0.1 Giải phương trình vi phân bằng phương pháp số

2.1. GIỚI THIỆU.

Nhiều hệ thống vật lý phức tạp được biểu diễn bởi phương trình vi phân nó không có thể giải chính xác bằng giải tích. Trong kỹ thuật, người ta thường sử dụng các giá trị thu được bằng việc giải gần đúng của các hệ phương trình vi phân bởi phương pháp số hóa. Theo cách đó, lời giải của phương trình vi phân đúng là một giai đoạn quan trọng trong giải tích số.

Trong trường hợp tổng quát, thứ tự của việc làm tích phân số là quá trình từng bước chính xác chuổi giá trị cho mỗi biến phụ thuộc tương ứng với một giá trị của biến độc lập. Thường thủ tục là chọn giá trị của biến độc lập trong một khoảng cố định. Độ chính xác cho lời giải bởi tích phân số phụ thuộc cả hai phương pháp chọn và kích thước của khoảng giá trị. Một số phương pháp thường xuyên dùng được trình bày trong các mục sau đây.

2.2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ.

2.2.1 Phương pháp Euler:

Cho phương trình vi phân bậc nhất.

$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=f(x,y)$ (2.1)

yxyxy = g(x,c)y0x0Hình 2.1: Đồ thị của hàm số từ bài giải phương trình vi phân0

Khi x là biến độc lập và y là biến phụ thuộc, nghiệm phương trình (2.1) sẽ có dạng:

y = g(x,c) (2.2)

Với c là hằng số đã được xác định từ lý thuyết trong điều kiện ban đầu. Đường cong miêu tả phương trình (2.2) được trình bày trong hình (2.1). Từ chỗ tiếp xúc với đường cong, đoạn ngắn có thể giả sử là một đoạn thẳng. Theo cách đó, tại mỗi điểm riêng biệt (x0,y0) trên đường cong, ta có:

$\mathrm{\Delta y}\approx \frac{\text{dy}}{\text{dx}}{\mid }_0\mathrm{\Delta x}$

Với $\frac{\text{dy}}{\text{dx}}{\mid }_0$ là độ dốc của đường cong tại điểm (x0,y0). Vì thế, ứng với giá trị ban đầu x0 và y0, giá trị mới của y có thể thu được từ lý thuyết là x:

$y_1=y_0+\mathrm{\Delta y}$ hay $y_1=y_0+\frac{\text{dy}}{\text{dx}}{\mid }_{0}h$ (đặt h = x)

Khi y là số gia của y tương ứng với một số gia của x. Tương tự, giá trị thứ hai của y có thể xác định như sau.

$y_2=y_1+\frac{\text{dy}}{\text{dx}}{\mid }_{1}h$

xx0x1x2x3y0y1y2y3hhhy= g(x,c)Hình 2.2 : Đồ thị của lời giải xấp xỉcho phương trình vi phân bằng phương pháp Euler0y

Khi $\frac{\text{dy}}{\text{dx}}{\mid }_1=f(x_1,y_1)$

Quá trình có thể tính tiếp tục, ta được:

$y_3=y_2+\frac{\text{dy}}{\text{dx}}{\mid }_{2}h$

$y_4=y_3+\frac{\text{dy}}{\text{dx}}{\mid }_{3}h$

...........................

Bảng giá trị x và y cung cấp cho toàn bộ bài giải phương trình (2.1). Minh họa phương pháp như hình 2.2.

2.2.2. phương pháp biến đổi euler.

Trong khi ứng dụng phương pháp Euler, giá trị dy/dx của khoảng giả thiết tính toán bắt đầu vượt ra ngoài khoảng cho phép. Sự thay thế đó có thể thu được bằng cách tính toán giá trị mới của y cho x1 như trước.

x1 = x0 + h

$y_1^{(0)}=y_0+\frac{\text{dy}}{\text{dx}}{\mid }_{0}h$

Dùng giá trị mới x1 và y1(0) thay vào phương trình (2.1) để tính toán gần đúng giá trị của $\frac{\text{dy}}{\text{dx}}{\mid }_1$ tại cuối khoảng.

$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}{\mid }_1^{(0)}=f(x_1,y_1^{(0)})$

Sau đó tận dụng giá trị y1(1) có thể tìm thấy bởi dùng trung bình của $\frac{\text{dy}}{\text{dx}}{\mid }_0$ và $\frac{\text{dy}}{\text{dx}}{\mid }_1^{(0)}$ như sau:

$y_1^{(1)}=y_0+\frac{\frac{\text{dy}}{\text{dx}}{\mid }_0+\frac{\text{dy}}{\text{dx}}{\mid }_1^{(0)}}{2}h$

Dùng x1 và y1(1), giá trị xấp xỉ thứ ba y1(2) có thể thu được bởi quá trình tương tự như sau: $y_1^{(2)}=y_0+\frac{\frac{\text{dy}}{\text{dx}}{\mid }_0+\frac{\text{dy}}{\text{dx}}{\mid }_1^{(1)}}{2}h$

Ta được:

$y_1^{(3)}=y_0+\frac{\frac{\text{dy}}{\text{dx}}{\mid }_0+\frac{\text{dy}}{\text{dx}}{\mid }_1^{(2)}}{2}h$

Quá trình có thể tính tiếp tục cho đến khi hai số liền nhau ước lượng cho y là ngang bằng nằm trong phạm vi mong muốn. Quá trình hoàn toàn lặp lại thu được giá trị y2. Kết quả thu được có sự chính xác cao hơn từ sự biến đổi của phương pháp Euler được minh họa trong hình 2.3.