6.1 Series de fourier: el método de eigenfunciones

Como lo hicimos en nuestro otro ejemplo usaremos una vez más la relación de Euler para representar nuestra función de seno en términos de funciones exponenciales. $$f(t)=\frac{1}{2i}(e^{i{\omega }_{0}t}-e^{-(i{\omega }_{0}t)})$$ Asi que nuestros coeficientes son $$c_n=\begin{cases}\frac{-i}{2} & \text{if $n=-1$}\\ \frac{i}{2} & \text{if $n=1$}\\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}$$

Una vez más utilizamos la misma técnica. Y al final nuestra función es $$f(t)=3+4\left(\frac{1}{2}\right)()(e^{i{\omega }_{0}t}+e^{-(i{\omega }_{0}t)})+2\left(\frac{1}{2}\right)()(e^{i\times 2{\omega }_{0}t}+e^{-(i\times 2{\omega }_{0}t)})$$ De esto podemos encontrar nuestros coeficientes: $$c_n=\begin{cases}3 & \text{if $n=0$}\\ 2 & \text{if $\left|n\right|=1$}\\ 1 & \text{if $\left|n\right|=2$}\\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}$$

Nosotros comenzaremos al reemplazar nuestra función, $f(t)$ , en . Nuestro intervalo de integración cambiara para igualar el intervalo especificado por la función $$c_n=\frac{1}{T}\int_{-T_1}^{T_1} 1()()e^{-(i{\omega }_{0}nt)}\,d t$$ Note que debemos considerar dos casos: $n=0$ y $n\neq 0$ . Para $n=0$ podemos ver que después de inspeccionar el integral obtenemos. $$\forall n, n=0\colon c_n=\frac{2T_1}{T}$$ Para $n\neq 0$ , tenemos que tomar mas pasos para resolverlo. Empezaremos al observar el integral básico del integral que tenemos. Recordando nuestro cálculo estamos listos para integrar: $$c_n=\frac{1}{T}\left(\frac{1}{i{\omega }_{0}n}\right)()(t, , , e^{-(i{\omega }_{0}nt)})$$ Ahora evaluaremos las funciones exponenciales para los límites dado s y expandiremos nuestra ecuación a: $$c_n=\frac{1}{T}\left(\frac{1}{-(i{\omega }_{0}n)}\right)()(e^{-(i{\omega }_{0}n{T}_1)}-e^{i{\omega }_{0}n{T}_1})$$ Ahora multiplicaremos el lado derecho de nuestra ecuación por $\frac{2i}{2i}$ y distribuiremos nuestro signo negativo dentro de nuestro paréntesis, podemos utilizar la relación de Euler para simplificar nuestra expresión a: $$c_n=\frac{1}{T}\left(\frac{2i}{i{\omega }_{0}n}\right)()\sin ({\omega }_{0}n{T}_1)$$ Ahora, recuerde que anteriormente definimos ${\omega }_0=\frac{2\pi }{T}$ . Podemos resolver esta ecuación para $T$ y sustituir en. $$c_n=\frac{2i{\omega }_0}{i{\omega }_{0}n\times 2\pi }\sin ({\omega }_{0}n{T}_1)$$ Finalmente, si cancelamos algunos términos llegaremos a nuestra respuesta final para los coeficientes de Fourier: $f(t)$ : $$\forall n, n\neq 0\colon c_n=\frac{\sin ({\omega }_{0}n{T}_1)}{n\pi }$$