0.2 Các hệ tuyến tính  (Page 4/6)

Lọc hạ thông:

Mạch thụ động đơn giản nhất xấp xỉ với một lọc hạ thông là mạch chỉ chứa một thành phần tích trữ năng lượng. Thí dụ mạch RC như Hình 3.13 . Điều này đúng, vì khi tần số tăng, tụ xem như bị nối tắt.

Hàm chuyển:

(3.27)

Suất và pha:

 (f) = - tan-1 (2fRC)

Nếu đặt RC = , suất của hàm chuyển giảm đến tại tần số 1 Hz. Ta gọi đó là tần số cắt 3 db của lọc.

Hình 3. 14 chỉ suất và pha của mạch RC, so sánh với đường cong độ lợi của một lọc hạ thông lý tưởng có tần số cắt 1Hz.

Hình 3.14: Các đặc tuyến của lọc RC

Ta xem đáp ứng xung lực của 2 hệ thống.

- Đối với lọc hạ thông lý tưởng:

(3.28)

- Đối với mạch RC, với RC = 2:

h(t) = e - 2 t(3.29)

***SORRY, THIS MEDIA TYPE IS NOT SUPPORTED.*** Hai đáp ứng này vẽ ở Hình 3.15. Ở đây, ta đã chọn tùy ý thời trễ của mạch hạ thông lý tưởng là 10 sec để hình vẽ dễ phân biệt.

Hình 3.15: So sánh các đáp ứng xung lực.

Bây giờ hãy xem sóng vuông vào hai mạch lọc. Ta dùng một sóng vuông có tần số cơ bản là 1/4Hz (bằng cách dùng số hạng đầu tiên khác zero của chuỗi Fourier), hình 3.16a.

Lọc hạ thông lý tưởng với tần số cắt 1Hz chỉ cho qua hai số hạng đầu tiên khác Zero (đó là, tần số 1/4Hz và 3/4Hz). Trong khi đó, mạch RC (với sự giảm 3dB ở 1 Hz)làm méo đáng kể các thành phần này (Hình 3.16b). Không chỉ thế, nó còn thu nhận năng lượng tín hiệu tại tần số cắt.

Hình 3.16: So sánh đáp ứng của sóng vuông với 2 lọc.

Có một vài loại mạch xấp xỉ với lọc hạ thông lý tưởng. Mỗi loại biểu lộ những tính chất riêng.

1. Lọc Butteworts làm mất sóng dư trong dãy tần số đi qua và làm giảm các tần số không mong muốn ngoài dãy này. Nó được xem là loại lọc làm phẳng tối đa.
2. Lọc Chebyshev giảm các tần số không mong muốn hiệu quả hơn lọc Butteworts, nhưng làm phẳng sóng dư kém hơn.
3. Các lọc cổ điển quan trọng khác gồm lọc Bessel, Papoulis, Gauss.

Ta chú ý đến lọc Butteworts:

Biên độ của lọc hạ thông lý tưởng có thể tính xấp xỉ bởi hàm:

(3.30)

Hàm này được vẽ, với vài trị giá của n, như hình 3.17. Ta chỉ vẽ nữa dương của trục f, vì hàm chẳn. Chọn fm = cho hình vẽ. (Khi thiết kế có thể chọn bất kỳ tần số cắt nào). Nhớ là khi n chọn lớn, đặc tuyến Butteworts sẽ tiến đến đặc tuyến của lọc hạ thông lý tưởng.

Nếu h(t) thực (Vì là hệ thống vật lý ), phần thực của H(f) chẳn, trong khi phần ảo lẽ. Vậy :

H(f) = H * (-f )(3.31)

và H (f)2 = H(f)H*(f)(3.32)

Hình 3.17: Hàm độ lợi Butteworts

Tương đương. Thiết kế một lọc Butteworts cấp 3 (n = 3) với tần số cắt fm =

Giải:

Từ phương trình (3.30) ta có:

Đổi nó về biến đổi laplace bằng cách đặt s = j2f. Quan sát vị trí tương đối của các lực và zero của hàm:

Các lực của H(s)2 là 6 nghiệm đơn vị. Chúng cách điều nhau quanh vòng tròn đơn vị. Ba cực kết hợp với H(S) ba nữa mặt phẳng trái. Ba cực kia với H(-S). Vậy H(S) được tính từ các lực của nó:

(3.33)

Nếu v (t) là đáp ứng và i(t) là nguồn, hàm hệ thống của phương trình (3.33) tương ứng với mạch của hình hình 3.19a.

(b)

Hình 3.19: Lọc Butteworts cấp 3