0.1 Phân tích tín hiệu  (Page 2/7)

=

Ta đã đổi biến số ở số hạng sau. Vậy Cn liên hệ với an:

Cn =

Cn =

Cn =

Trong trường hợp này, Cn là số thực. Nên chỉ cần vẽ một đồ hình.

nf02/2/32/351-1-2-3233-2/15

Hình 2.4: Phổ vạch của ví dụ 2 .

Biến đổi fourrier:

Một tín hiệu không tuần hoàn được xem như là trường hợp giới hạn của một tín hiệu tuần hoàn, trong đó chu kỳ T của tín hiệu tiến đến . Nếu chu kỳ tiến đến , tần số căn bản F0 tiến đến 0. Các họa tần khép lại với nhau và, trong giới hạn, tổng chuỗi Fourrier biểu diễn cho s(t) sẽ trở thành một tích phân.

F [s(t)] = S(f)***SORRY, THIS MEDIA TYPE IS NOT SUPPORTED.*** $\underset{\text{-¥}}{\overset{\yen }{\int }}s(t)e^{-\mathrm{j2p}\text{ft}}\text{dt}$

(2.10)

F [.] kí hiệu cho biến đổi Fourrier của [.].

Nó còn được gọi là phổ - hai - phía ( Two - Side - Spectrum ) của s(t), vì cả hai thành phần tần số dương và âm đều thu được từ (2.10). Giả sử s(t) là một hàm thực (vật lý).

Một cách tổng quát, S(f) là một hàm phức theo tần số. S(f) có thể phân làm hai hàm thực X(f) và Y(f) :

S(f) = X(f) + jY(f) (2.11)

Dạng trên gọi là dạng Cartesian, vì S(f) có thể được biểu diễn trong một hệ trục tọa độ Descartes. Cũng có thể biểu diễn S(f) trong một hệ trục cực. Khi đó, cặp hàm thực sẽ trình bày suất và pha.

S(f) = S(f)  ej(f)

(2.12)

Với :

S(f) =

và:

(f) = tan-1

Dạng trên đây còn gọi là dạng cực ( Polar form ).

Để xác định những tần số nào hiện hữu, ta khảo sát phổ của xuất S(f). ( Đôi khi gọi tắt là ” Phổ “ ).

Phổ của một dạng sóng ( dòng hay thế ) có thể thu được từ những phép tính toán học. Nó không xuất hiện một cách vật lý trong các mạch điện thực tế. Tuy nhiên có thể dùng Spectrum Analyser để quan sát một cách gần đúng.

* Để phục hồi lại s(t) từ biến đổi Fourrier của nó, ta tính tích phân sau:

s(t) = $\underset{\text{-¥}}{\overset{\yen }{\int }}S(f)e^{\mathrm{j2p}\text{ft}}\text{dt}$ = F -1 [S(f)]

(2.15)

Phương trình này thường gọi là biến đổi ngược của S(f). Hai hàm s(t) và S(f) tạo thành một cặp biến đổi Fourrier. Trong đó, s(t) diễn tả trong phạm vi thời gian, còn S(f) diễn tả trong phạm vi tần số.

Ký hiệu cho một cặp biến đổi Fourrier :

S(f)  s(t) s(t)  S(f)

Hoặc(2.16)

Nếu tín hiệu hoặc nhiễu được mô tả trong phạm vi này, thì sự mô tả tương ứng trong phạm vi kia sẽ được biết nhờ cách dùng (2.10) hoặc (2.15).

Dạng sóng s(t) có thể biến đổi Fourrier được nếu nó thỏa các điều kiện Dirichelet. Tuy nhiên, tất cả các dạng sóng vật lý trong kỷ thuật đều thỏa các điều kiện đó.

Ví dụ 3: Phổ của một xung expo.

Đặt s(t) là một xung expo tắt ( Decaying Exponential Pulse ) bị ngắt ( Switched ) tại t = 0.

s(t) =

Phổ của xung này có được bằng dùng phép biến đổi Fourrier.

S(f) =

S(f) = $\frac{1}{1+\mathrm{j2pf}}$

(2.17)

Phổ của S(f) có thể tính bằng cách hữu tỷ hóa mẫu số (2.17)

X(f) =

Và dạng cực:

S(f)  =

Cặp Fourrier trong ví dụ trên:

Các hàm kỳ dị: ( singnlarity functions ).

Ta phải đưa vào một loại hàm mới trước khi nói đến những ứng dụng của lý thuyết Fourrier. Loại hàm này nổi lên bất cứ lúc nào ta phân giải các loại hàm tuần hoàn. Đó là một phần của nhóm các hàm kỳ dị. Chúng có thể những chuyển hóa của hàm nấc đơn vị.

Ví dụ 4. biến đổi fourrier của hàm cổng ( gating function ):

Tìm biến đổi của s(t), trong đó: