<< Chapter < Page Chapter >> Page >

Một đồ hình trạng thái được xây dựng theo tất cả các qui tắc của đồ hình truyền tín hiệu. Nhưng đồ hình trạng thái có thể được dùng để giải các hệ tuyến tính hoặc bằng giải tích hoặc bằng máy tính.

Trở lại mạch RLC ở ví dụ 4.3. Để diễn tả đồng lúc 3 phương trình (4.44) (4.45), (4.46), ta có thể dùng giãûn đồ hình trạng thái như hình H.4_4 sau đây :

H.4_4

Ở đó, 1/s chỉ một sự lấy tích phân.

Dùng công thức Mason về độ lợi tổng quát, ta có hàm chuyển:

V 0 ( S ) R ( S ) = R / LCS 2 1 + ( R / LS ) + ( 1 / LCS 2 ) = R / LC S 2 + ( R / L ) S + 1 / LC size 12{ { {V rSub { size 8{0} } \( S \) } over {R \( S \) } } = { {R/ ital "LCS" rSup { size 8{2} } } over {1+ \( R/ ital "LS" \) + \( 1/ ital "LCS" rSup { size 8{2} } \) } } = { {R/ ital "LC"} over {S rSup { size 8{2} } + \( R/L \) S+1/ ital "LC"} } } {} (4.48)

Nhưng rủi thay, hầu hết các mạch điện, các hệ thống điện cơ hay những hệ điều khiển đều không đơn giản như mạch RLC trên đây, và thường khó xác định một tập hợp các phương trình vi phân cấp 1 diển tả hệ thống.Vì vậy, để đơn giản hơn ,ta thường chuyển hóa kiểu mẩu trạng thái từ hàm chuyển.

Một cách tổng quát một hệ được mô tả bằng hàm chuyển như sau:

G ( S ) = C ( S ) R ( S ) = S m + b m 1 S m 1 + . . . + b 1 S + b 0 S n + a n 1 S n 1 + . . . + a 1 S + a 0 size 12{G \( S \) = { {C \( S \) } over {R \( S \) } } = { {S rSup { size 8{m} } +b rSub { size 8{m - 1} } S rSup { size 8{m - 1} } + "." "." "." +b rSub { size 8{1} } S+b rSub { size 8{0} } } over {S rSup { size 8{n} } +a rSub { size 8{n - 1} } S rSup { size 8{n - 1} } + "." "." "." +a rSub { size 8{1} } S+a rSub { size 8{0} } } } } {} (4.49)

Ởû đó n>=m và mọi hệ số a đều thực dương. Nếu nhân tử và mẫu cho S-n ta được:

G ( S ) = S ( n m ) + b m 1 S ( n m + 1 ) + . . . + b 1 S ( n 1 ) + b 0 S n 1 + a n 1 S 1 + . . . + a 1 S ( n 1 ) + a 0 S n size 12{G \( S \) = { {S rSup { size 8{ - \( n - m \) } } +b rSub { size 8{m - 1} } S rSup { size 8{ - \( n - m+1 \) } } + "." "." "." +b rSub { size 8{1} } S rSup { size 8{ - \( n - 1 \) } } +b rSub { size 8{0} } S rSup { size 8{ - n} } } over {1+a rSub { size 8{n - 1} } S rSup { size 8{ - 1} } + "." "." "." +a rSub { size 8{1} } S rSup { size 8{ - \( n - 1 \) } } +a rSub { size 8{0} } S rSup { size 8{ - n} } } } } {} (4.50)

Công thức Mason quen thuộc giúp ta thừa nhận dễ dàng rằng tử số là tổng độ lợi trực tiếp, và mẫu số là tổng độ lợi vòng hồi tiếp.

Ta viết lại công thức Mason.

T = C ( S ) R ( S ) = i p i Δ i Δ size 12{T= { {C \( S \) } over {R \( S \) } } = { { Sum cSub { size 8{i} } {p rSub { size 8{i} } Δ rSub { size 8{i} } } } over {Δ} } } {} (4.51)

Nếu tất cả các vòng hồi tiếp đều chạm nhau và tất cả các đường trực tiếp đều chạm vòng hồi tiếp thì (4.51) thu lại

T = i P i 1 j P j1 = Toång ñoä lôïi caùc ñöôøng tröïc tieáp 1 T oång ñoä lôïi caùc voøng hoài tieáp size 12{T= { { Sum cSub { size 8{i} } {P rSub { size 8{i} } } } over {1 - Sum cSub { size 8{j} } {P rSub { size 8{ ital "j1"} } } } } = { {"Toång ñoä lôïi caùc ñöôøng tröïc tieáp"} over {1 - T"oång ñoä lôïi caùc voøng hoài tieáp"} } } {} (4.52)

Thí dụ 4.4 :

  • Trước hết xem hàm chuyển của hệ thống cấp 4:

G ( s ) = C ( s ) R ( s ) = b 0 s 4 + a 3 s 3 + a 2 s 2 + a 1 s + a 0 size 12{G \( s \) = { {C \( s \) } over {R \( s \) } } = { {b rSub { size 8{0} } } over {s rSup { size 8{4} } +a rSub { size 8{3} } s rSup { size 8{3} } +a rSub { size 8{2} } s rSup { size 8{2} } +a rSub { size 8{1} } s+a rSub { size 8{0} } } } } {} (4.53)

G ( s ) = C ( s ) R ( s ) = b 0 s 4 1 + a 3 s 1 + a 2 s 2 + a 1 s 3 + a 0 s 4 size 12{G \( s \) = { {C \( s \) } over {R \( s \) } } = { {b rSub { size 8{0} } s rSup { size 8{ - 4} } } over {1+a rSub { size 8{3} } s rSup { size 8{ - 1} } +a rSub { size 8{2} } s rSup { size 8{ - 2} } +a rSub { size 8{1} } s rSup { size 8{ - 3} } +a rSub { size 8{0} } s rSup { size 8{4} } } } } {}

Vì hệ thống cấp 4, ta sẽ định nghĩa 4 biến trạng thái (x1,x2,x3,x4). Gợi ý từ công thức Mason, ta có thể tháy rằng mẫu số của (4.53) có thể được xem như là 1 cộng với độ lợi vòng, và tử số của hàm chuyển thì bằng với đôï lợi đường trực tiếp của đồ hình.

Đồ hình trạng thái phải dùng số lần lấy tích phân bằng với cấp số của hệ thống. Vậy cần lấy tích phân 4 lần.

{}

H.4-5

Ghép các nút lại. Nhớ rằng

Ta có đồ hình trạng thái của (4.53)

H.4_6

Thí dụ 4.5 :

  • Bây giờ ta xem hàm chuyển cấp 4 khi tử số là một đa thức theo S:

G ( s ) = b 3 s 3 + b 2 s 2 + b 1 s 1 + b 0 s 4 + a 3 s 3 + a 2 s 2 + a 1 s + a 0 size 12{G \( s \) = { {b rSub { size 8{3} } s rSup { size 8{3} } +b rSub { size 8{2} } s rSup { size 8{2} } +b rSub { size 8{1} } s rSup { size 8{1} } +b rSub { size 8{0} } } over {s rSup { size 8{4} } +a rSub { size 8{3} } s rSup { size 8{3} } +a rSub { size 8{2} } s rSup { size 8{2} } +a rSub { size 8{1} } s+a rSub { size 8{0} } } } } {} (4.54)

G ( s ) = b 3 s 1 + b 2 s 2 + b 1 s 3 + b 0 s 4 1 + a 3 s 1 + a 2 s 2 + a 1 s 3 + a 0 s 4 size 12{G \( s \) = { {b rSub { size 8{3} } s rSup { size 8{ - 1} } +b rSub { size 8{2} } s rSup { size 8{ - 2} } +b rSub { size 8{1} } s rSup { size 8{ - 3} } +b rSub { size 8{0} } s rSup { size 8{ - 4} } } over {1+a rSub { size 8{3} } s rSup { size 8{ - 1} } +a rSub { size 8{2} } s rSup { size 8{ - 2} } +a rSub { size 8{1} } s rSup { size 8{ - 3} } +a rSub { size 8{0} } s rSup { size 8{4} } } } } {} (4.55)

Tử số của G(s) là tổng độ lợi các đường trực tiếp trong công thức Mason. Đồ hình trạng thái (ĐHTT) vẽ ở hình H.4_7. Trong đó độ lợi các đường trực tiếp là b3/s; b2/s2; b1/s3 và b0/s4.

H.4_7

Từ ĐHTT, ta suy ra một tập hợp phương trình vi phân cấp 1, diễn tả trạng thái của hệ:

(4.56)

Ngoài ra, phương trình output là

C(t) = b0 x1 + b1 x2 + b2 x3 + b3 x4 (4.57)

Từ đo,ù dưới dạng ma trận, ta có:

X = AX + Br size 12{ {X} cSup { size 8{ cdot } } = ital "AX"+Br} {}

d dt x 1 x 2 x 3 x = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 a 0 a 1 a 2 a 3 x 1 x 2 x 3 x 4 + 0 0 0 1 r ( t ) size 12{ { {d} over { ital "dt"} } left [ matrix { x rSub { size 8{1} } {} ##x rSub { size 8{2} } {} ## x rSub { size 8{3} } {} ##x } right ]= left [ matrix { 0 {} # 1 {} # 0 {} # 0 {} ##0 {} # 0 {} # 1 {} # 0 {} ## 0 {} # 0 {} # 0 {} # 1 {} ##- a rSub { size 8{0} } {} # - a rSub { size 8{1} } {} # - a rSub { size 8{2} } {} # - a rSub { size 8{3} } {} } right ]left [ matrix { x rSub { size 8{1} } {} ##x rSub { size 8{2} } {} ## x rSub { size 8{3} } {} ##x rSub { size 8{4} } } right ]+ left [ matrix { 0 {} ##0 {} ## 0 {} ##1 } right ]r \( t \) } {} (4.58)

và output là:

C ( t ) = D X + E r size 12{C \( t \) ``=``D`X+``E`r} {} (4.59)

C ( t ) = b 0 b 1 b 2 b 3 x 1 x 2 x 3 x 4 size 12{C \( t \) = left [ matrix { b rSub { size 8{0} } {} # b rSub { size 8{1} } {} # b rSub { size 8{2} } {} # b rSub { size 8{3} } {}} right ]`` left [ matrix {x rSub { size 8{1} } {} ## x rSub { size 8{2} } {} ##x rSub { size 8{3} } {} ## x rSub { size 8{4} }} right ]} {} (4.60)

  • Lưu ý: Để diễn tả phương trình (4.54), ĐHTT vẽ ở hìmh H.4_7 không phải là duy nhất. Ta hãy xem hình H.4_8.

H.4_8a

H.4_8b

Từ ĐHTT ở hình H.4_8a, ta có một tập hợp phương trình trạng thái :

C ( t ) = x 1 t size 12{C \( t \) ``=``x rSub { size 8{1} } left (t right )`} {}

(4.61)

Để viết phương trình (4.61a), ta hãy tham khảo hình H.4_8b. Giữa hai nút và , ta thêm một nút mới x2. Các phương trình khác cũng làm tương tự.

Đồ hình H.4_8a trình bày cùng một hàm chuyển như đồ hình H.4_7. Nhưng các biến trạng thái của mỗi đồ hình thì không giống nhau.

Thí dụ 4.6 :

  • Ta hãy xem một hệ thống điều khiển như hình H.4_9 có thể dùng ĐHTT để xác định trạng thái của hệ.

H.4_9

Hàm chuyền vòng kín của hệ :

C ( s ) R ( s ) = 2s 2 + 8s + 6 s 3 + 8s 2 + 16 s + 6 size 12{ { {C \( s \) } over {R \( s \) } } ``=`` { {2s rSup { size 8{2} } `+``8s``+``6} over {s rSup { size 8{3`} } +``8s rSup { size 8{2} } +``"16"s+``6} } } {} (4.64)

Nhân tử và mẩu với s­­­­­-3 :

C R = 2s 1 + 8s 2 + 6s 3 1 + 8s 1 + 16 s 2 + 6s 3 size 12{ { {C} over {R} } ``=`` { {2s rSup { size 8{ - 1} } `+``8s rSup { size 8{ - 2} } ``+``6s rSup { size 8{ - 3} } } over {1+``8s rSup { size 8{ - 1} } +``"16"s rSup { size 8{ - 2} } +``6s rSup { size 8{ - 3} } } } } {} (4.47)

Đồ hình ,trạng thái cho bởi hình H.4_10

H.4_10

Từ đồ hình suy ra các phương trình trạng thái.

(4.66)

Và phương trình output :

C(t) = 6x1 + 8x2 + 2x3 (4.67)

Dưới dạng ma trận :

X = 0 1 0 0 0 1 6 16 8 X + 0 0 1 r ( t ) size 12{ {X} cSup { size 8{ cdot } } =`` left [ matrix { 0 {} # 1 {} # 0 {} ##0 {} # 0 {} # 1 {} ## - 6 {} # - "16" {} # - 8{}} right ]``X```+``` left [ matrix {0 {} ## 0 {} ##1 } right ]``r \( t \) ``} {} (4.68)

C ( t ) = 6 8 2 X size 12{C \( t \) ``=`` left [ matrix { 6 {} # 8 {} # 2{}} right ]``X} {} (4.69)

Với

X = x 1 x 2 x 3 size 12{ {X} cSup {} ``=`` left [` matrix { x rSub { size 8{1} } {} ##x rSub { size 8{2} } {} ## x rSub { size 8{3} }} right ]} {} X = x 1 x 2 x 3 size 12{ {X} cSup { size 8{ cdot } } ```=`` left [ matrix { {```x rSub { size 8{1} } } cSup { size 8{ cdot } } {} ##{```x rSub { size 8{2} } } cSup { size 8{ cdot } } {} ## {```x rSub { size 8{3} } } cSup { size 8{ cdot } }} right ]} {}

Questions & Answers

given eccentricity and a point find the equiation
Moses Reply
12, 17, 22.... 25th term
Alexandra Reply
12, 17, 22.... 25th term
Akash
College algebra is really hard?
Shirleen Reply
Absolutely, for me. My problems with math started in First grade...involving a nun Sister Anastasia, bad vision, talking & getting expelled from Catholic school. When it comes to math I just can't focus and all I can hear is our family silverware banging and clanging on the pink Formica table.
Carole
find the 15th term of the geometric sequince whose first is 18 and last term of 387
Jerwin Reply
I know this work
salma
The given of f(x=x-2. then what is the value of this f(3) 5f(x+1)
virgelyn Reply
hmm well what is the answer
Abhi
how do they get the third part x = (32)5/4
kinnecy Reply
can someone help me with some logarithmic and exponential equations.
Jeffrey Reply
sure. what is your question?
ninjadapaul
20/(×-6^2)
Salomon
okay, so you have 6 raised to the power of 2. what is that part of your answer
ninjadapaul
I don't understand what the A with approx sign and the boxed x mean
ninjadapaul
it think it's written 20/(X-6)^2 so it's 20 divided by X-6 squared
Salomon
I'm not sure why it wrote it the other way
Salomon
I got X =-6
Salomon
ok. so take the square root of both sides, now you have plus or minus the square root of 20= x-6
ninjadapaul
oops. ignore that.
ninjadapaul
so you not have an equal sign anywhere in the original equation?
ninjadapaul
hmm
Abhi
is it a question of log
Abhi
🤔.
Abhi
I rally confuse this number And equations too I need exactly help
salma
But this is not salma it's Faiza live in lousvile Ky I garbage this so I am going collage with JCTC that the of the collage thank you my friends
salma
Commplementary angles
Idrissa Reply
hello
Sherica
im all ears I need to learn
Sherica
right! what he said ⤴⤴⤴
Tamia
hii
Uday
hi
salma
what is a good calculator for all algebra; would a Casio fx 260 work with all algebra equations? please name the cheapest, thanks.
Kevin Reply
a perfect square v²+2v+_
Dearan Reply
kkk nice
Abdirahman Reply
algebra 2 Inequalities:If equation 2 = 0 it is an open set?
Kim Reply
or infinite solutions?
Kim
The answer is neither. The function, 2 = 0 cannot exist. Hence, the function is undefined.
Al
y=10×
Embra Reply
if |A| not equal to 0 and order of A is n prove that adj (adj A = |A|
Nancy Reply
rolling four fair dice and getting an even number an all four dice
ramon Reply
What is the expressiin for seven less than four times the number of nickels
Leonardo Reply
How do i figure this problem out.
how do you translate this in Algebraic Expressions
linda Reply
why surface tension is zero at critical temperature
Shanjida
I think if critical temperature denote high temperature then a liquid stats boils that time the water stats to evaporate so some moles of h2o to up and due to high temp the bonding break they have low density so it can be a reason
s.
Need to simplify the expresin. 3/7 (x+y)-1/7 (x-1)=
Crystal Reply
. After 3 months on a diet, Lisa had lost 12% of her original weight. She lost 21 pounds. What was Lisa's original weight?
Chris Reply
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
QuizOver.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Cơ sở tự động học. OpenStax CNX. Jul 29, 2009 Download for free at http://cnx.org/content/col10756/1.1
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Cơ sở tự động học' conversation and receive update notifications?

Ask