<< Chapter < Page Chapter >> Page >

Hoe om 'n vergelyking te kry as sy wortels bekend is

Ons het reeds genoem dat die wortels van 'n kwadratiese vergelyking die oplossing of antwoorde is wat jy kry deur die kwadratiese vergelyking op te los. Deur terug te werk vanaf die antwoorde, sal jy 'n vergelyking kry.

Kry 'n vergelyking met wortels 13 en -5.

  1. Die stap voor die oplossings gegee word sou wees:

    ( x - 13 ) ( x + 5 ) = 0

    Let op dat die tekens in die hakies die teenoorgestelde is as die van die gegewe wortels.

  2. x 2 - 8 x - 65 = 0

    Daar is natuurlik ander moontlike vergelykings ook wat gekry word as elke term aan elke kant van die gelyk aan teken met 'n konstante vermenigvuldig word.

Kry 'n vergelyking met wortels - 3 2 en 4

  1. Let op dat as x = - 3 2 dan 2 x + 3 = 0

    Daarom sal die twee hakies wees:

    ( 2 x + 3 ) ( x - 4 ) = 0
  2. Die vergelyking is:

    2 x 2 - 5 x - 12 = 0

Teorie van kwadratiese vergelykings - gevorderd

Hierdie afdeling is nie in die leerplan nie, maar dit gee mens 'n goeie begrip van party van die oplossings van die kwadratiese vergelykings.

Wat is die diskriminant van 'n kwadratiese vergelyking?

Beskou 'n algemene kwadratiese funksie in die form f ( x ) = a x 2 + b x + c . Die diskriminant word gedefinieer as:

Δ = b 2 - 4 a c .

Hierdie is die uitdrukking onder die vierkantswortel in die formule vir die wortels van die funksie. Ons het reeds gesien dat of die wortels bestaan ​​of nie daarvan afhang of die faktor Δ negatief of positief is nie.

Die aard van die wortels

Real roots ( Δ 0 )

Beskou Δ 0 vir 'n kwadratiese funksie in die vorm f ( x ) = a x 2 + b x + c . In hierdie geval is daar oplossing vir die vergelyking f ( x ) = 0 gegee deur die formule

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - b ± Δ 2 a

As die uitdrukking onder die vierkantswortel nie-negatief is, dan bestaan die vierkantswortel. Hierdie is die wortels van die funksie f ( x ) .

Die verskillende moontlikhede word opgesom in die figuur hieronder.

Gelyke wortels ( Δ = 0 )

As Δ = 0 , dan is die wortels gelyk, en vanaf die formule word dit gegee deur

x = - b 2 a

Ongelyke wortels ( Δ > 0 )

Daar sal 2 ongelyke wortels wees as Δ > 0 . Die wortels van f ( x ) is rationaal as Δ 'n volmaakte vierkant ('n getal wat die vierkant van 'n rasionale getal is) is. Die rede is dat in hierdie geval Δ rasionaal is. Anders, as Δ nie 'n volmaakte vierkant is nie, dan is the wortels irrasionaal .

Imaginêre wortels ( Δ < 0 )

As Δ < 0 , dan bevat die oplossing van f ( x ) = a x 2 + b x + c = 0 die vierkantswortels van 'n negatiewe getal en daarom is daar geen reële oplossings nie. Ons sê daarom dat die wortels van f ( x ) imaginêr is (die grafiek van die funksie f ( x ) sny nie die x -as nie).

Khan academy video on quadratics - 4

Teorie van kwadrate - gevorderde oefeninge

Vanaf ou vraestelle

  1. [IEB, Nov. 2001, HG] Gegee: x 2 + b x - 2 + k ( x 2 + 3 x + 2 ) = 0 ( k - 1 )
    1. Wys dat die diskriminant gegee word deur
      Δ = k 2 + 6 b k + b 2 + 8
    2. As b = 0 , bespreek die aard van die wortels van die vergelyking.
    3. As b = 2 , kry die waarde(s) van k waarvoor die wortels gelyk is.
  2. [IEB, Nov. 2002, HG] Wys dat k 2 x 2 + 2 = k x - x 2 nie-reële wortels het vir alle reele waardes van k .
  3. [IEB, Nov. 2003, HG] Die vergelyking x 2 + 12 x = 3 k x 2 + 2 het reële wortels.
    1. Kry die grootste heeltallige waarde van k .
    2. Kry een rasionale waarde van k waarvoor die bostaande vergelyking rasionale wortels het.
  4. [IEB, Nov. 2003, HG] In die kwadratiese vergelyking p x 2 + q x + r = 0 is p , q en r positiewe reële getalle en vorm 'n meetkundige ry. Bespreek die aard van die wortels.
  5. [IEB, Nov. 2004, HG] Beskou die vergelyking
    k = x 2 - 4 2 x - 5 met x 5 2
    1. Kry 'n waarde van k waarvoor die wortels gelyk is.
    2. Kry 'n heelgetal k waarvoor die wortels van die vergelyking rasionaal en ongelyk is.
  6. [IEB, Nov. 2005, HG]
    1. Bewys dat die wortels van die vergelyking x 2 - ( a + b ) x + a b - p 2 = 0 reëel is vir alle reële waardes van a , b en p .
    2. Wanneer sal die wortels van die vergelyking gelyk wees?
  7. [IEB, Nov. 2005, HG] As b en c slegs die waardes 1, 2 of 3 kan aanneem, bepaal alle pare ( b ; c ) sodat x 2 + b x + c = 0 reële wortels het.

Hoofstukoefeninge

  1. Los op: x 2 - x - 1 = 0 (Gee jou antwoord korrek tot twee desimale plekke.)
  2. Los op: 16 ( x + 1 ) = x 2 ( x + 1 )
  3. Los op: y 2 + 3 + 12 y 2 + 3 = 7 (Wenk: Stel y 2 + 3 = k . Los eerste vir k op and gebruik die antwoord om y op te los.)
  4. Los op vir x : 2 x 4 - 5 x 2 - 12 = 0
  5. Los op vir x :
    1. x ( x - 9 ) + 14 = 0
    2. x 2 - x = 3 (Wys jou antwoord korrek tot EEN desimale plek.)
    3. x + 2 = 6 x (korrek tot twee desimale plekke)
    4. 1 x + 1 + 2 x x - 1 = 1
  6. Los op vir x deur kwadraatsvoltooiing: x 2 - p x - 4 = 0
  7. Die vergelyking a x 2 + b x + c = 0 het wortels x = 2 3 en x = - 4 . Kry een stel moontlike waardes vir a , b en c .
  8. Die twee wortels van die vergelyking 4 x 2 + p x - 9 = 0 verskil met 5. Bereken die waarde van p .
  9. 'n Vergelyking van die vorm x 2 + b x + c = 0 word geskryf op die bord. Saskia en Sven skryf dit verkeerd af. Saskia het 'n fout in die konstante term en kry die oplossings -4 en 2. Sven het 'n fout in die koëffisiënt van x en kry die oplossings 1 en -15. Bepaal die korrekte vergelyking wat op die bord was.
  10. Bjorn kom in 'n oorsese handboek af op die volgende formule om die kwadratiese vergelyking a x 2 + b x + c = 0 op te los.
    x = 2 c - b ± b 2 - 4 a c
    1. Gebruik hierdie formule om die volgende vergelyking op te los:
      2 x 2 + x - 3 = 0
    2. Los die vergelyking weer op, die keer deur faktorisering, om te sien of die formule werk vir hierdie vergelyking.
    3. Bjorn probeer om hierdie formule af te lei om te bewys dat dit altyd werk, maar sit na 'n paar stappe vas. Hieronder is sy poging:
      a x 2 + b x + c = 0 a + b x + c x 2 = 0 Deel deur x 2 waar x ? 0 c x 2 + b x + a = 0 Herrangskik 1 x 2 + b c x + a c = 0 Deel deur c waar c ? 0 1 x 2 + b c x = - a c Trek a c af van beide kante ? 1 x 2 + b c x + ... Sit vas
      Voltooi sy afleiding.

Questions & Answers

how to know photocatalytic properties of tio2 nanoparticles...what to do now
Akash Reply
it is a goid question and i want to know the answer as well
Maciej
Do somebody tell me a best nano engineering book for beginners?
s. Reply
what is fullerene does it is used to make bukky balls
Devang Reply
are you nano engineer ?
s.
what is the Synthesis, properties,and applications of carbon nano chemistry
Abhijith Reply
Mostly, they use nano carbon for electronics and for materials to be strengthened.
Virgil
is Bucky paper clear?
CYNTHIA
so some one know about replacing silicon atom with phosphorous in semiconductors device?
s. Reply
Yeah, it is a pain to say the least. You basically have to heat the substarte up to around 1000 degrees celcius then pass phosphene gas over top of it, which is explosive and toxic by the way, under very low pressure.
Harper
Do you know which machine is used to that process?
s.
how to fabricate graphene ink ?
SUYASH Reply
for screen printed electrodes ?
SUYASH
What is lattice structure?
s. Reply
of graphene you mean?
Ebrahim
or in general
Ebrahim
in general
s.
Graphene has a hexagonal structure
tahir
On having this app for quite a bit time, Haven't realised there's a chat room in it.
Cied
what is biological synthesis of nanoparticles
Sanket Reply
what's the easiest and fastest way to the synthesize AgNP?
Damian Reply
China
Cied
types of nano material
abeetha Reply
I start with an easy one. carbon nanotubes woven into a long filament like a string
Porter
many many of nanotubes
Porter
what is the k.e before it land
Yasmin
what is the function of carbon nanotubes?
Cesar
I'm interested in nanotube
Uday
what is nanomaterials​ and their applications of sensors.
Ramkumar Reply
what is nano technology
Sravani Reply
what is system testing?
AMJAD
preparation of nanomaterial
Victor Reply
Yes, Nanotechnology has a very fast field of applications and their is always something new to do with it...
Himanshu Reply
good afternoon madam
AMJAD
what is system testing
AMJAD
what is the application of nanotechnology?
Stotaw
In this morden time nanotechnology used in many field . 1-Electronics-manufacturad IC ,RAM,MRAM,solar panel etc 2-Helth and Medical-Nanomedicine,Drug Dilivery for cancer treatment etc 3- Atomobile -MEMS, Coating on car etc. and may other field for details you can check at Google
Azam
anybody can imagine what will be happen after 100 years from now in nano tech world
Prasenjit
after 100 year this will be not nanotechnology maybe this technology name will be change . maybe aftet 100 year . we work on electron lable practically about its properties and behaviour by the different instruments
Azam
name doesn't matter , whatever it will be change... I'm taking about effect on circumstances of the microscopic world
Prasenjit
how hard could it be to apply nanotechnology against viral infections such HIV or Ebola?
Damian
silver nanoparticles could handle the job?
Damian
not now but maybe in future only AgNP maybe any other nanomaterials
Azam
Hello
Uday
I'm interested in Nanotube
Uday
this technology will not going on for the long time , so I'm thinking about femtotechnology 10^-15
Prasenjit
can nanotechnology change the direction of the face of the world
Prasenjit Reply
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
Berger describes sociologists as concerned with
Mueller Reply
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
QuizOver.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Siyavula textbooks: wiskunde (graad 11). OpenStax CNX. Sep 20, 2011 Download for free at http://cnx.org/content/col11339/1.4
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Siyavula textbooks: wiskunde (graad 11)' conversation and receive update notifications?

Ask