<< Chapter < Page Chapter >> Page >

Như vậy ta đã xoay đúng một vòng, và nếu cứ lập luận như vậy thì ta sẽ xoay vòng mãi. Những bộ chiến lược nhận được trong khi xoay vòng là những nghiệm không ổ định.

Chiến lược hỗn hợp

Để có được lời giải của trò chơi không có nghiệm ổn định người ta đưa ra khái niệm chiến lược hỗn hợp. Mỗi người chơi không chọn một chiến lược thuần túy như trước đây mà chọn một phân bố xác suất sử dụng tất cả các chiến lược.

Xét trò chơi giữa A và B có ma trận điểm dương có dạng tổng quát :

1 2 ... n  B
A 
1 a 11 size 12{a rSub { size 8{"11"} } } {} a 12 size 12{a rSub { size 8{"12"} } } {} ... a 1n size 12{a rSub { size 8{1n} } } {}
2 a 21 size 12{a rSub { size 8{"21"} } } {} a 22 size 12{a rSub { size 8{"22"} } } {} ... a 2n size 12{a rSub { size 8{2n} } } {}
... ... ... ... ...
m a m1 size 12{a rSub { size 8{m1} } } {} a m2 size 12{a rSub { size 8{m2} } } {} ... a mn size 12{a rSub { size 8{ ital "mn"} } } {}

Giả sử rằng :

MaxiMin ( A ) = a i A j A = g A size 12{"MaxiMin " \( A \) =a rSub { size 8{i rSub { size 6{A} } j rSub { size 6{A} } } } =g rSub {A} } {}

M iniMax ( B ) = a i B j B = g B size 12{M"iniMax " \( B \) =a rSub { size 8{i rSub { size 6{B} } j rSub { size 6{B} } } } =g rSub {B} } {}

a i A j A a i B j B size 12{a rSub { size 8{i rSub { size 6{A} } j rSub { size 6{A} } } }<>a rSub {i rSub { size 6{B} } j rSub { size 6{B} } } } {}

Gọi :

. pi>0 (i=1 m ) là tần suất nước đi thứ i của A với

p1 + p2 + ... + pm = 1

. qj>0 (j=1 n ) là tần suất nước đi thứ j của B với

q1 + q2 + ... + qn = 1

q1 q2 ... qn
1 2 ... n  B
A 
p1 1 a 11 size 12{a rSub { size 8{"11"} } } {} a 12 size 12{a rSub { size 8{"12"} } } {} ... a 1n size 12{a rSub { size 8{1n} } } {}
p2 2 a 21 size 12{a rSub { size 8{"21"} } } {} a 22 size 12{a rSub { size 8{"22"} } } {} ... a 2n size 12{a rSub { size 8{2n} } } {}
... ... ... ... ... ...
pm m a m1 size 12{a rSub { size 8{m1} } } {} a m2 size 12{a rSub { size 8{m2} } } {} ... a mn size 12{a rSub { size 8{ ital "mn"} } } {}

Vấn đề đặt ra là :

-Tìm tần suất pi>0 của nước đi thứ i (i =1 m) của A sao cho đối với mỗi nước đi thứ j của B số điểm thắng trung bình của A không nhỏ thua gA :

p1a1j + p2a2j + ..... + pmamj(j = 1 n)

Cũng có nghĩa là tìm pi sao cho :

p1a1j + p2a2j + ..... + pmamj  g1  gA (j = 1 n)

g1  max

- Tìm tần suất qj>0 của nước đi thứ j (j =1 n) của B sao cho đối với mỗi nước đi thứ i của A số điểm thua trung bình của B không lớn hơn gB :

q1ai1 + q2ai2 + .... + qnain (i = 1 m)

Cũng có nghĩa là tìm các qj sao cho :

q1ai1 + q2ai2 + ..... + qnain  g2  gB (i = 1 m)

g2­  min

Khi đó hai bài toán quy hoạch tuyến tính thu được là :

max g 1 min 1 g 1 p 1 + p 2 + . . . + p m = 1 p 1 a 1j + p 2 a 2j + . . . + p m a mj g 1 ( j = 1 n ) p i > 0 ( i = 1 n ) { { { size 12{alignl { stack { left lbrace "max"" "g rSub { size 8{1} } " " left ("min " { {1} over {g rSub { size 8{1} } } } right ) {} #right none left lbrace p rSub { size 8{1} } +p rSub { size 8{2} } + "." "." "." +p rSub { size 8{m} } =1 {} # right none left lbrace p rSub { size 8{1} } a rSub { size 8{1j} } +p rSub { size 8{2} } a rSub { size 8{2j} } + "." "." "." +p rSub { size 8{m} } a rSub { size 8{ ital "mj"} }>= g rSub { size 8{1} } " " \( j=1 rightarrow n \) {} # right none left lbrace p rSub { size 8{i} }>0" " \( i=1 rightarrow n \) {} # right no } } lbrace } {}

min g 2 max 1 g 2 q 1 + q 2 + . . . + q n = 1 q 1 a i1 + q 2 a i2 + . . . + q n a in g 2 ( i = 1 m ) q j > 0 ( j = 1 m ) { { { size 12{alignl { stack { left lbrace "min"" "g rSub { size 8{2} } " " left ("max " { {1} over {g rSub { size 8{2} } } } right ) {} #right none left lbrace q rSub { size 8{1} } +q rSub { size 8{2} } + "." "." "." +q rSub { size 8{n} } =1 {} # right none left lbrace q rSub { size 8{1} } a rSub { size 8{i1} } +q rSub { size 8{2} } a rSub { size 8{i2} } + "." "." "." +q rSub { size 8{n} } a rSub { size 8{ ital "in"} }<= g rSub { size 8{2} } " " \( i=1 rightarrow m \) {} # right none left lbrace q rSub { size 8{j} }>0" " \( j=1 rightarrow m \) {} # right no } } lbrace } {}

Chia các ràng buộc của bài toán thứ nhất cho g1>0 và đặt :

x i = p i g 1 ( i = 1 m ) size 12{x rSub { size 8{i} } = { {p rSub { size 8{i} } } over {g rSub { size 8{1} } } } " " \( i=1 rightarrow m \) } {}

Chia các ràng buộc của bài toán thứ hai cho g2>0 và đặt :

y j = q j g 2 ( j = 1 n ) size 12{y rSub { size 8{j} } = { {q rSub { size 8{j} } } over {g rSub { size 8{2} } } } " " \( j=1 rightarrow n \) } {}

Khi đó hai bài toán quy hoạch tuyến tính trên trở thành :

(D) min 1 g 1 = x 1 + x 2 + . . . + x m a 1j x 1 + a 2j x 2 + . . . + a mj x m 1 ( j = 1 n ) x i > 0 ( i = 1 m ) { { size 12{alignl { stack { left lbrace "min"" " { {1} over {g rSub { size 8{1} } } } =x rSub { size 8{1} } +x rSub { size 8{2} } + "." "." "." +x rSub { size 8{m} } {} #right none left lbrace a rSub { size 8{1j} } x rSub { size 8{1} } +a rSub { size 8{2j} } x rSub { size 8{2} } + "." "." "." +a rSub { size 8{ ital "mj"} } x rSub { size 8{m} }>= 1" " \( j=1 rightarrow n \) {} # right none left lbrace x rSub { size 8{i} }>0" " \( i=1 rightarrow m \) {} # right no } } lbrace } {}

(P) max 1 g 2 = y 1 + y 2 + . . . + y 3 a i1 y 1 + a i2 y 2 + . . . + a in y n 1 ( i = 1 m ) y j > 0 ( j = 1 m ) { { size 12{alignl { stack { left lbrace "max"" " { {1} over {g rSub { size 8{2} } } } =y rSub { size 8{1} } +y rSub { size 8{2} } + "." "." "." +y rSub { size 8{3} } {} #right none left lbrace a rSub { size 8{i1} } y rSub { size 8{1} } +a rSub { size 8{i2} } y rSub { size 8{2} } + "." "." "." +a rSub { size 8{ ital "in"} } y rSub { size 8{n} }<= "1 " \( i=1 rightarrow m \) {} # right none left lbrace y rSub { size 8{j} }>0" " \( j=1 rightarrow m \) {} # right no } } lbrace } {}

Ðây là hai bài toán đối ngẫu . Chọn một trong hai để giải

Ví dụ :

Xét trò chơi giữa A và B có bảng điểm như sau :

1 2 3  B
A 
1 -1 2 1
2 1 -2 2
3 3 4 -3

Theo chiến thuật của A và của B ta có :

MaxiMin(A) = a11

MiniMax(B) = a23

Tăng đồng loạt các ô của bảng điểm lên 4 ta được :

1 2 3  B
A 
1 3 6 5
2 5 2 6
3 7 8 1

Gọi

pi  0 là tần suất nước đi thứ i của A (i=1 3)

p1 + p2 + p3 = 1

qj  0 là tần suất nước đi thứ j của B (j=1 3)

q1 + q2 + q3 =1

Thực hiện tương tự như trên ta được hai bài toán đối ngẫu như sau :

q1 q2 q3  B
A 
p1 3 6 5
p2 5 2 6
p3 7 8 1

(D) min w = 1 g 1 = x 1 + x 2 + x 3 3x 1 + 5x 2 + 7x 3 1 6x 1 + 2x 2 + 8x 3 1 5x 1 + 6x 2 + x 3 1 x 1 > 0 , x 2 > 0 , x 3 > 0 { { { { size 12{alignl { stack { left lbrace "min"" w"= { {1} over {g rSub { size 8{1} } } } =x rSub { size 8{1} } +x rSub { size 8{2} } +x rSub { size 8{3} } {} #right none left lbrace 3x rSub { size 8{1} } +5x rSub { size 8{2} } +7x rSub { size 8{3} }>= 1 {} # right none left lbrace 6x rSub { size 8{1} } +2x rSub { size 8{2} } +8x rSub { size 8{3} }>= 1 {} # right none left lbrace 5x rSub { size 8{1} } +6x rSub { size 8{2} } +x rSub { size 8{3} }>= 1 {} # right none left lbrace " x" rSub { size 8{1} }>0" "," x" rSub { size 8{2} }>0" "," x" rSub { size 8{3} }>0 {} # right no } } lbrace } {} (P) max z = 1 g 2 = y 1 + y 2 + y 3 3y 1 + 6y 2 + 5y 3 1 5y 1 + 2y 2 + 6y 3 1 7y 1 + 8y 2 + y 3 1 y 1 > 0 , y 2 > 0 , y 3 > 0 { { { { size 12{alignl { stack { left lbrace "max"z= { {1} over {g rSub { size 8{2} } } } =y rSub { size 8{1} } +y rSub { size 8{2} } +y rSub { size 8{3} } {} #right none left lbrace 3y rSub { size 8{1} } +6y rSub { size 8{2} } +5y rSub { size 8{3} }<= 1" " {} # right none left lbrace 5y rSub { size 8{1} } +2y rSub { size 8{2} } +6y rSub { size 8{3} }<= 1" " {} # right none left lbrace 7y rSub { size 8{1} } +8y rSub { size 8{2} } +y rSub { size 8{3} }<= 1" " {} # right none left lbrace y rSub { size 8{1} }>0" "," y" rSub { size 8{2} }>0" "," y" rSub { size 8{3} }>0 {} # right no } } lbrace } {}

Ta chọn bài toán (P) để giải.

Ðưa bài toán (P) về dạng chuẩn :

(P) max z = 1 g 2 = y 1 + y 2 + y 3 + 0 . y 4 + 0 . y 5 + 0 . y 6 3y 1 + 6y 2 + 5y 3 + y 4 = 1 5y 1 + 2y 2 + 6y 3 + y 5 = 1 7y 1 + 8y 2 + y 3 + y 6 = 1 y 1 > 0 , y 2 > 0 , y 3 > 0, y 4 > 0 , y 5 > 0 , y 6 > 0 { { { { size 12{alignl { stack { left lbrace "max z"= { {1} over {g rSub { size 8{2} } } } =y rSub { size 8{1} } +y rSub { size 8{2} } +y rSub { size 8{3} } +0 "." y rSub { size 8{4} } +0 "." y rSub { size 8{5} } +0 "." y rSub { size 8{6} } {} #right none left lbrace "3y" rSub { size 8{1} } +"6y" rSub { size 8{2} } +"5y" rSub { size 8{3} } +y rSub { size 8{4} } ="1 " {} # right none left lbrace "5y" rSub { size 8{1} } +"2y" rSub { size 8{2} } +"6y" rSub { size 8{3} } +y rSub { size 8{5} } ="1 " {} #right none left lbrace "7y" rSub { size 8{1} } +"8y" rSub { size 8{2} } +y rSub { size 8{3} } +y rSub { size 8{6} } ="1 " {} # right none left lbrace y rSub { size 8{1} }>"0 , y" rSub { size 8{2} }>"0 , y" rSub { size 8{3} }>"0, y" rSub { size 8{4} }>"0 , y" rSub { size 8{5} }>"0 , y" rSub { size 8{6} }>0 {} # right no } } lbrace } {}

Dùng giải thuật đơn hình cải tiến :

c B 0 size 12{c rSub { size 8{B rSub { size 6{0} } } } } {} i B 0 size 12{i rSub { size 8{B rSub { size 6{0} } } } } {} y 1 size 12{y rSub { size 8{1} } } {} y 2 size 12{y rSub { size 8{2} } } {} y 3 size 12{y rSub { size 8{3} } } {} y 4 size 12{y rSub { size 8{4} } } {} y 5 size 12{y rSub { size 8{5} } } {} y 6 size 12{y rSub { size 8{6} } } {} b ¯ 0 size 12{ {overline {b}} rSub { size 8{0} } } {}
0 4 3 6 5 1 0 0 1
0 5 5 2 6 0 1 0 1
0 6 7 8 1 0 0 1 1
c T size 12{c rSup { size 8{T} } } {} 1 1 1 0 0 0 z 0 size 12{z rSub { size 8{0} } } {}
c ¯ 0 T size 12{ {overline {c}} rSub { size 8{0} } rSup { size 8{T} } } {} 1 1 1 0 0 0 0
c B 1 size 12{c rSub { size 8{B rSub { size 6{1} } } } } {} i B 1 size 12{i rSub { size 8{B rSub { size 6{1} } } } } {} y 1 size 12{y rSub { size 8{1} } } {} y 2 size 12{y rSub { size 8{2} } } {} y 3 size 12{y rSub { size 8{3} } } {} y 4 size 12{y rSub { size 8{4} } } {} y 5 size 12{y rSub { size 8{5} } } {} y 6 size 12{y rSub { size 8{6} } } {} b ¯ 1 size 12{ {overline {b}} rSub { size 8{1} } } {}
0 4 0 18 7 size 12{ { {"18"} over {7} } } {} 32 7 size 12{ { {"32"} over {7} } } {} 1 0 3 7 size 12{ - { {3} over {7} } } {} 4 7 size 12{ { {4} over {7} } } {}
0 5 0 26 7 size 12{ - { {"26"} over {7} } } {} 37 7 size 12{ { {"37"} over {7} } } {} 0 1 5 7 size 12{ - { {5} over {7} } } {} 2 7 size 12{ { {2} over {7} } } {}
1 1 1 8 7 size 12{ { {8} over {7} } } {} 1 7 size 12{ { {1} over {7} } } {} 0 0 1 7 size 12{ { {1} over {7} } } {} 1 7 size 12{ { {1} over {7} } } {}
c T size 12{c rSup { size 8{T} } } {} 1 1 1 0 0 0 z 1 size 12{z rSub { size 8{1} } } {}
c ¯ 1 T size 12{ {overline {c}} rSub { size 8{1} } rSup { size 8{T} } } {} 0 1 7 size 12{ - { {1} over {7} } } {} 6 7 size 12{ { {6} over {7} } } {} 0 0 1 7 size 12{ - { {1} over {7} } } {} 1 7 size 12{ { {1} over {7} } } {}

Questions & Answers

Do somebody tell me a best nano engineering book for beginners?
s. Reply
what is fullerene does it is used to make bukky balls
Devang Reply
are you nano engineer ?
s.
what is the Synthesis, properties,and applications of carbon nano chemistry
Abhijith Reply
so some one know about replacing silicon atom with phosphorous in semiconductors device?
s. Reply
Yeah, it is a pain to say the least. You basically have to heat the substarte up to around 1000 degrees celcius then pass phosphene gas over top of it, which is explosive and toxic by the way, under very low pressure.
Harper
how to fabricate graphene ink ?
SUYASH Reply
for screen printed electrodes ?
SUYASH
What is lattice structure?
s. Reply
of graphene you mean?
Ebrahim
or in general
Ebrahim
in general
s.
Graphene has a hexagonal structure
tahir
On having this app for quite a bit time, Haven't realised there's a chat room in it.
Cied
what is biological synthesis of nanoparticles
Sanket Reply
what's the easiest and fastest way to the synthesize AgNP?
Damian Reply
China
Cied
types of nano material
abeetha Reply
I start with an easy one. carbon nanotubes woven into a long filament like a string
Porter
many many of nanotubes
Porter
what is the k.e before it land
Yasmin
what is the function of carbon nanotubes?
Cesar
I'm interested in nanotube
Uday
what is nanomaterials​ and their applications of sensors.
Ramkumar Reply
what is nano technology
Sravani Reply
what is system testing?
AMJAD
preparation of nanomaterial
Victor Reply
Yes, Nanotechnology has a very fast field of applications and their is always something new to do with it...
Himanshu Reply
good afternoon madam
AMJAD
what is system testing
AMJAD
what is the application of nanotechnology?
Stotaw
In this morden time nanotechnology used in many field . 1-Electronics-manufacturad IC ,RAM,MRAM,solar panel etc 2-Helth and Medical-Nanomedicine,Drug Dilivery for cancer treatment etc 3- Atomobile -MEMS, Coating on car etc. and may other field for details you can check at Google
Azam
anybody can imagine what will be happen after 100 years from now in nano tech world
Prasenjit
after 100 year this will be not nanotechnology maybe this technology name will be change . maybe aftet 100 year . we work on electron lable practically about its properties and behaviour by the different instruments
Azam
name doesn't matter , whatever it will be change... I'm taking about effect on circumstances of the microscopic world
Prasenjit
how hard could it be to apply nanotechnology against viral infections such HIV or Ebola?
Damian
silver nanoparticles could handle the job?
Damian
not now but maybe in future only AgNP maybe any other nanomaterials
Azam
Hello
Uday
I'm interested in Nanotube
Uday
this technology will not going on for the long time , so I'm thinking about femtotechnology 10^-15
Prasenjit
can nanotechnology change the direction of the face of the world
Prasenjit Reply
At high concentrations (>0.01 M), the relation between absorptivity coefficient and absorbance is no longer linear. This is due to the electrostatic interactions between the quantum dots in close proximity. If the concentration of the solution is high, another effect that is seen is the scattering of light from the large number of quantum dots. This assumption only works at low concentrations of the analyte. Presence of stray light.
Ali Reply
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
QuizOver.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Quy hoạch tuyến tính. OpenStax CNX. Aug 08, 2009 Download for free at http://cnx.org/content/col10903/1.1
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Quy hoạch tuyến tính' conversation and receive update notifications?

Ask