0.1 Phân tích tín hiệu  (Page 6/7)

Ta cũng có thể chứng minh:

R(f) * S(f)  r(t) . s(t) (2.45)

Bằng cách tính biến đổi Fourrier ngược.

Ví dụ 9: Dùng định lý phép chồng để tính tích phân sau:

Giải:

Tích phân trên biểu diễn phép chồng của 2 hàm theo thời gian:

sin

2-3/23/2-1/21/2-1/21/2tttF F x=Biến đổi Fourrier của tích phân là tích của biến đổi Fourrier của 2 hàm. Hai biến đổi này có thể xem ở bảng phụ lục.

Hình 2.17 Tích của hai biến đổi Fourier từ s(t) và r(t).

Lấy biến đổi Fourrier ngược của tích này, ta sẽ có kết quả của phép chồng. Đó là:

Định lý parseval

Dạng sóng của một hàm và của biến đổi Fourrier của nó thì rất ít giống nhau. Tuy nhiên, một vài hệ thức hiện hữu giữa năng lượng của một hàm thời gian và năng lượng của biến đổi Fourrier của nó.

Dùng “ năng lượng “ để chỉ tích phân của bình phương của hàm. Từ này được dùng và nó biểu diễn trị giá năng lượng ( watt - sec ) tiêu tán trong điện trở 1 nếu tín hiệu là điện thế hoặc dòng điện ngang qua điện trở.

Ta có:

r(t) s(t)  R(f) * S(f)

F [ r(t) s(t) ] =

=

Vì đẳng thức này đúng với mọi f, ta đặt f = 0. Khi đó:

Biểu thức (2.47) là một dạng của công thức Paseval. Nó liên quan đến năng lượng nên ta xét trường hợp đặc biệt:

s(t) = r * (t)

r*(t) là liên hợp của r(t).

F [ r*(t)] cho bởi liên hợp của biến đổi Fourrier, bị phản xạ qua trục dọc. Đó là R*(-f).

Dùng kết quả của (2.47), ta được:

(2.48)

Phương trình (2.48) chứng tỏ rằng năng lượng của hàm theo t thì bằng với năng lượng của biến đổi Fourrier của nó.

Những tính chất của biến đổi fourrier

Thực / ảo - chẳn / lẻ.

Bảng sau đây tóm tắt những tính chất của biến đổi Fourrier dựa trên sự quan sát quan sát hàm theo t.

Có thể dùng công thức Euler để chứng minh:

S(f ) =

=

= R + j X

R là một hàm chẳn của f vì khi f được thay bằng -f thì hàm không đổi. Tương tự, X là một hàm lẻ của f.

Nếu s(t) giả sử là thực, R trở thành phần thực của biến đổi và X là phần ảo. Vậy tính chất A đã được chứng minh.

Nếu s(t) thực và chẳn, thì X = 0. Điều này đúng vì X lẻ ( tích của hàm chẳn và lẻ ) và tích phân là 0. Vậy tính chất B đã được chứng minh.

Nếu s(t) thực và lẻ, R = 0. ( Tính chất C ).

Nếu s(t) ảo, X trở thành phần ảo của biến đổi và R là phần thực. Từ quan sát đơn giản đó, các tích chất D, E, F dễ dàng được chứng thật.

Dời thời gian ( time shift ).

Biến đổi Fourrier của một hàm thời gian bị dời thì bằng với biến đổi của hàm thời gian gốc nhân bởi một hàm expo phức.

e-j2fot S(f)  s(t - t0 )

(2.49)

Ví dụ 10: Tìm biến đổi Fourrier của:

s(t) =

12ts(t)Hình 2.18 Dạng tín hiệu s(t).

Giải: Từ định nghĩa ta có:

S(f ) =

= e-j2f

Kết quả này có thể thu được từ việc dùng một hàm nấc trong ví dụ 4 và tính chất dời thời gian. s(t) ở ví dụ 10 trên đây thì giống như ở ví dụ 4 ( Với A =  = 1), ngoại trừ việc dịch thời gian 1 sec.

Dời tần số ( frequency shift ).

Hàm theo thời gian tương ứng với một biến đổi Fourrier dời tần thì bằng với hàm theo thời gian của biến đổi không dời tần nhân với 1 hàm expo phức.