<< Chapter < Page Chapter >> Page >

Inleiding

In graad 10 het jy geleer van rekenkundige rye, waar die verskil tussen opeenvolgende terme konstant was. In hierdie hoofstuk leer ons van kwadratiese rye.

Wat is 'n kwadratiese ry ?

Kwadratiese ry

'n Kwadratiese ry is 'n ry waar die tweede verskille tussen opeenvolgende terme met dieselfde hoeveelheid verskil. Dit word 'n gemene tweede verskil genoem.

Byvoorbeeld

1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 11 ; ...

is 'n kwadratiese ry. Kom ons stel vas hoekom ...

Indien ons die verskil tussen opeenvolgende terme neem, is

a 2 - a 1 = 2 - 1 = 1 a 3 - a 2 = 4 - 2 = 2 a 4 - a 3 = 7 - 4 = 3 a 5 - a 4 = 11 - 7 = 4

dan werk ons die tweede verskille uit, wat bloot gekry word deur die verskille tussen opeenvolgende verskille { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ... } te neem:

2 - 1 = 1 3 - 2 = 1 4 - 3 = 1 ...

Ons sien dan dat die tweede verskille gelyk is aan "1". Dus is [link] 'n kwadratiese ry .

Let op dat die verskille tussen opeenvolgende terme (met ander woorde, die eerste verskille) van 'n kwadratiese ry, 'n ry vorm waar daar 'n konstante verskil is tussen opeenvolgende terme. In die voorbeeld hier bo, het die ry { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ... }, wat gevorm is die die verskille tussen opeenvolgende terme van [link] te neem, 'n linêere formule van die vorm a x + b .

Kwadratiese rye

Die volgende is ook voorbeelde van kwadratiese rye:

3 ; 6 ; 10 ; 15 ; 21 ; ... 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; ... 7 ; 17 ; 31 ; 49 ; 71 ; ... 2 ; 10 ; 26 ; 50 ; 82 ; ... 31 ; 30 ; 27 ; 22 ; 15 ; ...

Kan jy die gemene tweede verskille vir elk van die voorbeelde hier bo bereken?

Skryf neer die volgende twee terme en vind 'n formule vir die n de term in die ry 5 , 12 , 23 , 38 , . . . , . . . ,

  1. i.e. 7 , 11 , 15

  2. die tweede verskil is 4.

    As ons die ry voortsit, sal die verskille tussen terme die volgende wees:

    15 + 4 = 19

    19 + 4 = 23

  3. Dus sal die volgende twee terme in die reeks die volgende wees:

    38 + 19 = 57

    57 + 23 = 80

    Dus sal die ry die volgende wees: 5 , 12 , 23 , 38 , 57 , 80

  4. Ons weet dat die tweede verskil 4 is. Die begin van die formule sal dus 2 n 2 wees.

  5. Indien n = 1 , moet jy die volgende waarde in die ry kry, wat "5" vir hierdie spesifieke ry is. Die verskil tussen 2 n 2 = 2 en die oorspronklike getal (5) is 3, wat lei tot n + 2 .

    Kyk of dit werk vir die tweede terme, d.i. wanneer n = 2 .

    Dan is 2 n 2 = 8 . Die verskil tussen term twee en (12) en 8 is 4, wat geskryf kan word as n + 2 .

    Dus vir die ry 5 , 12 , 23 , 38 , . . . is die formule vir die n de term 2 n 2 + n + 2 .

Algemene geval

Indien die ry kwadraties is, moet die n de term T n = a n 2 + b n + c wees

TERME a + b + c 4 a + 2 b + c 9 a + 3 b + c
1 ste verskil 3 a + b 5 a + b 7 a + b
2 de verskil 2 a 2 a

In elke geval is die tweede verskil 2 a . Hierdie feit kan gebruik word om a te vind, dan b en dan c .

Die volgende ry is kwadraties: 8 , 22 , 42 , 68 , . . . Vind die formule.

  1. TERME 8 22 42 68
    1 ste verskil 14 20 26
    2 de verskil 6 6 6
  2. Dan is 2 a = 6 wat gee a = 3 En 3 a + b = 14 9 + b = 14 b = 5 En a + b + c = 8 3 + 5 + c = 8 c = 0
  3. Die formule is dus:     n de t e r m = 3 n 2 + 5 n

  4. Vir

    n = 1 , T 1 = 3 ( 1 ) 2 + 5 ( 1 ) = 8 n = 2 , T 2 = 3 ( 2 ) 2 + 5 ( 2 ) = 22 n = 3 , T 3 = 3 ( 3 ) 2 + 5 ( 3 ) = 42

Bepaling van die n de -term van 'n kwadratiese ry

Laat die n d e -term vir 'n kwadratiese ry gegee word deur

a n = A · n 2 + B · n + C

waar A , B and C konstantes is wat bepaal moet word.

a n = A · n 2 + B · n + C a 1 = A ( 1 ) 2 + B ( 1 ) + C = A + B + C a 2 = A ( 2 ) 2 + B ( 2 ) + C = 4 A + 2 B + C a 3 = A ( 3 ) 2 + B ( 3 ) + C = 9 A + 3 B + C
Laat d = a 2 - a 1 d = 3 A + B
B = d - 3 A

Die gemene tweede verskil word gekry vanaf

D = ( a 3 - a 2 ) - ( a 2 - a 1 ) = ( 5 A + B ) - ( 3 A + B ) = 2 A
A = D 2

Dus, vanuit [link] ,

B = d - 3 2 · D

Vanuit [link] ,

C = a 1 - ( A + B ) = a 1 - D 2 - d + 3 2 · D
C = a 1 + D - d

Uiteindelik word die algemene formule vir die n d e term van 'n kwadratiese ry gegee deur

a n = D 2 · n 2 + ( d - 3 2 D ) · n + ( a 1 - d + D )

Bestudeer die volgende patroon: 1; 7; 19; 37; 61; ...

  1. Wat is die volgende getal in die ry?
  2. Gebruik veranderlikes om 'n algebraïese formula op te stel wat die patroon veralgemeen.
  3. Wat sal die 100 ste term van die ry wees?
  1. Die getalle vermeerder met veelvoude van 6

    1 + 6 ( 1 ) = 7 , dan is 7 + 6 ( 2 ) = 19

    19 + 6 ( 3 ) = 37 , dan is 37 + 6 ( 4 ) = 61

    Dus is 61 + 6 ( 5 ) = 91

    Die volgende getal in die ry is 91.

  2. TERME 1 7 19 37 61
    1 ste verskil 6 12 18 24
    2 de verskil 6 6 6 6

    Die patroon sal 'n kwadratiese patroon opbring, aangesien die tweede verskille konstant is.

    Dus is a n 2 + b n + c = y

    Vir die eerste term: n = 1 , dan is y = 1

    Vir die tweede term: n = 2 , dan is y = 7

    Vir die derde term: n = 3 , dan is y = 19

    ensovoorts....

  3. a + b + c = 1 4 a + 2 b + c = 7 9 a + 3 b + c = 19
  4. verg. ( 2 ) - verg. ( 1 ) : 3 a + b = 6 verg. ( 3 ) - verg. ( 2 ) : 5 a + b = 12 verg. ( 5 ) - verg. ( 4 ) : 2 a = 6 a = 3 , b = - 3 e n c = 1
  5. Die algemene formule vir die patroon is 3 n 2 - 3 n + 1

  6. Vervang n met 100:

    3 ( 100 ) 2 - 3 ( 100 ) + 1 = 29 701

    Die waarde van die 100 ste term is 29 701.

Teken 'n grafiek van die terme van 'n kwadratiese ry

Die plot van a n vs. n lewer 'n paraboliese grafiek vir 'n kwadratiese ry,

gegee die kwadratiese ry

3 ; 6 ; 10 ; 15 ; 21 ; ...

Indien ons elke van die terme teenoor die ooreenstemmende indeks teken, kry ons die grafiek van 'n parabool.

Oefeninge

  1. Vind die eerste 5 terme van die kwadratiese ry gedefinieer deur:
    a n = n 2 + 2 n + 1
  2. Bepaal watter van die volgende rye kwadraties is deur die gemene tweede verskille te bereken:
    1. 6 ; 9 ; 14 ; 21 ; 30 ; ...
    2. 1 ; 7 ; 17 ; 31 ; 49 ; ...
    3. 8 ; 17 ; 32 ; 53 ; 80 ; ...
    4. 9 ; 26 ; 51 ; 84 ; 125 ; ...
    5. 2 ; 20 ; 50 ; 92 ; 146 ; ...
    6. 5 ; 19 ; 41 ; 71 ; 109 ; ...
    7. 2 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18 ; ...
    8. 3 ; 9 ; 15 ; 21 ; 27 ; ...
    9. 10 ; 24 ; 44 ; 70 ; 102 ; ...
    10. 1 ; 2 , 5 ; 5 ; 8 , 5 ; 13 ; ...
    11. 2 , 5 ; 6 ; 10 , 5 ; 16 ; 22 , 5 ; ...
    12. 0 , 5 ; 9 ; 20 , 5 ; 35 ; 52 , 5 ; ...
  3. Gegee a n = 2 n 2 , vind die waarde van n , a n = 242
  4. Gegee a n = ( n - 4 ) 2 , vind vir watter waarde van n , a n = 36
  5. Gegee a n = n 2 + 4 , vind die waarde van n , a n = 85
  6. Gegee a n = 3 n 2 , vind a 11
  7. Gegee a n = 7 n 2 + 4 n , vind a 9
  8. Gegee a n = 4 n 2 + 3 n - 1 , vind a 5
  9. Gegee a n = 1 , 5 n 2 , vind a 10
  10. Vir elke van die kwadratiese rye, vind die gemene tweede verskil, die formule vir die algemene term en gebruik dan die formule om a 100 te vind.
    1. 4 , 7 , 12 , 19 , 28 , ...
    2. 2 , 8 , 18 , 32 , 50 , ...
    3. 7 , 13 , 23 , 37 , 55 , ...
    4. 5 , 14 , 29 , 50 , 77 , ...
    5. 7 , 22 , 47 , 82 , 127 , ...
    6. 3 , 10 , 21 , 36 , 55 , ...
    7. 3 , 7 , 13 , 21 , 31 , ...
    8. 3 , 9 , 17 , 27 , 39 , ...

Questions & Answers

how to know photocatalytic properties of tio2 nanoparticles...what to do now
Akash Reply
it is a goid question and i want to know the answer as well
Maciej
Do somebody tell me a best nano engineering book for beginners?
s. Reply
what is fullerene does it is used to make bukky balls
Devang Reply
are you nano engineer ?
s.
what is the Synthesis, properties,and applications of carbon nano chemistry
Abhijith Reply
Mostly, they use nano carbon for electronics and for materials to be strengthened.
Virgil
is Bucky paper clear?
CYNTHIA
so some one know about replacing silicon atom with phosphorous in semiconductors device?
s. Reply
Yeah, it is a pain to say the least. You basically have to heat the substarte up to around 1000 degrees celcius then pass phosphene gas over top of it, which is explosive and toxic by the way, under very low pressure.
Harper
Do you know which machine is used to that process?
s.
how to fabricate graphene ink ?
SUYASH Reply
for screen printed electrodes ?
SUYASH
What is lattice structure?
s. Reply
of graphene you mean?
Ebrahim
or in general
Ebrahim
in general
s.
Graphene has a hexagonal structure
tahir
On having this app for quite a bit time, Haven't realised there's a chat room in it.
Cied
what is biological synthesis of nanoparticles
Sanket Reply
what's the easiest and fastest way to the synthesize AgNP?
Damian Reply
China
Cied
types of nano material
abeetha Reply
I start with an easy one. carbon nanotubes woven into a long filament like a string
Porter
many many of nanotubes
Porter
what is the k.e before it land
Yasmin
what is the function of carbon nanotubes?
Cesar
I'm interested in nanotube
Uday
what is nanomaterials​ and their applications of sensors.
Ramkumar Reply
what is nano technology
Sravani Reply
what is system testing?
AMJAD
preparation of nanomaterial
Victor Reply
Yes, Nanotechnology has a very fast field of applications and their is always something new to do with it...
Himanshu Reply
good afternoon madam
AMJAD
what is system testing
AMJAD
what is the application of nanotechnology?
Stotaw
In this morden time nanotechnology used in many field . 1-Electronics-manufacturad IC ,RAM,MRAM,solar panel etc 2-Helth and Medical-Nanomedicine,Drug Dilivery for cancer treatment etc 3- Atomobile -MEMS, Coating on car etc. and may other field for details you can check at Google
Azam
anybody can imagine what will be happen after 100 years from now in nano tech world
Prasenjit
after 100 year this will be not nanotechnology maybe this technology name will be change . maybe aftet 100 year . we work on electron lable practically about its properties and behaviour by the different instruments
Azam
name doesn't matter , whatever it will be change... I'm taking about effect on circumstances of the microscopic world
Prasenjit
how hard could it be to apply nanotechnology against viral infections such HIV or Ebola?
Damian
silver nanoparticles could handle the job?
Damian
not now but maybe in future only AgNP maybe any other nanomaterials
Azam
Hello
Uday
I'm interested in Nanotube
Uday
this technology will not going on for the long time , so I'm thinking about femtotechnology 10^-15
Prasenjit
can nanotechnology change the direction of the face of the world
Prasenjit Reply
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
Berger describes sociologists as concerned with
Mueller Reply
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
QuizOver.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Siyavula textbooks: wiskunde (graad 11). OpenStax CNX. Sep 20, 2011 Download for free at http://cnx.org/content/col11339/1.4
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Siyavula textbooks: wiskunde (graad 11)' conversation and receive update notifications?

Ask