<< Chapter < Page Chapter >> Page >

Reduksie formule

Enige trigonometriese funksie wat se argument 90 ± θ , 180 ± θ , 270 ± θ is en 360 ± θ (dus - θ ) kan eenvoudig geskryf word in terme van θ . Byvoorbeeld, jy kon opgemerk het dat die cosinus-grafiek identies is aan die sinus-grafiek behalwe vir 'n fase verskuiwing van 90 . Dit kan dus afgelei word dat sin ( 90 + θ ) = cos θ .

Funksie waardes van 180 ± θ

Ondersoek : reduksie formules vir funksie waardes van 180 ± θ

  1. Funksie Waardes van ( 180 - θ )
    1. In die figuur lê P en P' op die sirkel met radius 2. OP vorm 'n hoek θ = 30 met die x -as. P het dus die koördinate ( 3 ; 1 ) . As P' die refleksie van P om die y -as (of die lyn x = 0 ) is, gebruik simmetrie om die koördinate van P' neer te skryf.
    2. Gee waardes vir sin θ , cos θ en tan θ .
    3. Deur gebruik te maak van die koördinate van P' bepaal: sin ( 180 - θ ) , cos ( 180 - θ ) en tan ( 180 - θ ) .
    1. Probeer om uit die resultate 'n verhouding tussen die funksie waardes van ( 180 - θ ) en θ te bepaal.
  2. Funksie waardes van ( 180 + θ )
    1. In die figuur lê P en P' op die sirkel met radius 2. OP vorm 'n hoek θ = 30 met die x -as. P het dus die koördinate ( 3 ; 1 ) . As P' die refleksie van P om die y -as (of die lyn x = 0 ) is, gebruik simmetrie om die koördinate van P' neer te skryf.
    2. Gee waardes vir sin θ , cos θ en tan θ .
    3. Deur gebruik te maak van die koördinate van P' bepaal: sin ( 180 + θ ) , cos ( 180 + θ ) en tan ( 180 + θ ) .

Ondersoek: reduksie formules vir funksie waardes van 360 ± θ

  1. Funksie waardes van ( 360 - θ )
    1. In die figuur lê P en P' op die sirkel met radius 2. OP vorm 'n hoek θ = 30 met die x -as. P het dus die koördinate ( 3 ; 1 ) . As P' die refleksie van P om die y -as (of die lyn x = 0 ) is, gebruik simmetrie om die koördinate van P' neer te skryf.
    2. Gee waardes vir sin θ , cos θ en tan θ .
    3. Deur gebruik te maak van die koördinate van P' bepaal: sin ( 360 - θ ) , cos ( 360 - θ ) en tan ( 360 - θ ) .

Dit is moontlik om 'n hoek groter as 360 te hê. Die hoek voltooi een omwenteling van 360 en dan gaan dit voort om die vereiste hoek te gee. Ons kry die volgende resultate:

sin ( 360 + θ ) = sin θ cos ( 360 + θ ) = cos θ tan ( 360 + θ ) = tan θ

Neem ook kennis, dat as k enige heelgetal is, dan is

sin ( k 360 + θ ) = sin θ cos ( k 360 + θ ) = cos θ tan ( k 360 + θ ) = tan θ

Skryf sin 293 as die funksie van 'n skerphoek.

  1. sin 293 = sin ( 360 - 67 ) = - sin 67

    waar ons die feit gebruik het dat sin ( 360 - θ ) = - sin θ . Toets, met behulp van jou sakrekenaar, dat hierdie waardes wel reg is:

    sin 293 = - 0 , 92 - sin 67 = - 0 , 92

Evalueer sonder 'n sakrekenaar:

tan 2 210 - ( 1 + cos 120 ) sin 2 225
  1. tan 2 210 - ( 1 + cos 120 ) sin 2 225 = [ tan ( 180 + 30 ) ] 2 - [ 1 + cos ( 180 - 60 ) ] · [ sin ( 180 + 45 ) ] 2 = ( tan 30 ) 2 - [ 1 + ( - cos 60 ) ] · ( - sin 45 ) 2 = 1 3 2 - 1 - 1 2 · - 1 2 2 = 1 3 - 1 2 1 2 = 1 3 - 1 4 = 1 12

Reduksie formules

  1. Skryf hierdie vergelykings as 'n funksie van slegs θ :
    1. sin ( 180 - θ )
    2. cos ( 180 - θ )
    3. cos ( 360 - θ )
    4. cos ( 360 + θ )
    5. tan ( 180 - θ )
    6. cos ( 360 + θ )
  2. Skryf die volgende trig funksies as 'n funksie van' n skerphoek:
    1. sin 163
    2. cos 327
    3. tan 248
    4. cos 213
  3. Bepaal die volgende sonder die gebruik van 'n sakrekenaar:
    1. tan 150 . sin 30 + cos 330
    2. tan 300 . cos 120
    3. ( 1 - cos 30 ) ( 1 - sin 210 )
    4. cos 780 + sin 315 . tan 420
  4. Bepaal die volgende deur dit te herlei na 'n skerphoek en met behulp van spesiale hoeke. Moenie 'n sakrekenaar gebruik nie:
    1. cos 300
    2. sin 135
    3. cos 150
    4. tan 330
    5. sin 120
    6. tan 2 225
    7. cos 315
    8. sin 2 420
    9. tan 405
    10. cos 1020
    11. tan 2 135
    12. 1 - sin 2 210

Funksie waardes van ( - θ )

Wanneer die argument van 'n trigonometriese funksie ( - θ ) is kan 360 by voeg sonder om die resultaat te verander. So vir sinus en kosinus het ons

sin ( - θ ) = sin ( 360 - θ ) = - sin θ
cos ( - θ ) = cos ( 360 - θ ) = cos θ

Funksie waardes van 90 ± θ

Ondersoek: reduksie formules vir funksie waardes van 90 ± θ

  1. Funksie waardes van ( 90 - θ )
    1. In die figuur lê P en P' op die sirkel met radius 2. OP vorm 'n hoek θ = 30 met die x -as. P het dus die koördinate ( 3 ; 1 ) . As P' die refleksie van P om die y -as (of die lyn x = 0 ) is, gebruik simmetrie om die koördinate van P' neer te skryf.
    2. Gee waardes vir sin θ , cos θ en tan θ .
    3. Deur gebruik te maak van die koördinate van P' bepaal: sin ( 90 - θ ) , cos ( 90 - θ ) en tan ( 90 - θ ) .
  2. Funksie waardes van ( 90 + θ )
    1. In die figuur lê P en P' op die sirkel met radius 2. OP vorm 'n hoek θ = 30 met die x -as. P het dus die koördinate ( 3 ; 1 ) . As P' die refleksie van P om die y -as (of die lyn x = 0 ) is, gebruik simmetrie om die koördinate van P' neer te skryf.
    2. Gee waardes vir sin θ , cos θ en tan θ .
    3. Deur gebruik te maak van die koördinate van P' bepaal: sin ( 90 + θ ) , cos ( 90 + θ ) en tan ( 90 + θ ) .

Komplementêre hoeke is positiewe skerphoeke wat gelyk is aan 90 . Bv. 20 en 70 is komplimentere hoeke.

Sinus en kosinus staan ​​bekend as ko-funksies . Twee funksies word ko-funksies genoem indien f ( A ) = g ( B ) whenever A + B = 90 (m.a.w. A en B is komplimentere hoeke). Die ander trig ko-funksies is secans en cosecans, en die tangens en cotangens.

Die funksie waarde van 'n hoek is gelyk aan die ko-funksie van sy komplement (die ko-ko-reël).

Dus het ons vir sinus en kosinus as

sin ( 90 - θ ) = cos θ cos ( 90 - θ ) = sin θ

Skryf elk van die volgende in terme van 40 deur gebruik te maak van sin ( 90 - θ ) = cos θ en cos ( 90 - θ ) = sin θ .

  1. cos 50
  2. sin 320
  3. cos 230
    1. cos 50 = cos ( 90 - 40 ) = sin 40
    2. sin 320 = sin ( 360 - 40 ) = - sin 40
    3. cos 230 = cos ( 180 + 50 ) = - cos 50 = - cos ( 90 - 40 ) = - sin 40

Funksie waardes van ( θ - 90 )

sin ( θ - 90 ) = - cos θ and cos ( θ - 90 ) = sin θ .

Hierdie resultate kan as volg bewys word:

sin ( θ - 90 ) = sin [ - ( 90 - θ ) ] = - sin ( 90 - θ ) = - cos θ

en so ook vir cos ( θ - 90 ) = sin θ

Opsomming

Die volgende opsomming kan gemaak word

tweede kwadrant ( 180 - θ ) or ( 90 + θ ) eerste kwadrant ( θ ) or ( 90 - θ )
sin ( 180 - θ ) = + sin θ alle trig funksies is positief
cos ( 180 - θ ) = - cos θ sin ( 360 + θ ) = sin θ
tan ( 180 - θ ) = - tan θ cos ( 360 + θ ) = cos θ
sin ( 90 + θ ) = + cos θ tan ( 360 + θ ) = tan θ
cos ( 90 + θ ) = - sin θ sin ( 90 - θ ) = sin θ
cos ( 90 - θ ) = cos θ
derde kwadrant ( 180 + θ ) vierde kwadrant ( 360 - θ )
sin ( 180 + θ ) = - sin θ sin ( 360 - θ ) = - sin θ
cos ( 180 + θ ) = - cos θ cos ( 360 - θ ) = + cos θ
tan ( 180 + θ ) = + tan θ tan ( 360 - θ ) = - tan θ
  1. Hierdie reduksie formules geld vir enige hoek θ . Vir gerief, werk ons gewoonlik met θ asof dit 'n skerphoek is, m.a.w. 0 < θ < 90 .
  2. By die bepaling van die funksie waardes van 180 ± θ , 360 ± θ and - θ verander die funksies nooit.
  3. By die bepaling van die funksie waardes van 90 ± θ and θ - 90 verander die funksies na sy ko-funksies (ko-ko-reel).

Funksie waardes van ( 270 ± θ )

Hoeke in die derde en vierde kwadrante kan geskryf word as 270 ± θ met θ 'n skerphoek. Soortgelyke reëls as bogenoemde is van toepassing. Ons kry

derde kwadrant ( 270 - θ ) vierde kwadrant ( 270 + θ )
sin ( 270 - θ ) = - cos θ sin ( 270 + θ ) = - cos θ
cos ( 270 - θ ) = - sin θ cos ( 270 + θ ) = + sin θ

Questions & Answers

what does nano mean?
Anassong Reply
nano basically means 10^(-9). nanometer is a unit to measure length.
Bharti
do you think it's worthwhile in the long term to study the effects and possibilities of nanotechnology on viral treatment?
Damian Reply
absolutely yes
Daniel
how to know photocatalytic properties of tio2 nanoparticles...what to do now
Akash Reply
it is a goid question and i want to know the answer as well
Maciej
characteristics of micro business
Abigail
for teaching engĺish at school how nano technology help us
Anassong
Do somebody tell me a best nano engineering book for beginners?
s. Reply
what is fullerene does it is used to make bukky balls
Devang Reply
are you nano engineer ?
s.
fullerene is a bucky ball aka Carbon 60 molecule. It was name by the architect Fuller. He design the geodesic dome. it resembles a soccer ball.
Tarell
what is the actual application of fullerenes nowadays?
Damian
That is a great question Damian. best way to answer that question is to Google it. there are hundreds of applications for buck minister fullerenes, from medical to aerospace. you can also find plenty of research papers that will give you great detail on the potential applications of fullerenes.
Tarell
what is the Synthesis, properties,and applications of carbon nano chemistry
Abhijith Reply
Mostly, they use nano carbon for electronics and for materials to be strengthened.
Virgil
is Bucky paper clear?
CYNTHIA
so some one know about replacing silicon atom with phosphorous in semiconductors device?
s. Reply
Yeah, it is a pain to say the least. You basically have to heat the substarte up to around 1000 degrees celcius then pass phosphene gas over top of it, which is explosive and toxic by the way, under very low pressure.
Harper
Do you know which machine is used to that process?
s.
how to fabricate graphene ink ?
SUYASH Reply
for screen printed electrodes ?
SUYASH
What is lattice structure?
s. Reply
of graphene you mean?
Ebrahim
or in general
Ebrahim
in general
s.
Graphene has a hexagonal structure
tahir
On having this app for quite a bit time, Haven't realised there's a chat room in it.
Cied
what is biological synthesis of nanoparticles
Sanket Reply
what's the easiest and fastest way to the synthesize AgNP?
Damian Reply
China
Cied
types of nano material
abeetha Reply
I start with an easy one. carbon nanotubes woven into a long filament like a string
Porter
many many of nanotubes
Porter
what is the k.e before it land
Yasmin
what is the function of carbon nanotubes?
Cesar
I'm interested in nanotube
Uday
what is nanomaterials​ and their applications of sensors.
Ramkumar Reply
what is nano technology
Sravani Reply
what is system testing?
AMJAD
preparation of nanomaterial
Victor Reply
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
QuizOver.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Siyavula textbooks: wiskunde (graad 11). OpenStax CNX. Sep 20, 2011 Download for free at http://cnx.org/content/col11339/1.4
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Siyavula textbooks: wiskunde (graad 11)' conversation and receive update notifications?

Ask