<< Chapter < Page Chapter >> Page >

xij=0 với (i,j)E

ta đưa bài toán có các yêu cầu

min j = 1 n + 1 i = 1 m c ij x ij j = 1 n x ij = s i ( i = 1 m ) i = 1 m x ij = d j ( j = 1 n ) x ij 0 ( i = 1 m ,j = 1 n ) x ij = 0 khi ( i,j ) E { { { alignl { stack { size 12{"min" Sum cSub { size 8{j=1} } cSup { size 8{n+1} } { Sum cSub { size 8{i=1} } cSup { size 8{m} } {c rSub { size 8{ ital "ij"} } x rSub { size 8{ ital "ij"} } } } } {} #alignl { stack { left lbrace Sum cSub { size 8{j=1} } cSup { size 8{n} } {x rSub { size 8{ ital "ij"} } } =s rSub { size 8{i} } " " \( i=1 rightarrow m \) {} #right none left lbrace Sum cSub { size 8{i=1} } cSup { size 8{m} } {x rSub { size 8{"ij"} } } =d rSub { size 8{j} } " " \( j=1 rightarrow n \) {} # right none left lbrace x rSub { size 8{"ij"} }>= 0" " \( i=1 rightarrow m",j"=1 rightarrow n \) {} # right none left lbrace x rSub { size 8{"ij"} } =0" khi " \( "i,j" \) notin E {} #right no } } lbrace {} } } {} (*)

về bài toán vận tải bằng cách đặt cước vận chuyển mới như sau :

c ij nÕu ( i,j ) E M nÕu ( i,j ) E c ¯ ij = { size 12{ {overline {c}} rSub { size 8{ ital "ij"} } =alignl { stack { left lbrace c rSub { size 8{ ital "ij"} } " ""nÕu " \( "i,j" \) in E {} #right none left lbrace "M nÕu " \( "i,j" \) notin E {} # right no } } lbrace } {}

Ở đây M là một số rất lớn, được coi là số lớn hơn mọi số gặp phải khi tính toán.

Xét bài toán với cước phí mới như trên như sau :

min j = 1 n + 1 i = 1 m c ¯ ij x ij j = 1 n x ij = s i ( i = 1 m ) i = 1 m x ij = d j ( j = 1 n ) x ij 0 ( i = 1 m ,j = 1 n ) { { alignl { stack { size 12{"min" Sum cSub { size 8{j=1} } cSup { size 8{n+1} } { Sum cSub { size 8{i=1} } cSup { size 8{m} } { {overline {c}} rSub { size 8{ ital "ij"} } x rSub { size 8{ ital "ij"} } } } } {} #alignl { stack { left lbrace Sum cSub { size 8{j=1} } cSup { size 8{n} } {x rSub { size 8{ ital "ij"} } } =s rSub { size 8{i} } " " \( i=1 rightarrow m \) {} #right none left lbrace Sum cSub { size 8{i=1} } cSup { size 8{m} } {x rSub { size 8{"ij"} } } =d rSub { size 8{j} } " " \( j=1 rightarrow n \) {} # right none left lbrace x rSub { size 8{"ij"} }>= 0" " \( i=1 rightarrow m",j"=1 rightarrow n \) {} # right no } } lbrace {}} } {} (**)

thì ta có :

Định lý :

Giả sử x = [ x ij ] m . n size 12{x rSup { size 8{*} } = \[ x rSub { size 8{ ital "ij"} } rSup { size 8{*} } \] rSub { size 8{m "." n} } } {} là phương án vận chuyển tối ưu của (**) thì khi đó :

1. Nếu x ij = 0 ( i,j ) E size 12{x rSub { size 8{ ital "ij"} } rSup { size 8{*} } =0" " forall \( "i,j" \) notin E} {} thì x size 12{x rSup { size 8{*} } } {} là phương án vận chuyển tối ưu của bài toán vận tải có đường cấm (*)

2. Nếu tồn tại x kl E size 12{x rSub { size 8{ ital "kl"} } notin E} {} x kl > 0 size 12{x rSub { size 8{ ital "kl"} }>0} {} thì bài toán vận tải có đường cấm (**) không có nhiệm chấp nhận được.

d- Bài toán vận tải kèm chế biến trung gian

Giả sử rằng trong mô hình vận tải có một số điểm nguồn, tức là điểm sản xuất, cho ra một số sản phẩm cần phải chế biến trước khi đến điểm cầu. Giả sử có =1k điểm chế biến với khả năng chế biến là a đơn vị sản phẩm tương ứng. Gọi cước phí vận chuyển một đơn vị bán sản phẩm từ i đến  là c ' size 12{ { {c}} sup { ' } rSub { size 8{iλ} } } {} và chuyển một đơn vị sản phẩm từ  đến j là c ' ' size 12{ { {c}} sup { '' } rSub { size 8{iλ} } } {} . Bài toán đặt ra là lập kế hoạch vận chuyển tất cả các sản phẩm qua chế biến đến tất cả các điểm cầu sao cho cước phí nhỏ nhất.

Gọi xij là lượng sản phẩm từ i qua  rồi qua j, ta cần tìm x=[ xij]mkn sao cho :

min i = 1 m λ = 1 k j = 1 n ( c ' + c λj ' ' ) x iλj λ = 1 k j = 1 n x iλj = s i ( i = 1 m ) i = 1 m λ = 1 k x iλj = d j ( j = 1 n ) i = 1 m j = 1 n x iλj = a λ ( λ = 1 k ) x iλj 0 ( i = 1 m , λ = 1 k , j = 1 n ) { { { alignl { stack { size 12{"min"" " Sum cSub { size 8{i=1} } cSup { size 8{m} } { Sum cSub { size 8{λ=1} } cSup { size 8{k} } { Sum cSub { size 8{j=1} } cSup { size 8{n} } { \( { {c}} sup { ' } rSub { size 8{iλ} } + { {c}} sup { '' } rSub { size 8{λj} } \) x rSub { size 8{iλj} } } } } } {} #alignl { stack { left lbrace Sum cSub { size 8{λ=1} } cSup { size 8{k} } { Sum cSub { size 8{j=1} } cSup { size 8{n} } {x rSub { size 8{iλj} } } } =s rSub { size 8{i} } " " \( i=1 rightarrow m \) {} #right none left lbrace Sum cSub { size 8{i=1} } cSup { size 8{m} } { Sum cSub { size 8{λ=1} } cSup { size 8{k} } {x rSub { size 8{iλj} } } } =d rSub { size 8{j} } " " \( j=1 rightarrow n \) {} # right none left lbrace Sum cSub { size 8{i=1} } cSup { size 8{m} } { Sum cSub { size 8{j=1} } cSup { size 8{n} } {x rSub { size 8{iλj} } } } =a rSub { size 8{λ} } " " \( λ=1 rightarrow k \) {} #right none left lbrace x rSub { size 8{iλj} }>= 0" " \( i=1 rightarrow m,λ=1 rightarrow k,j=1 rightarrow n \) {} # right no } } lbrace {}} } {}

BÀI TOÁN DÒNG TRÊN MẠNG

Mở đầu

Nhiều bài toán quy hoạch tuyến tính có thể quy về bài toán làm cực tiểu phí tổn vận chuyển hàng trong một mạng (gồm các nút và các cung đường) sao cho đảm bảo được các nhu cầu ở một số nút sau khi biết nguồn cung cấp tại một số nút khác. Các bài toán như vậy được gọi là các bài toán dòng trên mạng hay bài toán chuyển vận (TransShipment Problem). Đây là lớp bài toán quan trọng nhất và hay gặp nhất trong quy hoạch tuyến tính. Lớp này bao gồm các bài toán quen thuộc trong thực tế như :

- Bài toán vận tải

- Bài toán mạng điện

- Bài toán mạng giao thông

- Bài toán quản lý

- Bài toán phân bổ vật tư

- Bài toán bổ nhiệm

- Bài toán kế hoạch tài chính

- Bài toán đường ngắn nhất

- Bài toán dòng lớn nhất

- .................

Vì là một bài toán quy hoạch tuyến tính nên các bài toán dòng trên mạng có thể giải được bằng bất kỳ thuật toán nào giải được bài toán quy hoạch tuyến tính, chẳng hạn bằng thuật toán đơn hình như đã biết . Tuy nhiên, nếu tận dụng những cấu trúc đặc biệt của các bài toán dòng trên mạng sẽ làm cho phương pháp đơn hình đơn giản hơn và được thực hiện nhanh hơn.

Phát biểu bài toán dòng trên mạng

Mạng là một đồ thị có hướng ký hiệu G=(N,A), N là tập các nút, A là tập các cung, cùng một số thông tin về số lượng bổ sung như sau :

. bi (iN) biểu thị nguồn từ ngoài vào nút i, gọi tắt là nguồn

. uij biểu thị tải năng của cung (i,j)A

. cij biểu thị cước phí cho một đơn vị của dòng trên cung (i,j)A

. xij biểu thị lượng vận chuyển của dòng trên cung (i,j)A

Giá trị tuyệt đối |bi| được gọi là nhu cầu của nút i. Nếu bi>0 thì nút i được gọi là điểm nguồn, nếu bi<0 thì nút i được gọi là điểm hút. Một cách hoàn toàn tự nhiên người ta đặt hai điều kiện sau đây :

Get Jobilize Job Search Mobile App in your pocket Now!

Get it on Google Play Download on the App Store Now




Source:  OpenStax, Quy hoạch tuyến tính. OpenStax CNX. Aug 08, 2009 Download for free at http://cnx.org/content/col10903/1.1
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Quy hoạch tuyến tính' conversation and receive update notifications?

Ask