0.2 Các hệ tuyến tính  (Page 6/6)

(3.35)

Hình 3.26: Đặc tính của lọc hạ thông lý tưởng.

Có hai nhận xét:

1- Bề rộng của vành lớn nhất của h(t) là 1/fm. Vậy nó tỉ lệ nghịch với khổ băng của tín hiệu. Thực vậy, vì khổ băng (Hiệu của tần số cao nhất và thấp nhất ) là fm , nên tích của độ rộng xung với khổ băng là 1.

2 - Vì hàm nấc là tích phân của xung lực, nên đáp ứng của hàm nấc là tích phân của đáp ứng xung lực. Đáp ứng hàm nấc vẽ ở hình 3.27.

Ta thấy rằng thời gian tăng (rise time) của đáp ứng này thì tỷ lệ nghịch với khổ băng của lọc. Thời gian tăng được định nghĩa là thời gian cần cho một tín hiệu đi từ trị giá đầu đến trị giá cuối dọc theo một đường dốc với hệ số góc không đổi bằng với độ dốc tối đa của hàm.

Hình 3.27 : Đáp ứng nấc của lọc hạ thông.

Độ dốc tối đa của a(t) là trị tối đa của h(t) đạo hàm của nó. Trị này được cho là 2fm. Vậy thời gian tăng của đáp ứng nấc :

(3.36).

Vì khổ băng của lọc là fm , ta thấy tr và khổ băng tỉ lệ ngược và tích của chúng là 0.5.

Mặc dù ta chỉ quan sát sự quan hệ ngược giữa thời gian tăng và khổ băng (hay độ rộng xung và khổ băng) đối với lọc hạ thông lý tưởng, nhưng điều này có thể áp dụng một cách tổng quát. Đó là, thời gian thì tỉ lệ ngược với khổ băng trong bất kỳ hệ thống nào. Tích của chúng là một hằng.

Bây giờ ta áp dụng nhận xét ấy vào trường hợp đặc biệt của khổ băng và độ rộng xung (Khổ xung - Pucse Width). Giả sử rằng một hàm thời gian và biến đổi F của nó vẽ ở hình 3.28.

Ta định nghĩa khổ xung T là chiều rộng của một hình chữ nhật mà chiều cao của nó định tại s(0), và diện tích bằng với diện tích nằm dưới đường biểu diễn xung. Nhớ rằng nó không phải là một định nghĩa đầy đủ trừ khi s(0) là cực đại của dạng sóng.

Hình 3.28: Khổ xung và khổ băng.

Tương tự, ta định nghĩa khổ băng BW, bằng cách dùng một xung trong phạm vi tần số (biến đổi F ) như hình 3.28b. Ta có :

T

BW (3.37)

Tích của chúng :

(3.38)

Dùng tích phân biến đổi F để tìm:

(3.39)

Biến đổi ngược để tìm:

(3.40)

Thay thế (3.39), (3.40) vào (3.38) :

TBW = 1(3.41)

Tích của khổ xung và khổ băng bằng 1. Hai thông số này thì tỉ lệ ngược. Điều này rất có ý nghĩa trong hệ thông tin số, ở đó nhịp truyền bit bị giới hạn bởi khổ băng của kênh.

Công suất và năng lượng.

Chủ đích đầu tiên của nhiều hệ thông tin là làm tăng tín hiệu đồng thời nén nhiễu. Đặc biệt hơn, ta muốn làm giảm công suất nhiễu ở ngỏ ra của hệ mà không làm giảm công suất tín hiệu: Hệ làm tăng tỷ số S/N.

Gọi Er là năng lượng của r(t):

(3.42)

Nếu r(t) là điện thế hoặc dòng điện ngang qua điện trở 1, Er sẽ là năng lượng tiêu tán nhiệt (W/sec).

Đối với những tín hiệu không bị giới hạn thời gian, Er thường là vô hạn. Thí dụ, r(t) là một hằng khác zero. Trong trường hợp này, ta phân chia năng lượng với thời gian trung bình, gọi là công suất trung bình Pr .

Pr (3.43)

Ta đã chủ tâm chuyển bình phương ra ngoài dấu trị tuyệt đối để nhấn mạnh rằng cả hai vị trí điều có cùng kết quả.

Nếu Er hữu hạn, Pr là zero và nếu Pr khác zero, Er phải vô hạn.

Người ta chia tín hiệu thành 3 nhóm dựa vào tính bị giới hạn của công xuất và năng lượng.

- Nhóm I: Pr = 0. Nhóm này chứa những tín hiệu có năng lượng hữu hạn. Phổ biến nhất là tín hiệu bị giới hạn thời gian.

- Nhóm II: 0<Pr< . Nhóm này chứa những tín hiệu có công xuất hữu hạn. Phổ biến nhất là tín hiệu thời gian tuần hoàn.

- Nhóm III: Pr   . Nhóm này có tính hòan chỉnh. Nhưng ta không gặp những tín hiệu có công xuất vô hạn trong thực tế. Vài tín hiệu, thú vị về mặt lý thuyết, thích nghi với nhóm này, thí dụ như đoàn xung lực tuần hoàn.

Phân tích phổ

Biến đổi F không hiện hữu trong đời sống thực tế. Nó là một công cụ toán học để giúp phân tích hệ thống.

Có những giới hạn nghiêm ngặt khi ta cố gắng tìm biến đổi F của một hàm thời gian được dùng trong một hệ Analog.

Giả sử r(t) là input của một lọc hạ thông lý tưởng, có hàm chuyển H(f) như hình 3.29. Biến đổi F cho bởi:

s(t) được cho bởi biến đổi ngược của S(f)

Hình 3.29

(3.44)

Nếu fH rất gần với fL (lọc dãy hẹp - narrwband filter), ta giả sử rằng xấp xỉ không đổi trên toàn khoảng của tích phân. Như vậy, nếu fav là tần số giữa của dãy lọc, ta có:

s(t)  ( fH + fL )[R(fav­) e j2favt + R(-fav­) e -j2favt ](3.45)

Vì R(-fav) = R * (fav), ta có:

Suất của output thì tỉ lệ với suất của biến đổi F của input tính tại fav . Pha thì bị dời bởi pha của R(fav).

Trong rất nhiều mạch phân tích phổ thực tế, lọc dãy thông được quét ngang bởi một khoảng tần số, và suất của output thay đổi xấp xỉ với R(f).

Có 3 nguồn sai số (error ). Thứ nhất, trong khi lọc dãy thông thì hẹp, khổ băng của nó thì khác zero. Điều này ảnh hưởng đến độ phân giải output. Thứ hai, lọc thì không lý tưởng. Cuối cùng, khi tần số giữa lọc thay đổi với thời gian (khi nó bị quét), output không nhất thiết tiến đến trị đúng của nó (steady state). Thời gian tăng của lọc thì tỉ lệ nghịch với khổ băng của nó. Vậy, lọc càng hẹp, càng được quét chậm hơn.