0.3 Логаритамско диференцирање

Логаритамско диференцирање

Функцијата за која се бара да се пресмета изводот може да биде задедена и во следниот облик

На вака зададената функција не може да се примени ниедно правило за пресметување на извод, бидејќи таа не е елементарна функција. Затоа функциите од овој облик најпрво се логаритмираат, и потоа тој израз се диференцира.

Така со логаритмирање на левата и десната страна на функцијата

се добива

$\text{ln}y=g(x)\text{ln}f(x)$ .

Оваа функција е имплицитна, десната страна е запишана во вид на производ од функции и може да се диференцира по $x$ при што се добива

$$ $\frac{1}{y}{y}^{\text{'}}=g^{\text{'}}\text{ln}f+g\frac{1}{f}{f}^{\text{'}}$

од каде

Пример

Да се пресмета изводот $y^{\text{'}}$ на функцијата $x^y=y^x\text{.}$

Најпрво дадената функцијата се логаритмира

и применувајќи ги правилата за логаритми равенката се запишува со

$y\text{ln}x=x\text{ln}y$ .

Диференцирајќи ја последната равенка се добива

и по множење со $\text{xy}$ се добива

$(\text{xy}\text{ln}x-x^2)y^{\text{'}}=\text{xy}\text{ln}y-y^2$

од каде се определува изводот