Lý thuyết cơ bản về quy hoạch tuyến tính  (Page 5/8)

Ví dụ : xét quy hoạch tuyến tính chính tắc

$\begin{array}{}\text{max}\text{z}(x)={\text{2x}}_1+{\mathrm{3x}}_2\\ {\mathrm{4x}}_1+{\mathrm{2x}}_2+x_3=5\\ x_1+{\mathrm{3x}}_2=1\\ \\ \\ \\ \begin{array}{}{x}_1,x_2,x_3\ge 0\\ \begin{array}{}\{\end{array}\end{array}\\ \end{array}$

Với hệ A1 A2 ta tính được $x^1={\left[\begin{array}{ccc}\frac{\text{13}}{3}& -\frac{1}{\text{10}}& 0\end{array}\right]}^T$

Với hệ A1 A3 ta tính được $x^2={\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\end{array}\right]}^T$

Với hệ A2 A3 ta tính được $x^3={\left[\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{3}& \frac{\text{13}}{3}\end{array}\right]}^T$

Vì các thành phần của phương án cực biên là>0 nên ta chi xét x2 và x3 . Khi đó :

z(x2)=2.1+3.0=2

z(x3)=2.0+3.1/3=1

Vậy $x^2={\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\end{array}\right]}^T$ là một phương án tối ưu.

Định lý

Điều kiện cần và đủ để một quy hoạch tuyến tính có phương án tối ưu là tập các phương án không rỗng và hàm mục tiêu bị chặn.

Định lý

Nếu tập các phương án của một quy hoạch tuyến tính không rỗng và là một đa diện lồi thì quy hoạch tuyến tính đó sẽ có ít nhất một phương án cực biên là phương án tối ưu.

Phương pháp hình học

Từ những kết quả trên người ta có cách giải một quy hoạch tuyến tính hai biến bằng phương pháp hình học thông qua ví dụ sau :

Ví dụ : xét quy hoạch tuyến tính

x2x1ABCDO

A,B,C,D,O là các điểm cực biên. Giá trị hàm mục tiêu tại đó là :

z(A)=3.6+2.0=18

z(B)=3.4+2.5=22

z(C)=3.2+2.6=18

z(D)=3.0+2.8=8

z(O)=3.0+2.0=0

Phương án tối ưu của bài toán đạt được tại B : x1=4 và x2=5

Một ví dụ mở đầu

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính :

Đưa bài toán về dạng chính tắc bằng cách đưa vào các biến phụ w1, w2, w3  0 ( làm cho các ràng buộc bất đẳng thức thành đẳng thức ) . Ta được :

$\begin{array}{}\text{min z}(x)={\text{-5x}}_1-{\mathrm{4x}}_2-{\mathrm{3x}}_3\\ {\mathrm{2x}}_1+{\mathrm{3x}}_2+x_3+w_1=5\\ {\mathrm{4x}}_1+x_2+{\mathrm{2x}}_3+w_2=\text{11}\\ {\mathrm{3x}}_1+{\mathrm{4x}}_2+{\mathrm{2x}}_3+w_3=8\\ \\ \\ \\ \begin{array}{}{x}_1,x_2,x_3,w_1,w_2,w_3\ge 0\\ \begin{array}{}\{\{\end{array}\end{array}\\ \end{array}$

Thực hiện việc chuyển vế ta được bài toán ban đầu như sau :

$\begin{array}{}\text{min z}(x)={\text{-5x}}_1-{\mathrm{4x}}_2-{\mathrm{3x}}_3\\ w_1=5-{\mathrm{2x}}_1-{\mathrm{3x}}_2-x_3\\ w_2=\text{11}-{\mathrm{4x}}_1-x_2-{\mathrm{2x}}_3\\ w_3=8-{\mathrm{3x}}_1-{\mathrm{4x}}_2-{\mathrm{2x}}_3\\ \\ \\ \\ \begin{array}{}{x}_1,x_2,x_3,w_1,w_2,w_3\ge 0\\ \begin{array}{}\{\{\end{array}\end{array}\\ \end{array}$ (I)

Một phương án khả thi xuất phát ( chưa là phương án tối ưu ) của bài toán là :

x1 = x2 = x3 = 0

w1=5w2=11w3 = 8

Giá trị tương ứng của hàm mục tiêu là z(x) = 0

Người ta sẽ cải tiến phương án xuất phát này để được một phương án mới tốt hơn, nó làm cho giá trị của hàm mục tiêu giảm xuống. Người ta làm như sau :

Vì hệ số của x1 trong hàm mục tiêu là âm và có giá trị tuyệt đối lớn nhất nên nếu tăng x1 từ bằng 0 lên một giá trị dương ( càng lớn càng tốt ) và đồng thời vẫn giữ x2 và x3 bằng 0 thì giá trị của hàm của hàm mục tiêu sẽ giảm xuống. Khi đó các biến ở vế trái của bài toán (I) sẽ bị thay đổi theo nhưng phải thoả  0 . Sự thay đổi của chúng không ảnh hưởng đến sự thay đổi của hàm mục tiêu. Thực hiện ý tưởng trên ta được :

$\begin{array}{}{w}_1=5-{\mathrm{2x}}_1\ge 0\\ w_2=\text{11}-{\mathrm{4x}}_1\ge 0\\ w_3=8-{\mathrm{3x}}_1\ge 0\\ \\ \\ x_2=x_3=0\\ \begin{array}{}\{\{\end{array}\\ \\ \begin{array}{}\end{array}\\ \end{array}$

Suy ra : (dòng 1 được chọn)

Người ta chọn $x_1=\frac{5}{2}$ nên nhận được một phương án tốt hơn được xác định như sau :

$\begin{array}{}{x}_2=x_3=w_1=0\\ x_1=\frac{5}{2}{\text{w}}_2=1{\text{w}}_3=\frac{1}{2}\end{array}$

Giá trị tương ứng của hàm mục tiêu là $z(x)=-\frac{\text{25}}{2}$

Bước tiếp theo là biến đổi bài toán (I) thành một bài toán tương đương bằng cách từ dòng 1 ( dòng được chọn ) tính x1 theo các biến còn lại và thế giá trị nhận được vào các dòng còn lại, ta được :

$\begin{array}{}\text{min z}(x)=\text{-}\frac{\text{25}}{2}+\frac{5}{2}{w}_1+\frac{7}{2}{x}_2-\frac{1}{2}{x}_3\\ x_1=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}{w}_1-\frac{3}{2}{x}_2-\frac{1}{2}{x}_3\\ w_2=1+{\mathrm{2w}}_1+{\mathrm{5x}}_2\\ w_3=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}{w}_1+\frac{1}{2}{x}_2-\frac{1}{2}{x}_3\\ \\ \\ \\ \begin{array}{}{x}_1,x_2,x_3,w_1,w_2,w_3\ge 0\\ \begin{array}{}\{\{\end{array}\end{array}\\ \end{array}$ (II)

Thực hiện tương tự như trên, người ta tăng x3 từ bằng 0 lên một giá trị dương cho phép và đồng thời vẫn giữ x2 và w1 bằng 0 thì giá trị của hàm của hàm mục tiêu sẽ giảm xuống. Khi đó các biến ở vế trái của bài toán (II) sẽ bị thay đổi theo nhưng phải thoả  0 . Ta được :