0.1 Phân tích tín hiệu  (Page 5/7)

u(t -  + 2) = 0 , >t + 2

và u(t -  - 2) = 0, >t - 2

Ta có:

( Vì rằng t + 2>-1 hoặc t>-3. Ở khoảng khác, tích phân là zero).

- Nếu t - 2>-1 hoặc t>1,

- Nếu t + 2>+1 hoặc t>-1,

- Nếu t - 2>1 hoặc t>3,

Dùng 4 kết quả đó ta có:

r(t) * s(t) = ( t + 3)u(t + 3) - (t - 1)u(t - 1) - (t + 1)u(t + 1) + (t - 3)u(t - 3)

ttttt(t+3)U(t+3)(t-3)U(t-3)-(t+1)U(t+1)-(t-1)U(t-1)r(t)*s(t)2-1-2-3-41234-1-1133-3Bốn số hạng này và tổng của chúng được vẽ như hình dưới đây. Từ ví dụ khiêm tốn này, ta có thể thấy rằng nếu r(t) hoặc s(t) chứa hàm nấc, thì cách tính phép chồng trở nên rất lúng túng.

Hình 2.12 Phép chồng của tín hiệu r(t) và tín hiệu s(t).

Phép chồng đồ hình ( graphical convolution )

Nếu r(t) và s(t) quá phức tạp, hoặc dạng sóng không được biết chính xác, ta có thể dùng phép chồng đồ hình. Phương pháp này dùng những quan sát và kiểm tra tổng quát mà không phải tính chi tiết các tích phân. Trong nhiều áp dụng thông tin, phương pháp này thì đủ mà không cần thiết phải tính một phép chồng chính xác.

Ví dụ 8: Dùng phép chồng đồ hình cho 2 hàm ở ví dụ 7.

t	11-111-111-111-111-111-111-111-111-111-111-111-11-6-2-5-1-4.5-.5-4-3.5.5-31-2.51.5-22-1.52.5-13-.53.515-11-11-11-11-11-.51-1.5-1-1-.511111111111111111111111r(t)	s(t-)	r()s(t-)	Diện tích
-4				0
-3				0
2				1
-1				2
				2
0				2
				2
1				2
3				0

Ảnh qua gương của s() là s( - ). Đó là s() được phản xạ qua trục đứng.

Với một t cho sẵn, ta lập s(t - ), biểu diễn cho hàm s( - ) bị dời về phía phải bởi t. Sau đó, ta lấy tích số:

r(t) s(t)( t -  )

Và lấy tích phân của tích số này ( chính là tìm diện tích ) để có được trị giá của phép chồng ứng với trị giá của t.

Hình trên đây trình bày 12 khung của sự dời hình. Với ví dụ đặc biệt này, không bắt buộc s(t) phải phản xạ để có ảnh qua gương, vì s(t) là một hàm chẳn.

Nhớ là diện tích của tích số biểu diễn cho trị giá của phép chồng. Diện tích này được vẽ thành một chuỗi các điểm. Có thể thấy là kết quả giống như ở ví dụ 7.

2231-1-2-3r(t)*s(t)tĐường nối các điểm là đường thẳng. Điều đó hiển nhiên, vì phép chồng trở thành tích phân của một hằng. Kết quả cho một hàm dốc ( Ramp Function ).

Hình 2.14 Kết quả phép chồng đồ hình của s(t) và r(t).

r(t)s(t)1113-11ttVí dụ 9: Tính phép chồng ( bằng đồ hình ) của 2 hàm sau đây: (Sinh viên tự giải)

Hình 2.15 Tín hiệu s(t) và r(t) .

Bây giờ ta xem phép chồng của một hàm bất kỳ với xung lực (t).

(T) * s(t) =

Như vậy một hàm bất kỳ chồng với một xung lực thì giữ nguyên không thay đổi.

Hình 2.16 Kết quả phép chồng đồ hình của s(t) và r(t)

Nếu ta chồng s(t) với xung lực bị dời ( Shifted ) (t - t0), ta thấy:

(t - t0) * s(t) =

Tóm lại, phép chồng s(t) với một xung lực không làm thay đổi dạng hàm của s(t). Có thể chỉ gây nên một sự dời thời gian trong s(t) nếu xung lực không xảy ra tại t = 0.

Giờ ta đã có khái niệm về thuật toán gọi là “ phép chồng “. Ta hãy trở lại phép biến đổi Fourrier. Định lý về phép chồng:

Nếu r(t)  R(f)

Và s(t)  S(f)

Thì: r(t) * s(t)  R(f). S(f)(2.44)

Có thể chứng minh trực tiếp định lý bằng cách tính biến đổi Fourrier của phép chồng.