0.4 Интегрирање на дробнорационални функции

со чие решавање се определуваат вредностите на коефициентите: $A=\mathrm{1,}B=\mathrm{2,}C=-3\text{.}$

Втор начин :

Се поаѓа од равенството

кое е задоволено за секоја вредност на $x,$ па специјално тоа е задоволено и за нулите на полиномот од именителот: $x_1=\mathrm{0,}{x}_2=\mathrm{2,}{x}_3=-3\text{.}$

Заменувајќи за $x=\mathrm{0,}$ се добива $-6=-\mathrm{6A}\Rightarrow A=\mathrm{1,}$

за $x=\mathrm{2,}$ се добива $\text{26}-6=\mathrm{2B}(2+3)\Rightarrow B=\mathrm{2,}$

а за $x=-\mathrm{3,}$ се добива $-\text{39}-6=-\mathrm{3C}(-3-2)\Rightarrow C=-3\text{.}$

По определување на непознатите коефициенти, подинтегралната функција се запишува преку сума од елементарни дробнорационални собироци

$\frac{\text{13}x-6}{x^3+x^2-\mathrm{6x}}=\frac{1}{x}+\frac{2}{x-2}+\frac{-3}{x+3}$ ,

а после интегрирање на двете страни од ова равенство се добива решениоето на интегралот

и со средување на логаритамските функции решението е

Тип ii. именител со еднакви линеарни фактори

Ако при факторизација на именителот кој е од полином од $n-$ ти ред се добие линеарен фактор но на степен $k,$ , на секој фактор од облик $(x-a{)}^k$ во разложувањето на функцијата му соодветствуваат $k$ елементарни дробнорационални функции од обликот

$\frac{A_k}{(x-a{)}^k},\frac{A_{k-1}}{(x-a{)}^{k-1}},\cdots ,\frac{A_1}{x-a},$

чии коефициенти $A_k$ треба да се определат. Интегралите од овие собироци се

дробнорационални функции бидејќи

затоа решението на вториот тип дробнорационални функции е сума од логаритамски и вакви добнорацинални функции.

Пример 3.

Да се пресмета

Согласно на постапката за интегрирање дробнорационални функции, именителот се факторизира:

$x^3-x^2-x+1=(x+1)(x-1{)}^2$ .

Бидејќи линераниот фактор $x-1$ е со степен 2, разложувањето на подинтегралната функција е

$\frac{\mathrm{3x}+5}{x^3-x^2-x+1}=\frac{\mathrm{3x}+5}{(x+1)(x-1{)}^2}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x-1{)}^2}+\frac{C}{x-1}$ .

По множење со именителот

и после средување на полиномот од десната старна на равенството

коефициентите се определуваат преку ситемот равенки

со решенија $A=\frac{1}{2},B=\mathrm{4,}C=-\frac{1}{2}\text{.}$

Од разложувањето на подинтегралната функција

и нејзиното интегрирање

$\begin{array}{}\int \frac{\mathrm{3x}+5}{(x+1)(x-1{)}^2}\text{dx}=\frac{1}{2}\int \frac{1}{x+1}\text{dx}+4\int \frac{1}{(x-1{)}^2}\text{dx}-\frac{1}{2}\int \frac{1}{x-1}\text{dx}=\\ \frac{1}{2}\text{ln}\mid x+1\mid -\frac{4}{x-1}-\frac{1}{2}\text{ln}\mid x-1\mid +C\end{array}$

се добива решението

Тип iii. именител со различни квадратни фактори

Третиот тип дробнорационални функции е случајот кога во факторизација на именителот се јавуваат и различни квадратни изрази од обликот ${\text{ax}}^2+\text{bx}+c$ кои неможат да се редуцираат на линерни. На секој ваков квадратен фактор при разложување на подинтегралната функција му соодветствува елементарна дробнорационална функција од обликот

во која константите $A,B$ треба да се определат. Интегралот од оваа функција е

Како што се гледа, интегралот се сведува на два веќе познати за решавање интеграли I ₁ и I ₂ . Првиот интеграл е

$I_1=\int \frac{2\text{ax}+b}{{\text{ax}}^2+\text{bx}+c}\text{dx}=\text{ln}\mid {\text{ax}}^2+\text{bx}+c\mid +C$ ,

а вториот интеграл е

$\int \frac{1}{{\text{ax}}^2+\text{bx}+c}\text{dx}=\int \frac{1}{a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)}\text{dx}=\frac{1}{a}\int \frac{1}{{\left(x+\frac{b}{\mathrm{2a}}\right)}^2-\frac{b^2}{{\mathrm{4a}}^2}+\frac{c}{a}}\text{dx}$ ,

кој во зависност од вредноста на коефициентите е некој од табличните интеграли.

Пример 4.

Да се пресмета

$\int \frac{x^2}{1-x^4}\text{dx}\text{.}$

Најпрво се факторизира именителот:

Именителот соджи два различни линеарни фактори и еден квадратен, па затоа припаѓа на третиот тип дробнорационални функции и се разложува на

$\frac{x^2}{1-x^4}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{1+x}+\frac{\text{Cx}+D}{1+x^2}$ ,

и се добива равенството

преку кое се поределуваат коефициентите $A,B,C,D$ . Нека за таа цел го примениме вториот метод со задавње на вредности за $x$ .

Ако замениме за $x=1\Rightarrow 1=A\cdot 2\cdot 2\Rightarrow A=\frac{1}{4},$

за $x=-1\Rightarrow 1=B\cdot 2\cdot 2\Rightarrow B=\frac{1}{4},$

за $x=0\Rightarrow 0=A+B+D$ и за $x=2\Rightarrow 4=A\cdot 3\cdot 5+B\cdot (-1)\cdot 5+(\mathrm{2C}+D)(-3)$ ,

од каде се добива ситемот равенки

и од веке пресметаните $A=B=\frac{1}{4}$ , од првата равенка коефициентот $D=-A-B=-\frac{1}{2},$ додека од втората равенка $\frac{\text{15}}{4}-\frac{4}{4}-\mathrm{6C}+\frac{3}{2}=4\Rightarrow C=0\text{.}$ $$

Со оваа постапка дробнорационалната функција ја разложивме на елементарни дробнорационални собироци

$\frac{x^2}{1-x^4}=\frac{1/4}{1-x}+\frac{1/4}{1+x}+\frac{-1/2}{1+x^2}$ ,

а нејзиниот интеграл е

Тип iv. именител со еднакви квадратни фактори

Нека именителот на подинтегралната дробнорационална функција е полином од $n-$ ти ред кој содржи и квадратни фактори кои не се линеаризаираат и нека тие се од обликот На секој ваков фактор од именителот во разложувањето на дробнорационалната функција му соодветствуваат $k$ елементарни функции (дропки) од облик

чии коефицинети $A_i,B_i(i=\mathrm{1,}\cdots ,k)$ треба да се определат.

Пример 5.

Да се пресмета

Именителот $(x^2+1{)}^2$ не може да се разложи на линеарни фактори, туку тој е квадратен фактор $x^2+1$ и тоа на степен 2. Затоа дробнорационалната функција се разложува

од каде

и по средување на полиномот од десната страна на равенството

$x^3+x-1={\text{Cx}}^3+{\text{Dx}}^2+(A+C)x+B+D$ $$

и примена на методот на неопределени коефициенти се добива ситемот равенки

со решенија $A=\mathrm{0,}B=-\mathrm{1,}C=\mathrm{1,}D=0\text{.}$

По опредеување на разложувањето

$\frac{x^3+x-1}{(x^2+1{)}^2}=\frac{-1}{(x^2+1{)}^2}+\frac{x}{x^2+1}$ ,

равенството се интегрира

$\begin{array}{}I=\int \frac{x^3+x-1}{(x^2+1{)}^2}\text{dx}=\int \frac{-1}{(x^2+1{)}^2}\text{dx}+\int \frac{x}{x^2+1}\text{dx}=\\ -\int \frac{1+x^2-x^2}{(x^2+1{)}^2}\text{dx}+\frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{2x}}{x^2+1}\text{dx}=\\ -\int \frac{1+x^2}{(x^2+1{)}^2}\text{dx}+\int \frac{x^2}{(x^2+1{)}^2}\text{dx}+\frac{1}{2}\text{ln}(x^2+1)=\\ -\int \frac{1}{x^2+1}\text{dx}+\int \frac{x\cdot x}{(x^2+1{)}^2}\text{dx}+\frac{1}{2}\text{ln}(x^2+1)\text{.}\end{array}$

За вториот интеграл се применува парцијална интеграција:

и затоа

и по средување, интегралот е