<< Chapter < Page Chapter >> Page >

Inleiding

In hierdie hoofstuk sal jy leer hoe om met algebraïese uitdrukkings te werk. Hersiening van vorige faktorisering en vermenigvuldiging van uitdrukkings sal dus nodig wees voordat die nuwe leerstof uitgebrei word vir Graad 10.

Hersiening van vorige werk

Die volgende behoort bekend te wees, maar ons gee 'n paar voorbeelde ter herinnering.

Dele van uitdrukkings

Wiskundige uitdrukkings is soos sinne en elke deel het 'n spesifieke naam. Jy behoort vertroud te wees met die volgende name wat die dele van wiskundige uitdrukkings beskryf.

a · x k + b · x + c m = 0 d · y p + e · y + f 0
Naam Voorbeelde (geskei deur kommas)
term a · x k , b · x , c m , d · y p , e · y , f
uitdrukking a · x k + b · x + c m , d · y p + e · y + f
koëffisiënte a , b , d , e
eksponent (of indeks) k , p
grondtal x , y , c
konstante a , b , c , d , e , f
veranderlike x , y
vergelyking a · x k + b · x + c m = 0
ongelykheid d · y p + e · y + f 0
binomiaal uitdrukking met twee terme
trinomiaal uitdrukking met drie terme

Produk van twee binomiale

'n Binomiaal is 'n wiskundige uitdrukking met twee terme, soos ( a x + b ) en ( c x + d ) . As hierdie twee binomiale vermenigvuldig word, is die volgende die resultaat:

( a · x + b ) ( c · x + d ) = ( a x ) ( c · x + d ) + b ( c · x + d ) = ( a x ) ( c x ) + ( a x ) d + b ( c x ) + b · d = a x 2 + x ( a d + b c ) + b d

Vind die produk van ( 3 x - 2 ) ( 5 x + 8 ) .

  1. ( 3 x - 2 ) ( 5 x + 8 ) = ( 3 x ) ( 5 x ) + ( 3 x ) ( 8 ) + ( - 2 ) ( 5 x ) + ( - 2 ) ( 8 ) = 15 x 2 + 24 x - 10 x - 16 = 15 x 2 + 14 x - 16
    .

Die produk van twee identiese binomiale, is bekend as die kwadraat (of vierkant) van binomiale en word geskryf as:

( a x + b ) 2 = a 2 x 2 + 2 a b x + b 2

Gestel die twee terme is a x + b en a x - b , dan is hulle produk:

( a x + b ) ( a x - b ) = a 2 x 2 - b 2

Dit staan bekend as die verskil van twee kwadrate (of vierkante) .

Faktorisering

Faktorisering is die omgekeerde proses van die uitbreiding van hakies. Byvoorbeeld, as hakies uitgebrei word, word 2 ( x + 1 ) geskryf as 2 x + 2 . Faktorisering sal dus begin met 2 x + 2 en eindig met 2 ( x + 1 ) . In vorige grade het ons gefaktoriseer deur die uithaal van gemeenskaplike faktore en die verskil tussen twee vierkante.

Gemeenskaplike faktore

Faktorisering deur die uithaal van gemeenskaplike faktore, is gebaseer daarop dat daar faktore is wat in al die terme voorkom. Byvoorbeeld, 2 x - 6 x 2 kan as volg gefaktoriseer word:

2 x - 6 x 2 = 2 x ( 1 - 3 x )

Ondersoek: gemeenskaplike faktore

Vind die grootste gemene faktore van die volgende pare terme:

(a) 6 y ; 18 x (b) 12 m n ; 8 n (c) 3 s t ; 4 s u (d) 18 k l ; 9 k p (e) a b c ; a c
(f) 2 x y ; 4 x y z (g) 3 u v ; 6 u (h) 9 x y ; 15 x z (i) 24 x y z ; 16 y z (j) 3 m ; 45 n

Verskil van twee kwadrate

Ons het gesien dat:

( a x + b ) ( a x - b ) = a 2 x 2 - b 2

In [link] dui die = teken aan dat die twee kante altyd gelyk sal wees. Dit beteken dat 'n uitdrukking in die vorm:

a 2 x 2 - b 2

gefaktoriseer kan word as:

( a x + b ) ( a x - b )

Dus,

a 2 x 2 - b 2 = ( a x + b ) ( a x - b )

Byvoorbeeld, x 2 - 16 kan geskryf word as ( x 2 - 4 2 ) wat die verskil is tussen twee kwadrate. Dus, die faktore van x 2 - 16 is ( x - 4 ) en ( x + 4 ) .

Faktoriseer volledig: b 2 y 5 - 3 a b y 3

  1. b 2 y 5 - 3 a b y 3 = b y 3 ( b y 2 - 3 a )

Faktoriseer volledig: 3 a ( a - 4 ) - 7 ( a - 4 )


  1. ( a - 4 ) is die gemene faktor
    3 a ( a - 4 ) - 7 ( a - 4 ) = ( a - 4 ) ( 3 a - 7 )

Faktoriseer 5 ( a - 2 ) - b ( 2 - a )

  1. 5 ( a - 2 ) - b ( 2 - a ) = 5 ( a - 2 ) - [ - b ( a - 2 ) ] = 5 ( a - 2 ) + b ( a - 2 ) = ( a - 2 ) ( 5 + b )

Hersien

  1. Vind die produkte / Verwyder die hakies:
    (a) 2 y ( y + 4 ) (b) ( y + 5 ) ( y + 2 ) (c) ( y + 2 ) ( 2 y + 1 )
    (d) ( y + 8 ) ( y + 4 ) (e) ( 2 y + 9 ) ( 3 y + 1 ) (f) ( 3 y - 2 ) ( y + 6 )


  2. Faktoriseer:
    1. 2 l + 2 w
    2. 12 x + 32 y
    3. 6 x 2 + 2 x + 10 x 3
    4. 2 x y 2 + x y 2 z + 3 x y
    5. - 2 a b 2 - 4 a 2 b


  3. Faktoriseer volledig:
    (a) 7 a + 4 (b) 20 a - 10 (c) 18 a b - 3 b c
    (d) 12 k j + 18 k q (e) 16 k 2 - 4 k (f) 3 a 2 + 6 a - 18
    (g) - 6 a - 24 (h) - 2 a b - 8 a (i) 24 k j - 16 k 2 j
    (j) - a 2 b - b 2 a (k) 12 k 2 j + 24 k 2 j 2 (l) 72 b 2 q - 18 b 3 q 2
    (m) 4 ( y - 3 ) + k ( 3 - y ) (n) a ( a - 1 ) - 5 ( a - 1 ) (o) b m ( b + 4 ) - 6 m ( b + 4 )
    (p) a 2 ( a + 7 ) + a ( a + 7 ) (q) 3 b ( b - 4 ) - 7 ( 4 - b ) (r) a 2 b 2 c 2 - 1


Meer produkte

Khan akademie video oor die produk van polinoomuitdrukkings

Ons het gesien hoe om twee binomiale te vermenigvuldig in die afdeling "Produk van twee Binomiale" . In hierdie gedeelte, gaan ons leer hoe om 'n binomiaal (uitdrukking met twee terme) met 'n trinomiaal of drieterm (uitdrukking met drie terme) te vermenigvuldig. Gelukkig gebruik ons dieselfde metode as om twee binomiaaluitdrukkings te vermenigvuldiging.

Byvoorbeeld, vermenigvuldig 2 x + 1 met x 2 + 2 x + 1

( 2 x + 1 ) ( x 2 + 2 x + 1 ) = 2 x ( x 2 + 2 x + 1 ) + 1 ( x 2 + 2 x + 1 ) ( pas distributiewe eienskap toe ) = [ 2 x ( x 2 ) + 2 x ( 2 x ) + 2 x ( 1 ) ] + [ 1 ( x 2 ) + 1 ( 2 x ) + 1 ( 1 ) ] = 2 x 3 + 4 x 2 + 2 x + x 2 + 2 x + 1 ( brei die hakies uit ) = 2 x 3 + ( 4 x 2 + x 2 ) + ( 2 x + 2 x ) + 1 ( groepeer soortgelyke terme om te vereenvoudig ) = 2 x 3 + 5 x 2 + 4 x + 1 ( vereenvoudig om 'n finale antwoord te gee )

Vermenigvuldiging van binomiaal met trinomiaal

In die vermenigvuldiging van die binomiaal A + B met die trinomiaal C + D + E , is die heel eerste stap om die distributiewe wet toe te pas:

( A + B ) ( C + D + E ) = A ( C + D + E ) + B ( C + D + E )

As jy dit onthou, sal jy nie 'n fout maak nie!

Vermenigvuldig x - 1 met x 2 - 2 x + 1

  1. Twee uitdrukkings word gegee: 'n binomiaal, x - 1 , en 'n trinomiaal, x 2 - 2 x + 1 . Ons moet hulle met mekaar vermenigvuldig.

  2. Pas die distributiewe wet toe en vereenvoudig daarna.

  3. ( x - 1 ) ( x 2 - 2 x + 1 ) = x ( x 2 - 2 x + 1 ) - 1 ( x 2 - 2 x + 1 ) ( pas die distributiewe wet toe ) = [ x ( x 2 ) + x ( - 2 x ) + x ( 1 ) ] + [ - 1 ( x 2 ) - 1 ( - 2 x ) - 1 ( 1 ) ] = x 3 - 2 x 2 + x - x 2 + 2 x - 1 ( brei die hakies uit ) = x 3 + ( - 2 x 2 - x 2 ) + ( x + 2 x ) - 1 ( groepeer soorgelyke terme saam om te vereenvoudig ) = x 3 - 3 x 2 + 3 x - 1 ( vereenvoudig om die finale antwoord te kry )
  4. Die produk van x - 1 en x 2 - 2 x + 1 is x 3 - 3 x 2 + 3 x - 1 .

Vind die produk van x + y en x 2 - x y + y 2 .

  1. Twee uitdrukkings word gegee: 'n binomiaal, x + y , en 'n trinomiaal, x 2 - x y + y 2 . Ons moet hulle met mekaar vermenigvuldig.

  2. Pas die distributiewe wet toe en vereenvoudig dan verder.

  3. ( x + y ) ( x 2 - x y + y 2 ) = x ( x 2 - x y + y 2 ) + y ( x 2 - x y + y 2 ) ( pas die distributiewe wet toe ) = [ x ( x 2 ) + x ( - x y ) + x ( y 2 ) ] + [ y ( x 2 ) + y ( - x y ) + y ( y 2 ) ] = x 3 - x 2 y + x y 2 + y x 2 - x y 2 + y 3 ( brei die hakies uit ) = x 3 + ( - x 2 y + y x 2 ) + ( x y 2 - x y 2 ) + y 3 ( groepeer soortgelyke terme om te vereenvoudig ) = x 3 + y 3 ( vereenvoudig om die finale antwoord te kry )
  4. Die produk van x + y en x 2 - x y + y 2 is x 3 + y 3 .

Ons het gesien dat:
( x + y ) ( x 2 - x y + y 2 ) = x 3 + y 3

Dit staan bekend as die som van derdemagte .

Ondersoek: verskil van derdemagte

Toon aan dat die verskil van derdemagte ( x 3 - y 3 ) gegee word deur die produk van x - y en x 2 + x y + y 2 .

Produkte

  1. Vind die produk van:
    (a) ( - 2 y 2 - 4 y + 11 ) ( 5 y - 12 ) (b) ( - 11 y + 3 ) ( - 10 y 2 - 7 y - 9 )
    (c) ( 4 y 2 + 12 y + 10 ) ( - 9 y 2 + 8 y + 2 ) (d) ( 7 y 2 - 6 y - 8 ) ( - 2 y + 2 )
    (e) ( 10 y 5 + 3 ) ( - 2 y 2 - 11 y + 2 ) (f) ( - 12 y - 3 ) ( 12 y 2 - 11 y + 3 )
    (g) ( - 10 ) ( 2 y 2 + 8 y + 3 ) (h) ( 2 y 6 + 3 y 5 ) ( - 5 y - 12 )
    (i) ( 6 y 7 - 8 y 2 + 7 ) ( - 4 y - 3 ) ( - 6 y 2 - 7 y - 11 ) (j) ( - 9 y 2 + 11 y + 2 ) ( 8 y 2 + 6 y - 7 )
    (k) ( 8 y 5 + 3 y 4 + 2 y 3 ) ( 5 y + 10 ) ( 12 y 2 + 6 y + 6 ) (l) ( - 7 y + 11 ) ( - 12 y + 3 )
    (m) ( 4 y 3 + 5 y 2 - 12 y ) ( - 12 y - 2 ) ( 7 y 2 - 9 y + 12 ) (n) ( 7 y + 3 ) ( 7 y 2 + 3 y + 10 )
    (o) ( 9 ) ( 8 y 2 - 2 y + 3 ) (p) ( - 12 y + 12 ) ( 4 y 2 - 11 y + 11 )
    (q) ( - 6 y 4 + 11 y 2 + 3 y ) ( 10 y + 4 ) ( 4 y - 4 ) (r) ( - 3 y 6 - 6 y 3 ) ( 11 y - 6 ) ( 10 y - 10 )
    (s) ( - 11 y 5 + 11 y 4 + 11 ) ( 9 y 3 - 7 y 2 - 4 y + 6 ) (t) ( - 3 y + 8 ) ( - 4 y 3 + 8 y 2 - 2 y + 12 )


Questions & Answers

Do somebody tell me a best nano engineering book for beginners?
s. Reply
what is fullerene does it is used to make bukky balls
Devang Reply
are you nano engineer ?
s.
what is the Synthesis, properties,and applications of carbon nano chemistry
Abhijith Reply
so some one know about replacing silicon atom with phosphorous in semiconductors device?
s. Reply
Yeah, it is a pain to say the least. You basically have to heat the substarte up to around 1000 degrees celcius then pass phosphene gas over top of it, which is explosive and toxic by the way, under very low pressure.
Harper
how to fabricate graphene ink ?
SUYASH Reply
for screen printed electrodes ?
SUYASH
What is lattice structure?
s. Reply
of graphene you mean?
Ebrahim
or in general
Ebrahim
in general
s.
Graphene has a hexagonal structure
tahir
On having this app for quite a bit time, Haven't realised there's a chat room in it.
Cied
what is biological synthesis of nanoparticles
Sanket Reply
what's the easiest and fastest way to the synthesize AgNP?
Damian Reply
China
Cied
types of nano material
abeetha Reply
I start with an easy one. carbon nanotubes woven into a long filament like a string
Porter
many many of nanotubes
Porter
what is the k.e before it land
Yasmin
what is the function of carbon nanotubes?
Cesar
I'm interested in nanotube
Uday
what is nanomaterials​ and their applications of sensors.
Ramkumar Reply
what is nano technology
Sravani Reply
what is system testing?
AMJAD
preparation of nanomaterial
Victor Reply
Yes, Nanotechnology has a very fast field of applications and their is always something new to do with it...
Himanshu Reply
good afternoon madam
AMJAD
what is system testing
AMJAD
what is the application of nanotechnology?
Stotaw
In this morden time nanotechnology used in many field . 1-Electronics-manufacturad IC ,RAM,MRAM,solar panel etc 2-Helth and Medical-Nanomedicine,Drug Dilivery for cancer treatment etc 3- Atomobile -MEMS, Coating on car etc. and may other field for details you can check at Google
Azam
anybody can imagine what will be happen after 100 years from now in nano tech world
Prasenjit
after 100 year this will be not nanotechnology maybe this technology name will be change . maybe aftet 100 year . we work on electron lable practically about its properties and behaviour by the different instruments
Azam
name doesn't matter , whatever it will be change... I'm taking about effect on circumstances of the microscopic world
Prasenjit
how hard could it be to apply nanotechnology against viral infections such HIV or Ebola?
Damian
silver nanoparticles could handle the job?
Damian
not now but maybe in future only AgNP maybe any other nanomaterials
Azam
Hello
Uday
I'm interested in Nanotube
Uday
this technology will not going on for the long time , so I'm thinking about femtotechnology 10^-15
Prasenjit
can nanotechnology change the direction of the face of the world
Prasenjit Reply
At high concentrations (>0.01 M), the relation between absorptivity coefficient and absorbance is no longer linear. This is due to the electrostatic interactions between the quantum dots in close proximity. If the concentration of the solution is high, another effect that is seen is the scattering of light from the large number of quantum dots. This assumption only works at low concentrations of the analyte. Presence of stray light.
Ali Reply
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
QuizOver.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Siyavula textbooks: wiskunde (graad 10) [caps]. OpenStax CNX. Aug 04, 2011 Download for free at http://cnx.org/content/col11328/1.4
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Siyavula textbooks: wiskunde (graad 10) [caps]' conversation and receive update notifications?

Ask