0.4 Biến điệu góc  (Page 3/9)

Với FM băng hẹp, trị max của 2kf g(t) là một góc rất nhỏ (Trong đó g(t) là tích phân của s(t)).

Với PM băng hẹp, 2Kp s(t) phải là một góc rất nhỏ. Điều này cho phép tính xấp xỉ cosine và sine (số hạng thứ nhất trong chuổi khai triển).

Fm băng rộng (wide band fm).

Nếu Kf nhỏ không đủ để cho phép tính xấp xỉ như ở phần trên, ta có FM băng rộng. Tín hiệu được truyền

fm(t) = A cos 2

Trong đó g(t) là tích phân của tín hiệu chứa tin s(t). Nếu g(t) là một hàm đã biết, biến đổi F của sóng FM sẽ tính được. Nhưng trong những trường hợp tổng quát, không thể tìm biến đổi F cho sóng FM, vì sự liên hệ phi tuyến giữa s(t) và sóng biến điệu. Những phân giải thực hiện trong phạm vi thời gian.

Ta giới hạn trong một trường hợp riêng, dùng tín hiệu mang tin là một Sinusoide thuần túy. Điều này cho phép dùng lượng giác trong phân giải.

S(t) = a cos 2fmt

a: hằng số biên độ.

Tần số tức thời của sóng FM được cho bởi:

fi (t) = fC + aKf cos 2fmt(5.18)

Sóng FM có dạng:

fm(t) = A cos

Ta định nghĩa chỉ số biến điệu :



 fm(t) = A cos (2fCt + sin2fmt)

fm(t) = Re {A exp (j2fCt +j sin 2fmt)}(5.21)

Hàm expo trong (5.21) phân thành một tích, trong đó thừa số thứ 2 có chứa tin. Đó là: expo (j sin 2fmt).

Đó là một hàm tuần hoàn, chu kỳ 1/fm.

Khai triển chuỗi F phức, tần số fm.

Hệ số F cho bởi:

Tích phân của (5.23) không tính được, nó hội tụ tại một trị giá thực. Trị giá thực là một hàm của n và . Nó không phải là một hàm của fm. Tích phân được gọi là hàm Bessel loại một, ký hiệu Jn().

Hàm bessel.

Hàm Bessel loại 1 là giải đáp của phương trình vi phân:

x2 + ( x2 - n2 ) y( x ) = 0

Mặc dù hàm Bessel được định nghĩa cho tất cả trị giá của n, ta chỉ quan tâm đến các số nguyên thực dương và âm.

Với những trị nguyên của n,

J-n(x) = (-1)n Jn(x).

Hình 5.6, vẽ Jn cho những trị của n = 0, 1 và 2. Nhớ là với x rất nhỏ, J0(x) tiến đến 1 trong lúc J1(x) và J2(x) tiến đến zero. ( Xem hình trang sau ).

Ta hãy xem hàm Bessel khi n trở nên lớn. Ta khảo sát một điểm đặc biệt trên các đường cong. Hình 5.7, vẽ Jn (10) là một hàm của n.

- Khi n âm, hàm trở nên dao động không tắt ( under damped oscillator ).

- Với những trị n dương, ta lưu ý đến tính đối xứng của phương trinh (5.23).

- Một quan sát quan trọng là, với n>9, hàm Bessel tiến đến tiệm cận với zero. Thật vậy, với n cố định và  lớn, hàm Bessel có thể tính xấp xỉ bởi:

Jn () 

Trong đó  (n+1) là hàm Gamma.

Hình 5.6: Hàm Bessel cho n = 0, 1 và 2.

Hàm Gamma tiến đến  với các suất lớn hơn 2. Thí dụ, trị giá của hàm Gamma ứng với các suất 2, 3, 4, 5 và 6 là 1, 2 , 6, 24 và 120. Vì hàm Gamma nằm ở mẫu số, có thể thấy rằng hàm Bessel giảm rất nhanh khi n tăng. Đó là một tính chất chính tắc để tim khổ băng của sóng FM.

Hình 5.7: Jn (10) là một hàm của n.

Trở lại phương trình (5.23), ta thấy các hệ số Fourier được cho bởi: Cn = Jn ().

Và sóng FM trở nên:

fm (t) = Re

Vì ej2fct khônglà một hàm của n, ta đem vào dấu tổng:

fm (t) = Re

Và lấy phần thực:

fm (t) = A

Ta đã rút gọn sóng FM thành tổng của các Sinusoids. Biến đổi F của tổng này là một chuỗi xung lực.