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El modulo se ve como la descomposición de señales por medio de la expansión de bases ortonormales para proveer una representación alternativa. El modulo presenta varios ejemplos para resolver los problemas y vistos en diferentes tipos de espacios y dimensiones.

Idea principal

Cuando trabajamos con señales muchas veces esútil romper la señal en pequeñas, partes mas manejables. Por suerte en este momento usted ya ha sido expuesto al concepto de eigenvectores y su uso en la descomposición de una señal en una de sus posibles bases. Haciendo esto, somos capaces de simplificar el nuestro cálculo de señales y sistemas a través de las eigenfunciones de los sistemas LTI .

Ahora veremos una forma alternativa de representar las señales, a través del uso de una base ortonormal. Podemos pensar en una base ortonormal como un conjunto de bloques construidos que utilizamos para construir funciones. Construiremos la señal/ vector como una suma cargada de elementos base.

La función senoidal compleja 1 T ω 0 n t para todo n forma una base ortonormal para L 2 0 T .

En nuestras series de Fourier series la ecuación, f t n c n ω 0 n t ,el c n es solo otra representación de f t .

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Para la señal/ vector en un Espacio de Hilbert , la expansión de coeficientes es fácil de encontrar.

RepresentaciÓN alternativa

Recordando nuestra definición de base : Un conjunto de vectores b i en un espacio vectorial S es una base si

  • Las b i son linealmente independientes.
  • Los b i que generan S . Esto es, podemos encontrar α i , donde α i (escalares) tal que
    x x S x i α i b i
    donde x es un vector en S , α es un escalar en , y b es un vector en S .

La condición 2 en la definición anterior dice que podemos descomponer cualquier vector en términos de la b i . Condición 1 asegura que la descomposición es única .

α i provee una representación alternativa de x .

Veamos un simple ejemplo en 2 , donde tenemos el siguiente vector: x 1 2 Base Canónica: e 0 e 1 1 0 0 1 x e 0 2 e 1 Base Alternativa: h 0 h 1 1 1 1 -1 x 3 2 h 0 -1 2 h 1

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En general, dada una base b 0 b 1 y un vector x 2 , como encontramos α 0 y α 1 tal que

x α 0 b 0 α 1 b 1

Encontrando los alfas

Ahora tratemos con la pregunta que se presentóarriba sobre encontrar los α i 's en genral para 2 . Empezamos reescribiendo la asíque podemos apilar nuestras b i 's como columnas en una matriz de 2×2.

x α 0 b 0 α 1 b 1
x b 0 b 1 α 0 α 1

Este es un ejemplo sencillo, que muestra pequeños detalles de la ecuación anterior.

x 0 x 1 α 0 b 0 0 b 0 1 α 1 b 1 0 b 1 1 α 0 b 0 0 α 1 b 1 0 α 0 b 0 1 α 1 b 1 1
x 0 x 1 b 0 0 b 1 0 b 0 1 b 1 1 α 0 α 1

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Simplificando nuestra ecuaciÓN

Para hacer una notación simple, definimos los siguientes dos conceptos de la ecuación anterior:

  • Matriz de la Base : B b 0 b 1
  • Vector de Coeficientes : α α 0 α 1
Lo que nos da la siguiente ecuación:
x B α
que es mas equivalente a x i 1 0 α i b i .

Dada la base canónica, 1 0 0 1 , entonces tenemos la siguiente matriz de la base: B 0 1 1 0

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Para obtener las α i 's, resolvemos para el vector de coeficientes en la

α B x
Donde B es la matriz inversa matrix de B .


Veamos primero la base canónica y tratemos de calcular calculate α de ahi. B 1 0 0 1 I Donde I es la matriz identidad . Para poder resolver para α enocontremos primero la inversa de B (la cual es realmente trivial en este caso): B 1 0 0 1 Por lo tanto obtenemos, α B x x

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Ahora veamos una base un poco mas complicada de 1 1 1 -1 h 0 h 1 Enotnces nuestra base y nuestra inversa de la matriz de la base se convierte en: B 1 1 1 -1 B 1 2 1 2 1 2 -1 2 y para este ejemplo esto nos da que x 3 2 Ahora resolvemos para α α B x 1 2 1 2 1 2 -1 2 3 2 2.5 0.5 y obtenemos x 2.5 h 0 0.5 h 1

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Ahora dada la siguiente matriz de la base y x : b 0 b 1 1 2 3 0 x 3 2 Para este probelma haga un bosquejo de las bases y después represente x en términos de b 0 y b 1 .

Para poder representar x en términos de b 0 y b 1 seguimos los mismos pasos usados en los ejemplos anteriores. B 1 2 3 0 B 0 1 2 1 3 -1 6 α B x 1 2 3 Y ahora podemos escribir x en términos de b 0 y b 1 . x b 0 2 3 b 1 Y facilmente podemos sustituir nuestros valores conocidos de b 0 y b 1 para verificar nuestros resultados.

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Un cambio de base simplemente se ve como x desde una "perspectiva diferente." B transforms x de la base canónica a nuestra nueva base, b 0 b 1 . Nótese que es un proceso totalmente mecánico.

Extendiendo la dimensiÓN y el espacio

Podemos extender estas ideas más alla de 2 y verlas en n y n . Este procedimiento se extendiende naturalmente a dimensiones mas grandes (>2) . Dada la base b 0 b 1 b n 1 para n , queremos encontrar α 0 α 1 α n 1 tal que

x α 0 b 0 α 1 b 1 α n 1 b n 1
Otra vez, coloque la matriz de la base B b 0 b 1 b 2 b n 1 donde las columnas iguales a los vectores de la base y que siempre seráuna matriz de n×n (mientras que la matriz anterior no aparezca al cuadrado ya que dejamos términos en notación vectorial ). Podemos proceder a reescribir la x b 0 b 1 b n 1 α 0 α n 1 B α y α B x

Questions & Answers

find the 15th term of the geometric sequince whose first is 18 and last term of 387
Jerwin Reply
The given of f(x=x-2. then what is the value of this f(3) 5f(x+1)
virgelyn Reply
hmm well what is the answer
how do they get the third part x = (32)5/4
kinnecy Reply
can someone help me with some logarithmic and exponential equations.
Jeffrey Reply
sure. what is your question?
okay, so you have 6 raised to the power of 2. what is that part of your answer
I don't understand what the A with approx sign and the boxed x mean
it think it's written 20/(X-6)^2 so it's 20 divided by X-6 squared
I'm not sure why it wrote it the other way
I got X =-6
ok. so take the square root of both sides, now you have plus or minus the square root of 20= x-6
oops. ignore that.
so you not have an equal sign anywhere in the original equation?
is it a question of log
Commplementary angles
Idrissa Reply
im all ears I need to learn
right! what he said ⤴⤴⤴
what is a good calculator for all algebra; would a Casio fx 260 work with all algebra equations? please name the cheapest, thanks.
Kevin Reply
a perfect square v²+2v+_
Dearan Reply
kkk nice
Abdirahman Reply
algebra 2 Inequalities:If equation 2 = 0 it is an open set?
Kim Reply
or infinite solutions?
The answer is neither. The function, 2 = 0 cannot exist. Hence, the function is undefined.
Embra Reply
if |A| not equal to 0 and order of A is n prove that adj (adj A = |A|
Nancy Reply
rolling four fair dice and getting an even number an all four dice
ramon Reply
Kristine 2*2*2=8
Bridget Reply
Differences Between Laspeyres and Paasche Indices
Emedobi Reply
No. 7x -4y is simplified from 4x + (3y + 3x) -7y
Mary Reply
how do you translate this in Algebraic Expressions
linda Reply
Need to simplify the expresin. 3/7 (x+y)-1/7 (x-1)=
Crystal Reply
. After 3 months on a diet, Lisa had lost 12% of her original weight. She lost 21 pounds. What was Lisa's original weight?
Chris Reply
what's the easiest and fastest way to the synthesize AgNP?
Damian Reply
types of nano material
abeetha Reply
I start with an easy one. carbon nanotubes woven into a long filament like a string
many many of nanotubes
what is the k.e before it land
what is the function of carbon nanotubes?
I'm interested in nanotube
what is nanomaterials​ and their applications of sensors.
Ramkumar Reply
what is nano technology
Sravani Reply
what is system testing?
preparation of nanomaterial
Victor Reply
Yes, Nanotechnology has a very fast field of applications and their is always something new to do with it...
Himanshu Reply
good afternoon madam
what is system testing
what is the application of nanotechnology?
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anybody can imagine what will be happen after 100 years from now in nano tech world
after 100 year this will be not nanotechnology maybe this technology name will be change . maybe aftet 100 year . we work on electron lable practically about its properties and behaviour by the different instruments
name doesn't matter , whatever it will be change... I'm taking about effect on circumstances of the microscopic world
how hard could it be to apply nanotechnology against viral infections such HIV or Ebola?
silver nanoparticles could handle the job?
not now but maybe in future only AgNP maybe any other nanomaterials
I'm interested in Nanotube
this technology will not going on for the long time , so I'm thinking about femtotechnology 10^-15
can nanotechnology change the direction of the face of the world
Prasenjit Reply
At high concentrations (>0.01 M), the relation between absorptivity coefficient and absorbance is no longer linear. This is due to the electrostatic interactions between the quantum dots in close proximity. If the concentration of the solution is high, another effect that is seen is the scattering of light from the large number of quantum dots. This assumption only works at low concentrations of the analyte. Presence of stray light.
Ali Reply
the Beer law works very well for dilute solutions but fails for very high concentrations. why?
bamidele Reply
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
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QuizOver.com Reply

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Source:  OpenStax, Señales y sistemas. OpenStax CNX. Sep 28, 2006 Download for free at http://cnx.org/content/col10373/1.2
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