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f t 2 ω 0 t

Como lo hicimos en nuestro otro ejemplo usaremos una vez más la relación de Euler para representar nuestra función de seno en términos de funciones exponenciales. f t 1 2 ω 0 t ω 0 t Asi que nuestros coeficientes son c n 2 n -1 2 n 1 0

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f t 3 4 ω 0 t 2 2 ω 0 t

Una vez más utilizamos la misma técnica. Y al final nuestra función es f t 3 4 1 2 ω 0 t ω 0 t 2 1 2 2 ω 0 t 2 ω 0 t De esto podemos encontrar nuestros coeficientes: c n 3 n 0 2 n 1 1 n 2 0

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Coeficientes de fourier

En general f t , los coeficientes se pueden calcular por medio de al despejar por c n , lo cual requiere una pequeña manipulación algebraica (para una derivación completa de estos coeficiente por favor vea la sección titulada derivación para los coeficiente de Fourier . El resultado final da la siguiente ecuación general para estos coeficientes:

c n 1 T t T 0 f t ω 0 n t
La secuencia de números complejos n n c n es una representación compleja alterna de la función f t . Conocer los coeficientes Fourier c n es lo mismo que conocer f t y viceversa. Dada a una función periódica, la podemos trasformar en su representación de series de Fourier usando . Asímismo, podemos sacar la transformada inversa a una secuencia de números complejos, c n , usando para reconstruir la función f t .

Asícomo es una manera natural para representar las señales que son manipuladas por los sistemas LTI, las series de Fourier proveen una descripción par alas señales periódicas que son convenientes de muchas maneras. Al ver las series de Fourier f t , podemos inferir las propiedades matemáticas de f t como la propiedad de suavidad, la existencia de una simetría, asícomo el significado físico de las frecuencias.

Ejemplo: usando la ecuaciÓN del coeficiente de fourier

Aquíveremos un simple ejemplo que alo mas requiere el uso de para resolver los coeficientes de Fourier. Una vez que usted entienda la formula, la solución se convierte en un problema común de calculo. Encontrélos coeficientes de Fourier de la siguiente ecuación:

f t 1 t T 0

Nosotros comenzaremos al reemplazar nuestra función, f t , en . Nuestro intervalo de integración cambiara para igualar el intervalo especificado por la función c n 1 T t T 1 T 1 1 ω 0 n t Note que debemos considerar dos casos: n 0 y n 0 . Para n 0 podemos ver que después de inspeccionar el integral obtenemos. n n 0 c n 2 T 1 T Para n 0 , tenemos que tomar mas pasos para resolverlo. Empezaremos al observar el integral básico del integral que tenemos. Recordando nuestro cálculo estamos listos para integrar: c n 1 T 1 ω 0 n t T 1 T 1 ω 0 n t Ahora evaluaremos las funciones exponenciales para los límites dado s y expandiremos nuestra ecuación a: c n 1 T 1 ω 0 n ω 0 n T 1 ω 0 n T 1 Ahora multiplicaremos el lado derecho de nuestra ecuación por 2 2 y distribuiremos nuestro signo negativo dentro de nuestro paréntesis, podemos utilizar la relación de Euler para simplificar nuestra expresión a: c n 1 T 2 ω 0 n ω 0 n T 1 Ahora, recuerde que anteriormente definimos ω 0 2 T . Podemos resolver esta ecuación para T y sustituir en. c n 2 ω 0 ω 0 n 2 ω 0 n T 1 Finalmente, si cancelamos algunos términos llegaremos a nuestra respuesta final para los coeficientes de Fourier: f t : n n 0 c n ω 0 n T 1 n

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Resumen: ecuaciones de las series de fourier

Nuestra primera ecuación es la ecuación de síntesis , la cual construye nuestra función, f t , al combinar senosoldales.

Synthesis

f t n c n ω 0 n t
Nuestra segunda ecuación , llamada la ecuación de análisis, revela que tanto de cada sinusoidal existe en f t .

Analisis

c n 1 T t T 0 f t ω 0 n t
Donde hemos dicho que ω 0 2 T .
Entienda que nuestro intervalo de integración no tiene que ser 0 T nuestra ecuación de análisis. Podemos usar cualquier intervalo a a T de tamaño T .

Esta demostración le ayuda a sintetizar una señal al combinar los senosoidales, muy similar a la ecuación de síntesis para las series de Fourier. Vea aquí para instrucciones de como usar este demo.

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Source:  OpenStax, Señales y sistemas. OpenStax CNX. Sep 28, 2006 Download for free at http://cnx.org/content/col10373/1.2
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