1.2 Pythagoras  (Page 3/3)

• Nog ’n voorbeeld: $\sqrt[3]{16x^2{y}^{5}2x^{2}y}$

• Skryf as produkte van magte: $\sqrt[3]{\text{16}{x}^2{y}^{5}2x^{2}y}$ = $\sqrt[3]{2^4{x}^2{y}^{5}2x^{2}y}$ = $\sqrt[3]{2^5{x}^4{y}^6}$
• Omdat ons die derdemagswortel soek, groepeer ons derdemagte: $\sqrt[3]{2^5{x}^4{y}^6}$ = $\sqrt[3]{2^3{x}^3{y}^6{2}^2{x}^1}$ = $\sqrt[3]{{\left(2{\text{xy}}^2\right)}^3\text{4x}}$
• Die wortelvorm oor die deel wat vereenvoudig kan word, word verwyder. $\sqrt[3]{{\left(2{\text{xy}}^2\right)}^{3}4x}$ = $2{\text{xy}}^2\sqrt[3]{\mathrm{4x}}$
• Die vereenvoudigde deel is ’n koëffisiënt; die res bly as ’n wortelvorm.

Let op dat ons dit net kan doen as ons faktore in die wortel het; m.a.w. ons kan dit nie doen as ons ’n somuitdrukking het nie.

• Vereenvoudig hierdie wortelvorme so ver moontlik:

2.1 $\sqrt{\text{25}{a}^5{b}^3{c}^2}$ 2.2 $\sqrt[3]{\text{81}{x}^9{y}^{\text{12}}}$ 2.3 $\sqrt{\text{16}{\left(a+b\right)}^2}$

einde van KLASWERK

VERRYKINGSOPDRAG

1. Soos jy gesien het, het die meeste reghoekige driehoeke nie sye met natuurlike getalle as lengtes nie. Daardie reghoekige driehoeke wat wel natuurlike getalle as sylengtes het, is egter baie interessant. Die bekende (3 ; 4 ; 5)-driehoek is een van hulle. Ons noem hierdie groepe van drie getalle Drietalle van Pythagoras .

1.1 Neem groepe van drie getalle uit die volgende lys en probeer om al die drietalle van Pythagoras te kry.

3 ; 4 ; 5 ; 12 ; 13 ; 35 ; 36 ; 37 ; 77 ; 84 ; 85

einde van VERRYKINGSOPDRAG

Daar is baie verskillende maniere om die Stelling van Pythagoras te bewys.

• ’n Wiskundige in Amerika het, as ’n stokperdjie, soveel bewyse bymekaargemaak (meer as vier honderd) dat hy ’n boek gepubliseer het wat net uit die bewyse bestaan.

Assessering

Memorandum

TOETS

Waar toepaslik, gee antwoorde benaderd tot 1 desimale plek.

1. Skryf die Stelling van Pythagoras volledig in woorde neer.

2. Bereken die skuinssy van Δ ABC as hoek A ‘n regte hoek is en b = 15 mm en c = 20 mm.

3. Δ PQR het ‘n regte hoek by R . PR = QR . Bereken die lengte van sye PR en QR as QP = 15 cm.

4. Is Δ DEF reghoekig as DF = 16 cm, DE = 14 cm en EF = 12 cm?

5. Watter soort driehoek is Δ XYZ as YZ = 24 cm, XY = 10 cm en XZ = 26 cm? Gee volledige redes.

Memorandum

1. In ‘n reghoekige driehoek is die kwadraat van die skuinssy se lengte gelyk aan die som van die kwadrate van die lengtes van die ander twee sye.

2. Skuinssy = a . a ² = 15 ² + 20 ² = 225 + 400 = 625 a = 25 Skuinssy is 25 mm

3. PR ² + QR ² = QP ² 2( PR ) ² = 15 ² 2( PR ) ² = 225 PR ² = 112,5 PR ≈ 10,6 cm

4. LK = 16 ² = 256

RK = 14 ² + 12 ² = 196 + 144 = 340

LK ≠ RK , dus is Δ DEF nie reghoekig nie.

5 LK = 26 ² = 676

RK = 24 ² + 10 ² = 576 + 100 = 676

LK = RK , dus is Δ XYZ reghoekig met hoek Y ‘n regte hoek.

6 Skryf die volgende wortelvorme in eenvoudigste vorm:

6.1 $\sqrt{\text{12}}$

6.2 $\sqrt{\text{50}{a}^3{b}^5}$

6.3 $\sqrt[4]{\text{64}{\left(a-1\right)}^{4}b}$

Memoranda

ONDERSOEK

• As die a , b , c -simbole verwarrend is, teken gerus ‘n driehoek vir leiding om die tabel te voltooi. Dit sal waarskynlik nodig wees om individuele aandag aan daardie leerders te gee wat as ‘n gevolg van swak meettegnieke nie die verwagte antwoorde lewer nie.
• Die vierkante behoort gekopieer te word sodat dit uitgeknip kan word.

2.1 Hier is die baie bekende “bewys” van die Stelling van Pythagoras. Hierdie werk word weer aangespreek waar gelykvormigheid behandel word.

KLASWERK

Dit is baie belangrik dat leerders die gewoonte ontwikkel om realistiese sketse te maak.

2.1.1 EF = d d ² = 12 ² + 5 ² = 144 + 25 = 169 = 13 ² d = 13

2.1.2 XY = 4

3.1.1 skuinssy ² = 81 + 81 = 162 skuinssy ≈ 12,73 cm

3.1.2 PR ² + RQ ² = 2 ( PR ) ² – gelykbenig 2( PR ) ² = 13,5 ² PR ≈ 9,55 cm

4. Om dat GH die langste sy is, moet dit dus die skuinssy wees – dus is K ‘n regte hoek.

4.1.1 LK = c ² = 50 ² = 2 500 mm ²

RK = a ² + b ² = 30 ² + 40 ² = 2500 mm ²

LK = RK dus is driehoek reghoekig; C is die regte hoek.

4.1.2 LK = 225 cm ² RK = 64 + 169 = 233 cm ²

LK ≠ RK dus is driehoek nie reghoekig nie.

4.1.3 LK = 242,11 cm ² RK = 121 + 121 = 242 cm ²

LK ≠ RK maar hulle is amper gelyk; hoek P is baie naby aan 90°.

HUISWERKOPDRAG

1.1 a = 12 mm

1.2 o = 10 cm

2.1 Nee

2.2 Baie naby – hoek Z ≈ 90°

KLASWERK

Memorandum

1 $\sqrt{\text{64}}=8$ pas nie in die tabel nie.

2.1 ${\mathrm{5a}}^2\text{bc}\sqrt{\text{ab}}$

2.2 ${\mathrm{3x}}^3{y}^4\sqrt[3]{3}$

2.3 4( a+b )

VERRYKINGSOPDRAG

• Groepeer leerders en vra hulle om mekaar se werk na te gaan en sodoende kan die hele klas uiteindelik besluit oor die antwoord.