<< Chapter < Page Chapter >> Page >
Се воведува множеството од рационални броеви.

Множество рационални броеви

Операцијата делење со цел број различен од нула не секогаш може да се изврши во множеството цели броеви, односно количникот на два цели броја не мора да е цел број. Затоа се укажува потребата од проширување на множеството цели броеви во множество рационални броеви кое во себе го содржи множеството цели броеви како вистинско подмножество. Имено, секој цел број може да се запише како дропка со именител 1. На пр. 3 = 3 1 , 3 = 6 2 size 12{3= { {3} over {1} } ,``3= { {6} over {2} } } {} и т.н. Рационалните броеви може да се претстават како количник на два цели броја, при што бројот во именителот треба да се различен од нула.

М ножеството раци ­ о ­ нал ­ ни ­ броеви се запишува со

Q = p q p , q Z , q 0 . size 12{Q= left lbrace { {p} over {q} } \lline p,``q in Z,``q<>0 right rbrace "." } {}

Ова множество е секаде густо множество, бидејќи меѓу два произволни рационални броеви има бесконечно многу рационални броеви. За да го покажеме ова тврдење, ќе докажеме дека меѓу рационалните броеви a size 12{a} {} и b size 12{b} {} се наоѓа бројот a + b 2 . size 12{ { {a+b} over {2} } "." } {} Нека a < b size 12{a<b} {} и ако на двете страни од ова неравенство се додаде бројот a size 12{a} {} се добива

2a < a + b a < a + b 2 . alignl { stack { size 12{2a<a+b} {} # size 12{a<{ {a+b} over {2} } "." } {} } } {}

Аналогно, ако на двете страни од неравенставото a < b size 12{a<b} {} со додаде бројот b size 12{b} {} се добива

a + b < 2b a + b 2 < b . alignl { stack { size 12{a+b<2b} {} # size 12{ { {a+b} over {2} }<b "." } {} } } {}

Од овие две неравенства следува дека

a < a + b 2 < b size 12{a<{ {a+b} over {2} }<b} {}

што означува дека меѓу два рационални броеви a size 12{a} {} и b size 12{b} {} се наоѓа и рационалниот број a + b 2 . size 12{ { {a+b} over {2} } "." } {} Со истата постапка, ако на неравенството a < b size 12{a<b} {} се додава бројот 2a size 12{2a} {} и 2b size 12{2b} {} или na , ( n N ) size 12{ ital "na", \( n in N \) } {} и nb , ( n N ) size 12{ ital "nb", \( n in N \) } {} се добива низа броеви меѓу броевите меѓу a size 12{a} {} и b size 12{b} {} .

Множеството Q size 12{Q} {} исто како и множеството на природни броеви има моќ на преброиво мно­жес­тво бидејќи рационалните броеви може да се подредат во низа во која најпрво се запишуваат рационалните броеви чии што збир на цифри од именителот и броителот изнесува 1 size 12{1`} {} , потоа оние со збир 2 size 12{2`} {} , па 3 size 12{3} {} и т.н. при што се добива низата претставена со следнава шема:

0 1 size 12{ { {0} over {1} } } {} ,

0 2 , 1 1 size 12{ { {0} over {2} } ,` { {1} over {1} } } {} ,

0 3 , 1 2 , 2 1 size 12{ { {0} over {3} } ,` { {1} over {2} } ,` { {2} over {1} } } {} ,

0 4 , 1 3 , 2 2 , 3 1 size 12{ { {0} over {4} } ,` { {1} over {3} } ,` { {2} over {2} } ,` { {3} over {1} } } {} ,

0 5 , 1 4 , 2 3 , 3 2 , 4 1 size 12{ { {0} over {5} } ,` { {1} over {4} } ,` { {2} over {3} } ,` { {3} over {2} } , { {4} over {1} } } {} ,

size 12{ dotslow } {} .

Како што се гледа од горенаведената шема, во наведената низа се запишани само позитивните рационални броеви, што нималку не ја намалува општоста, бидејќи до секој позитивен рационален број може да се додаде и рационалиот број со негативен предзнак. Се забележува дека секој рационален број во оваа низа се повторува бесконечен број пати, но тоа не е битно, важно е дека рационалните броеви на овој начин се подредени во низа, а со тоа нивното множество има моќ на преброиво. За досега наведените множества од броеви важи

N Z Q size 12{N subset Z subset Q} {} ,

што јасно го покажува начинот на кој се врши проширувањето на множествата броеви.

Questions & Answers

a perfect square v²+2v+_
Dearan Reply
kkk nice
Abdirahman Reply
algebra 2 Inequalities:If equation 2 = 0 it is an open set?
Kim Reply
or infinite solutions?
Kim
y=10×
Embra Reply
if |A| not equal to 0 and order of A is n prove that adj (adj A = |A|
Nancy Reply
rolling four fair dice and getting an even number an all four dice
ramon Reply
Kristine 2*2*2=8
Bridget Reply
Differences Between Laspeyres and Paasche Indices
Emedobi Reply
No. 7x -4y is simplified from 4x + (3y + 3x) -7y
Mary Reply
is it 3×y ?
Joan Reply
J, combine like terms 7x-4y
Bridget Reply
im not good at math so would this help me
Rachael Reply
how did I we'll learn this
Noor Reply
f(x)= 2|x+5| find f(-6)
Prince Reply
f(n)= 2n + 1
Samantha Reply
Need to simplify the expresin. 3/7 (x+y)-1/7 (x-1)=
Crystal Reply
. After 3 months on a diet, Lisa had lost 12% of her original weight. She lost 21 pounds. What was Lisa's original weight?
Chris Reply
preparation of nanomaterial
Victor Reply
Yes, Nanotechnology has a very fast field of applications and their is always something new to do with it...
Himanshu Reply
can nanotechnology change the direction of the face of the world
Prasenjit Reply
At high concentrations (>0.01 M), the relation between absorptivity coefficient and absorbance is no longer linear. This is due to the electrostatic interactions between the quantum dots in close proximity. If the concentration of the solution is high, another effect that is seen is the scattering of light from the large number of quantum dots. This assumption only works at low concentrations of the analyte. Presence of stray light.
Ali Reply
the Beer law works very well for dilute solutions but fails for very high concentrations. why?
bamidele Reply
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
QuizOver.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Воведни поими од математичка анализа. OpenStax CNX. Nov 01, 2007 Download for free at http://legacy.cnx.org/content/col10475/1.1
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Воведни поими од математичка анализа' conversation and receive update notifications?

Ask