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Usaremos una función cuadrada, junto con sus series de Fourier, para ver figures donde se muestra este fenómeno con detalles un poco mas matemáticos.

Función cuadrada

Las series de Fourier de esta señal nos dicen que sus lados derechos e izquierdos son“iguales”. Para entender el fenómeno de Gibbs, necesitaremos redefinir la manera en la que vemos la igualdad.

s t a 0 k 1 a k 2 k t T k 1 b k 2 k t T

Ejemplo

La siguiente nos muestra varias aproximaciones para las series de fourier de la función cuadrada , usando un número variado de términos escrito por K :

Fourier series approximation of a square wave

Aproximacion de las series de Fourier para sq t . El numero de terminos en la suma de Fourier esta indicada en cada grafica, la funcion cuadrada es mostrada en dos periodos con una linea quebradiza.

Cuando comparamos la función cuadrada con su representación de la series de Fourier , no se puede ver claramente que las dos son iguales. El hecho de que las series de fourier requieren más términos para una representación más exacta no es importante. Sin embargo, una inspección mas detallada revela un posible problema:¿la series de Fourier pueden igualar la función cuadrada en todos los valores de t ? ? En particular, en cualquier cambio de paso en la función, las series de fourier muestran un pico seguido por oscilaciones rápidas. Cuando se adhieren más términos a las series, las oscilaciones se vuelven más rápidas y más pequeñas, pero los picos no disminuyen. Consideremos intuitivamente esta pregunta matemática:¿puede una función discontinua, como la función cuadrada, ser expresada como una suma, aun si es infinita, de funciones continuas? Uno tiene que sospechar que de hecho no se puede expresar. Esta pregunta le produjo a Fourier criticas de la academia de ciencia Francesa (Lapace, Legendre, y Lagrande formaban parte del comitéde revisión) por muchos anos de su presentación en 1907. Esto no fue resuelto por mas se cien anos, y la solución es algo importante e interesante de entender para un punto de vista practico.

Estos picos en la series de fourier de la función cuadrada nunca desaparecen; son llamados el fenómeno de Gibb nombrado por el físico Americano Josiah Willard Gibb. Ocurran cada vez que las señales discontinuas, y siempre estarán presentes cuando la señal tiene brincos.

Redefiniendo igualdad

Regresemos a la pregunta de igualdad; como se puede justificar la señal de igualdad en la definición de la series de Fourier ? La respuesta parcial es que cada punto–todos los valores de t --la igualdad no es garantizada. Lo que los matemáticos del siglo 19 fue que el error RMS de las series de Fourier eran cero.

K rms ε K 0
Lo que significa es que la diferencia entre la señal actual y su representación en fourier puede no ser cero, pero el cuadrado de esta cantidad tiene una integral igual a¡ cero ! Es a través del valor de RMS que definimos igualdad: dos señales s 1 t , s 2 t se dicen ser iguales en el promedio cuadrado si rms s 1 s 2 0 . Estas señales se dicen ser iguales punto a punto si s 1 t s 2 t para todos los valores de t . Para las series de fourier, los picos del fenómeno de Gibbs tienen altura finita y anchura de cero: el error difiere de cero solo en punto aislado- cuando la señal periódica contiene discontinuidades- igual a 9% del tamaño de la discontinuidad. El valor de la función en conjunto de puntos finitos afecta el integral. Este efecto no explica la razón del porque definimos el valor de una función descontinúa en su discontinuidad. El valor que se escoja para esta discontinuidad no tiene una relevancia práctica para el espectro de la señal o el como el sistema responde a esta señal. Las series de fourier valoradas en“en”la discontinuidad es el promedio de los valores en cualquier lado del salto.

Questions & Answers

A golfer on a fairway is 70 m away from the green, which sits below the level of the fairway by 20 m. If the golfer hits the ball at an angle of 40° with an initial speed of 20 m/s, how close to the green does she come?
Aislinn Reply
cm
tijani
what is titration
John Reply
what is physics
Siyaka Reply
A mouse of mass 200 g falls 100 m down a vertical mine shaft and lands at the bottom with a speed of 8.0 m/s. During its fall, how much work is done on the mouse by air resistance
Jude Reply
Can you compute that for me. Ty
Jude
what is the dimension formula of energy?
David Reply
what is viscosity?
David
what is inorganic
emma Reply
what is chemistry
Youesf Reply
what is inorganic
emma
Chemistry is a branch of science that deals with the study of matter,it composition,it structure and the changes it undergoes
Adjei
please, I'm a physics student and I need help in physics
Adjanou
chemistry could also be understood like the sexual attraction/repulsion of the male and female elements. the reaction varies depending on the energy differences of each given gender. + masculine -female.
Pedro
A ball is thrown straight up.it passes a 2.0m high window 7.50 m off the ground on it path up and takes 1.30 s to go past the window.what was the ball initial velocity
Krampah Reply
2. A sled plus passenger with total mass 50 kg is pulled 20 m across the snow (0.20) at constant velocity by a force directed 25° above the horizontal. Calculate (a) the work of the applied force, (b) the work of friction, and (c) the total work.
Sahid Reply
you have been hired as an espert witness in a court case involving an automobile accident. the accident involved car A of mass 1500kg which crashed into stationary car B of mass 1100kg. the driver of car A applied his brakes 15 m before he skidded and crashed into car B. after the collision, car A s
Samuel Reply
can someone explain to me, an ignorant high school student, why the trend of the graph doesn't follow the fact that the higher frequency a sound wave is, the more power it is, hence, making me think the phons output would follow this general trend?
Joseph Reply
Nevermind i just realied that the graph is the phons output for a person with normal hearing and not just the phons output of the sound waves power, I should read the entire thing next time
Joseph
Follow up question, does anyone know where I can find a graph that accuretly depicts the actual relative "power" output of sound over its frequency instead of just humans hearing
Joseph
"Generation of electrical energy from sound energy | IEEE Conference Publication | IEEE Xplore" ***ieeexplore.ieee.org/document/7150687?reload=true
Ryan
what's motion
Maurice Reply
what are the types of wave
Maurice
answer
Magreth
progressive wave
Magreth
hello friend how are you
Muhammad Reply
fine, how about you?
Mohammed
hi
Mujahid
A string is 3.00 m long with a mass of 5.00 g. The string is held taut with a tension of 500.00 N applied to the string. A pulse is sent down the string. How long does it take the pulse to travel the 3.00 m of the string?
yasuo Reply
Who can show me the full solution in this problem?
Reofrir Reply
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Jobilize.com Reply

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Source:  OpenStax, Señales y sistemas. OpenStax CNX. Sep 28, 2006 Download for free at http://cnx.org/content/col10373/1.2
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