12{ { {y}} sup { '' }= - { {b rSup { size 8{4} } } over {a rSup { size 8{2} } y rSup { size 8{3} } } } } {} .

Функција во параметарски облик

Кога функцијата е зададена во параметарски облик преку равенките x = x ( t ) , y = y ( t ) size 12{x=x \( t \) ,y=y \( t \) } {} , t size 12{t - {}} {} параметар, вториот извод е извод од првиот извод по променливата x size 12{x} {} . Бидејќи изводот е изразен преку параметарот, затоа целата постапка на диференцирање се изведува преку параметарот преку следната постапка

y ' ' = d dx dy dx = d dx y ˙ x ˙ = d dt dt dx y ˙ x ˙ = d dt y ˙ x ˙ 1 dx dt = y ¨ x ˙ y ˙ x ¨ x ˙ 2 1 x ˙ = y ¨ x ˙ y ˙ x ¨ x ˙ 3 size 12{ { {y}} sup { '' }= { {d} over { ital "dx"} } left ( { { ital "dy"} over { ital "dx"} } right )= { {d} over { ital "dx"} } left ( { { { dot {y}}} over { { dot {x}}} } right )= { {d} over { ital "dt"} } { { ital "dt"} over { ital "dx"} } left ( { { { dot {y}}} over { { dot {x}}} } right )= { {d} over { ital "dt"} } left ( { { { dot {y}}} over { { dot {x}}} } right ) cdot { {1} over { { { ital "dx"} over { ital "dt"} } } } = { { { ddot {y}} { dot {x}} - { dot {y}} { ddot {x}}} over { { dot {x}} rSup { size 8{2} } } } cdot { {1} over { { dot {x}}} } = { { { ddot {y}} { dot {x}} - { dot {y}} { ddot {x}}} over { { dot {x}} rSup { size 8{3} } } } } {}

и конечно запишуваме дека

y ' ' = y ¨ x ˙ y ˙ x ¨ x ˙ 3 size 12{ { {y}} sup { '' }= { { { ddot {y}} { dot {x}} - { dot {y}} { ddot {x}}} over { { dot {x}} rSup { size 8{3} } } } } {} .

Пример 5.

Да се пресмета вториот извод на функцијата x = arcsin t , y = ln ( 1 t 2 ) size 12{x="arcsin"t,y="ln" \( 1 - t rSup { size 8{2} } \) } {} .

Решение .

Ги пресметуваме изводите по параметарот

x ˙ = 1 1 t 2 , x ¨ = 2t 2 1 t 2 1 t 2 = t ( 1 t 2 ) 1 t 2 , y ˙ = 2t 1 t 2 , y ¨ = 2 1 t 2 + 2t 2 ( 1 t 2 ) 2 = 2 1 + t 2 ( 1 t 2 ) 2 , alignl { stack { size 12{ { dot {x}}= { {1} over { sqrt {1 - t rSup { size 8{2} } } } } ,~ { ddot {x}}= { { - { { - 2t} over {2 sqrt {1 - t rSup { size 8{2} } } } } } over {1 - t rSup { size 8{2} } } } = { {t} over { \( 1 - t rSup { size 8{2} } \) sqrt {1 - t rSup { size 8{2} } } } } ,} {} #{ dot {y}}= { { - 2t} over {1 - t rSup { size 8{2} } } } ,~ { ddot {y}}= - 2 { {1 - t rSup { size 8{2} } +2t rSup { size 8{2} } } over { \( 1 - t rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{2} } } } = - 2 { {1+t rSup { size 8{2} } } over { \( 1 - t rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{2} } } } , {} } } {}

и со нивна замена во изразот за втор извод се добива

y ' ' = y ¨ x ˙ y ˙ x ¨ x ˙ 3 = 2 1 + t 2 ( 1 t 2 ) 2 1 1 t 2 2t 1 t 2 t ( 1 t 2 ) 1 t 2 1 1 t 2 3 size 12{ { {y}} sup { '' }= { { { ddot {y}} { dot {x}} - { dot {y}} { ddot {x}}} over { { dot {x}} rSup { size 8{3} } } } = { { - 2 { {1+t rSup { size 8{2} } } over { \( 1 - t rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{2} } } } cdot { {1} over { sqrt {1 - t rSup { size 8{2} } } } } - { { - 2t} over {1 - t rSup { size 8{2} } } } cdot { {t} over { \( 1 - t rSup { size 8{2} } \) sqrt {1 - t rSup { size 8{2} } } } } } over { left ( { {1} over { sqrt {1 - t rSup { size 8{2} } } } } right ) rSup { size 8{3} } } } } {}

и по средување

y ' ' = 2 1 t 2 size 12{ { {y}} sup { '' }= { { - 2} over {1 - t rSup { size 8{2} } } } } {} .

Диференцијали од повисок ред

За функцијата y = f ( x ) size 12{y=f \( x \) } {} диференцијалот се означуваше со

dy = f ' ( x ) dx size 12{ ital "dy"= { {f}} sup { ' } \( x \) ital "dx"} {}

и тој е пак некоја функција од x size 12{x} {} . Ако од диференцијалот побараме пак диференцијал се добива втор диференцијал

d ( dy ) = d 2 y size 12{d \( ital "dy" \) =d rSup { size 8{2} } y} {}

и од правилото за пресметување на диференцијал

d 2 y = f ' ( x ) dx dx = f ' ' ( x ) ( dx ) 2 size 12{d rSup { size 8{2} } y= left ( { {f}} sup { ' } \( x \) ital "dx" right ) rSup { size 8{′} } ital "dx"= { {f}} sup { '' } \( x \) \( ital "dx" \) rSup { size 8{2} } } {} .

Со користење на ознаката ( dx ) 2 = dx 2 size 12{ \( ital "dx" \) rSup { size 8{2} } = ital "dx" rSup { size 8{2} } } {} се добива израз за втор диференцијал

d 2 y = f ' ' ( x ) dx 2 . size 12{d rSup { size 8{2} } y= { {f}} sup { '' } \( x \) ital "dx" rSup { size 8{2} } "." } {}

Со аналогна постапка и се добиваат и диференцијалите од повисок ред:

d 3 y = f ' ' ' ( x ) dx 3 d ( n ) y = f ( n ) ( x ) dx n . alignl { stack { size 12{d rSup { size 8{3} } y= { {f}} sup { ''' } \( x \) ital "dx" rSup { size 8{3} } } {} #dotsvert {} # d rSup { size 8{ \( n \) } } y=f rSup { size 8{ \( n \) } } \( x \) ital "dx" rSup { size 8{n} } "." {}} } {}

Пример 6.

За функцијата y = sin 2 x size 12{y="sin" rSup { size 8{2} } x} {} диференцијалите од втор и трет ред се:

y ' = 2 sin x cos x = sin 2x dy = sin 2 xdx y ' ' = 2 cos 2x d 2 y = 2 cos 2 xdx 2 y ' ' ' = 4 sin 2x d 3 y = 4 sin 2 xdx 3 . alignl { stack { size 12{ { {y}} sup { ' }=2"sin"x"cos"x="sin"2x drarrow ital "dy"="sin"2 ital "xdx"} {} #size 12{ { {y}} sup { '' }=2"cos"2x drarrow d rSup { size 8{2} } y=2"cos"2 ital "xdx" rSup { size 8{2} } } {} # { {y}} sup { ''' }= - 4"sin"2x drarrow d rSup { size 8{3} } y= - 4"sin"2 ital "xdx" rSup { size 8{3} } "." {}} } {}

Get Jobilize Job Search Mobile App in your pocket Now!

Get it on Google Play Download on the App Store Now




Source:  OpenStax, Диференцијално сметање за функции од една променлива. OpenStax CNX. Nov 17, 2014 Download for free at http://legacy.cnx.org/content/col10492/1.7
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Диференцијално сметање за функции од една променлива' conversation and receive update notifications?

Ask